2023 高中数学二级结论高效解题17讲：结论+真题模拟题+举一反三

专题06函数图象的对称性

一、结论

已知函数是定义在上的函数.

（1）若恒成立,则的图象关于直线对称,特别地,若恒成立,则的图象关于直线对称;

最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：；

周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.本号资料全部来源于微信公众号：#数学第#六感

（2）若,则的图象关于点对称.

特别地,若恒成立,则的图象关于点对称.

特别地,若恒成立,则的图象关于点对称.

最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：本号资料全#部来源于微信公众号：数学第六感

二、典型例题

1．（2021·四川雅安·模拟预测（文））已知函数是定义域为的奇函数，且是偶函数.当时，，则（       ）

A． B． C．8 D．16

【答案】B

【解析】

由是偶函数可知对称轴为，故，

又函数为奇函数，故，综合（1）（2）得：

可得到函数最小正周期为,所以.故选：B

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，如本例中对称轴为，可以得到很多结论，比如：，，等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的解题？对于这个疑问，需同时兼顾本例中是定义域为的奇函数，可得到，纵观整体，可以看出对于对称轴为得到的结论中选取从而进行快速求出周期.

2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，令，，，则，，的大小关系为___________.

【答案】

【解析】

是定义在上的奇函数，可得到：①

②

联立①②得所以关于对称.

由于在上递增，所以在递减.

，

在上递增，所以，

所以.

故答案为：

【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，本例中，用数学符号表示出是定义在上的奇函数，通过化简再联立，可得到：这样就得到了：关于对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.

三、针对训练 举一反三

1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校二模（理））已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（       ）本号资料全部来源于微信#公众号：数学第六感

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【详解】

解：，则关于对称，

因为在单调递减，

∴在上单调递减，

又

∴，

∴，

∴或，

故选：D.

2．（2021·宁夏六盘山高级中学一模（理））已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（       ）

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【详解】

∵，又关于对称，

∴，

∴的周期为4，

由函数解析式及性质易知，，，，，

故选：D.

3．（2021·全国·二模（理））已知是定义域为的奇函数，，当时，，则时，的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

是定义域为的，所以，

因为，所以的一条对称轴方程为，

当时，，

所以当时，，

所以，

则时，，

所以，

即.

故选：A.

4．（2021·山东滨州·一模）定义在上的偶函数满足，当时，，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【详解】

因为满足，

所以图象关于直线对称，

因为是上的偶函数，所以图象关于直线对称，

所以的周期为，

的图象关于直线对称，

由时，，作出图象如图和的图象

由图知与的图象在区间有四个交点，设交点横坐标分别为，

且，，

所以，

所以与的图象所有交点的横坐标之和为，

故选：D

5．（2021·河南·二模（文））已知定义域为R的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数x的取值范围是（       ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】C

【详解】

，则关于对称，

因为在单调递减，所以在R上单调递减，本号资料全部*来源于微信公众号：数学第六感

所以，

由得，

所以，

所以，解得或.

故选：C．

6．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（       ）本号资料*全部来源于微信公众号：*数学第六感

A． B． C． D．

【答案】D

令，得，即，所以，

因为函数的图象关于点对称，

所以函数的图象关于点对称，即，

所以，

即，可得，

则，

故选：D.

7．（2021·广西·模拟预测（文））已知是定义在上的奇函数，满足， ，则（       ）

A．0 B． C．2 D．6

【答案】B

【详解】

因为，所以关于直线对称；

又因为是定义在上的奇函数，

所以，，

则，因此，

所以是周期为的函数，因此，；

又关于直线对称，所以；

因此。

故选：B.

8．（2021·全国全国·模拟预测）请写出一个同时满足条件①②③的函数______．

①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数．

【答案】

【详解】

由，可得：函数图象的一条对称轴为直线．

因为函数的最小值为1，且函数不是二次函数，

所以可选取.（答案不唯一）

故答案为：

9．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（文））已知定义在上的奇函数，满足，且当时，，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为___________.

【答案】

【详解】

解：，

，

即函数的周期是4，

且，

则函数的对称轴为：，是奇函数，

所以也是对称轴，，时，，

函数是增函数，

作出函数的简图如下：

若方程在区间，上

有四个不同的根，，，，

则四个根分别关于和对称，

不妨设，

则，，

则，

故答案为：．

10．（2021·江西上饶·三模（理））已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．

【答案】

【详解】

因为函数满足，

所以函数关于直线对称，

因为对任意，均有成立，

所以函数在上单调递增．

由对称性可知在上单调递减．

因为，即，

所以，即，

解得或．

故答案为：

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