山东省德州市第五中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟试卷

这是一份山东省德州市第五中学2023-2024学年九年级上学期开学数学模拟试卷，共20页。

2023-2024学年山东省德州五中九年级上学期开学数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）代数式中，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜2
3．（4分）关于x的一元二次方程（2a﹣3）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠ C．a≥1且a≠ D．a≠
4．（4分）抛物线y＝﹣4x2+5的开口方向（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
5．（4分）抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（2，﹣3） C．（0，﹣1） D．（﹣2，﹣3）
6．（4分）已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m
7．（4分）为帮助贫困山区的孩子，某校九（1）班学生积极捐款献爱心，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．20； 10 B．10； 20 C．16； 15 D．15； 16
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，O为AC和BD的交点，则AC的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（4分）关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
10．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象上有三个点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3），若y1＝y3，则（　　）
A．y2＞c＞y1 B．y2＜c＜y1 C．c＞y1＞y2 D．c＜y1＜y2
11．（4分）如图，△ABC中，BC＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，CD＝3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系（　　）

A．∠FBD＞∠FCD B．∠FBD＜∠FCD C．∠FCE＞∠FCD D．∠FCE＜∠FCD
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为1，则（　　）
A．a＞0，b2﹣4ac＝0 B．a＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b2﹣4ac＝0 D．a＜0，b2﹣4ac＞0
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是直线 　 　．
14．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°　 　．

15．（4分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍　 　．
16．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0）为其与x轴的一个交点，则
（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 　 　；
（2）当x＝　 　时，y＝0；
（3）当 　 　时，ax2+bx+c＞0；
（4）当 　 　时，ax2+bx+c＜0．

17．（4分）测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm　 　cm2；其最短边上的高为 　 　cm．
18．（4分）二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点O，A1，A2，A3…，在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…，在二次函数y＝x2第一象限的图象上，若△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…，都为等边三角形，则点Bn的坐标是 　 　．

三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）计算：（）﹣2．
20．（10分）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0，并说明理由．
21．（10分）王老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，对他所教的八年（1）班和八年（2）
（1）利用图中提供的信息，补全如表：
班级
平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
八年（1）班
　 　
24
24
八年（2）班
24
　 　
　 　
（2）你认为哪个班的学生纠正错误的得分情况比较整齐一些，请通过计算说明理由．
22．（10分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　 　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　 　次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　 　次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
23．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4≥kx+b的解集．

24．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为4，求线段AG的长．


2023-2024学年山东省德州五中九年级上学期开学数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵＝2，，
∴选项A不符合题意；

∵＝，不是最简二次根式，
∴选项B不符合题意；

∵＝3，，
∴选项C不符合题意；

∵是最简二次根式，
∴选项D符合题意．
故选：D．
2．（4分）代数式中，x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．﹣1≤x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x＜2
【答案】C
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣6，x＜2，
所以，x的取值范围是﹣1≤x＜8．
故选：C．
3．（4分）关于x的一元二次方程（2a﹣3）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠ C．a≥1且a≠ D．a≠
【答案】C
【解答】解：根据题意得2a﹣3≠2且Δ＝4﹣4（5a﹣3）×（﹣1）≥4，
所以a≥1且a≠．
故选：C．
4．（4分）抛物线y＝﹣4x2+5的开口方向（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣4x2+5，﹣4＜0，
∴该抛物线的开口向下，
故选：B．
5．（4分）抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣3） B．（2，﹣3） C．（0，﹣1） D．（﹣2，﹣3）
【答案】D
【解答】解：由函数y＝（x+8）2﹣3的解析式可知，此抛物线的顶点坐标为（﹣2．
故选：D．
6．（4分）已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m
【答案】B
【解答】解：根据题意得
，
解得﹣≤m＜4．
故选：B．
7．（4分）为帮助贫困山区的孩子，某校九（1）班学生积极捐款献爱心，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）

