四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高三理科数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

仁寿一中北校区2021级高三上学期9月月考试题

理科数学

本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

2023年9月

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项．

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘法可求.

【详解】，

故选：D.

2. 已知集合，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据补集的运算，可得答案.

【详解】由题意，，则.

故选：B.

3. 设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（    ）

A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解.

【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，

而，则，

等差数列公差，首项，

则.

故选：B.

4. 若实数，满足，则的最大值为（    ）

A. 8 B. 7 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.

【详解】由约束条件作出可行域，如图：

联立 ，解得

由，得，为直线的纵截距.由图可知，当直线过点时，直线的纵截距最大，且.

故选：B.

5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由充分条件与必要条件求解即可

【详解】由题意可知：

当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；

当时，成立，故必要性成立；

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

6. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数

C. 函数是周期函数 D. 函数的值域为

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.

【详解】对于A，当时，，，故A错误；

对于B，由余弦函数的性质，易知函数在上不单调，故B错误；

对于C，由二次函数的性质，易知函数在上为增函数，故C错误；

对于D，由，且当时，，则，故D正确.

故选：D.

7. 已知，都为锐角，，，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．

【详解】解：，都是锐角，，，

，，

故选：A．

8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.

【详解】设圆柱底面半径为，则，解得或（舍去），

所以圆柱的体积.

故选：C

9. 设，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.

【详解】因，

，

，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

10. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．

【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即

则有，

当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，

若不等式有解，则有，解可得或，

即实数m的取值范围是．

故选：D．

11. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ）

A. 平均数为3，中位数2 B. 中位数为3，众数为2

C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．

【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；

对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；

对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，

平均数为：，

方差为，

可以出现点数6，故C错误；

对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，

则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．

故选：D．

12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．

【详解】函数的定义域为，

由，得，所以，

令，

由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

由，得，

所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，没有最小值，

由，得，

当时，在上单调递增，

在上单调递减，

所以有最大值，无最小值，不合题意，

当时，在上单调递减，

在上单调递增，

所以，

所以即，

所以，即m的取值范围为．

故选：A．

二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13. 展开式中项的系数为___________（用数字作答）

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.

【详解】展开式的通项公式为，

令得，

所以展开式中项的系数为.

故答案为：

14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．

【答案】####

【解析】

【分析】根据条件求出的坐标，然后可得答案.

【详解】因为，，所以

所以

所以向量与的夹角为

故答案为：

15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．

【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．

16. 设函数，有下列结论：

①的图象关于点中心对称；   

②的图象关于直线对称；

③在上单调递减；   

④在上最小值为，

其中所有正确的结论是______．

【答案】②③

【解析】

【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．

【详解】

，

当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；

当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；

由，得，

当即时，函数单调递减，

则当时，函数单调递减，故③正确；

当时，，可知函数在上单调递增，

∴的最小值为，故④错误．

故答案为：②③．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17. 等比数列中，.

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和若，求.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；

（2）根据等比数列前项和公式计算即可.

【小问1详解】

设公比为，

由，

得，解得，

所以或；

【小问2详解】

当时，

，解得，

当时，

，即，方程无解，

综上所述，.

18. 在中，角的对边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若面积为，且，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．

（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．

【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，

∴在△ABC中，sinA＝＝．

（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，

又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，

，所以周长为.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19. 如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)构造平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理即可；(2) 建立空间直角坐标系，根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值；

【小问1详解】

如图，取的中点为，连接,

因为为的中点，所以,

所以四边形为平行四边形，所以,

因为平面，平面，所以平面，

【小问2详解】

以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则,设，

所以

因为，所以，解得，所以，

设平面和平面的法向量分别为

所以,即，令，则有，

所以

同理,即，令，则有，

所以

设二面角为 ，则，

.所以面角的正弦值.

20. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.

（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？

（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.

附：参考数据和公式：

，其中.

【答案】（1）列联表见解析，可以   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题意完成列联表，再计算出与比较即可得出判断；

（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率，且，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.

【小问1详解】

根据题意，选考物理的考生有人，

选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：

因为，

所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.

【小问2详解】

在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，

易知，随机变量服从二项分布，即，

所以可取0，1，2，3，

，，

，.

分布列如下：

则.

21. 已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的导函数的单调性；

（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间；

（2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解.

【小问1详解】

解： ，令，则，

①当时，，

②当时，时，，时，；

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上是增函数，在上是减函数；

【小问2详解】

解：，则，，

令，则，

令，则，

当时，，，故，是减函数，

所以.

①当，即时，，

即在上是减函数，不符合是极小值，舍去；

②当，即时，

因为是减函数，且，，

所以，使得，

当时，，即是增函数，所以，

即在上是增函数；

当时，，使得，是减函数，

故，

从而是增函数，所以，即在上是减函数.

综上，的取值范围是.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，那么按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为，求的值．

【答案】（1）曲线C的普通方程为 ，直线l的直角坐标方程为 ；   

（2）2

【解析】

【分析】（1）对于曲线C，消去参数，对于直线l，运用极坐标和直角坐标转换公式即可；

（2）联立C与l方程，求出A，B点坐标，运用两点距离公式计算即可.

【小问1详解】

对于C： ， 得： ，代入①得： ，

化简得： ，是等轴双曲线；

对于l，根据极坐标与直角坐标转换公式： 得： ；

【小问2详解】

由（1）的结论，直线l经过 ，即点P在l上，联立方程： ，

将④代入③得： ，解得 ，

，不妨设 ，

则 ， ，

；

综上，曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为， .

23. 不等式的解集为．

（1）求n值；

（2）设a，b，，且，求的最大值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可求得参数值；

（2）根据（1）中所求，结合柯西不等式求解即可.

【小问1详解】

当时，原不等式等价于，解得；

当时，原不等式等价于，不等式恒成立，满足题意；

当时，原不等式等价于，解得；

综上所述，不等式解集为，故.

【小问2详解】

根据（1）中所求，，

故，

即，故，
当且仅当，且时，也即时取得等号.

故的最大值为.