A．20； 10 B．10； 20 C．16； 15 D．15； 16
【答案】B
【解答】解：根据题意可知捐款10元的人数有16人，人数最多，
把50名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数是20，中位数是20．
故选：B．
8．（4分）如图，在菱形ABCD中，O为AC和BD的交点，则AC的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵在菱形ABCD中，O为AC和BD的交点，
∴AC＝2OC＝6．
故选：D．
9．（4分）关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2
【答案】B
【解答】解：依题意Δ＞0，即（3a+2）2﹣8a（a+5）＞0，
即a2﹣4a+1＞0，（a﹣3）2＞0，a≠7，
∵关于x的方程ax2﹣（3a+5）x+2（a+1）＝8有两个不相等的实根x1、x2，且有x2﹣x1x2+x7＝1﹣a，
∴x1﹣x8x2+x2＝7﹣a，
∴x1+x2﹣x3x2＝1﹣a，
∴﹣＝1﹣a，
解得：a＝±1，又a≠6，
∴a＝﹣1．
故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象上有三个点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3），若y1＝y3，则（　　）
A．y2＞c＞y1 B．y2＜c＜y1 C．c＞y1＞y2 D．c＜y1＜y2
【答案】B
【解答】解：∵y1＝y3，
∴（﹣4，y1）和（3，y7）关于二次函数数y＝x2+bx+c的对称轴对称，
∴二次函数y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝＝8，
∵x＝0时，y＝c，
0＜4＜3，
∴y2＜c＜y5，
故选：B．
11．（4分）如图，△ABC中，BC＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，CD＝3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系（　　）

A．∠FBD＞∠FCD B．∠FBD＜∠FCD C．∠FCE＞∠FCD D．∠FCE＜∠FCD
【答案】A
【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝4，
∴AC＝＝＝5，
∴BC＝AC＝5，
BD＝BC﹣CD＝5﹣3＝7，
∵tan∠FBD＝，
tan∠FCD＝，
∴tan∠FBD＞tan∠FCD，
∴∠FBD＞∠FCD，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴FC⊥AB（三角形的三条高相交于同一点），
又∵BC＝AC，
∴∠FCE＝∠FCD．
故选：A．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为1，则（　　）
A．a＞0，b2﹣4ac＝0 B．a＞0，b2﹣4ac＜0
C．a＜0，b2﹣4ac＝0 D．a＜0，b2﹣4ac＞0
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为8，
∴抛物线的开口向上，顶点在第一象限，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴a＞0，b2﹣5ac＜0，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）抛物线y＝x2+2x的对称轴是直线 　x＝﹣1　．
【答案】x＝﹣1．
【解答】解：∵y＝x2+2x，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
故答案为：x＝﹣2．
14．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°　100°　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB，
∴DE是中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°．
又DE是∠AEF的角平分线，
∴∠DEF＝∠AED＝80°，
∴∠FEC＝20°，
∴∠EFB＝180°﹣∠C﹣∠FEC＝80°．
故答案为：100°．
15．（4分）给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍　6+3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×8﹣x），
由题意得：x（3×4﹣x）＝4×3×3，
整理得：x3﹣12x+18＝0，
解得：x1＝4+3，x6＝6﹣3（不合题意．
故答案为：6+3．
16．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0）为其与x轴的一个交点，则
（1）抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为 　（3，0）　；
（2）当x＝　﹣1或3　时，y＝0；
（3）当 　﹣1＜x＜3　时，ax2+bx+c＞0；
（4）当 　x＜﹣1或x＞3　时，ax2+bx+c＜0．

【答案】（1）（3，0）；（2）﹣1或3；（3）﹣1＜x＜3；（4）x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：（1）对称轴为x＝1，则由x1＝﹣4利用抛物线的对称性得到x2＝3，故可得B的坐标为（5；
（2）由（1）可得ax2+bx+c＝0时，x＝﹣6或3．
（3）由二次函数的图象可知，抛物线开口向下2+bx+c＞2时，﹣1＜x＜3；
（4）当ax5+bx+c＜0时，x＜﹣1或x＞8．
故答案为：（1）（3，0）；（3）﹣7＜x＜3．
17．（4分）测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm　30　cm2；其最短边上的高为 　12　cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵52+127＝132，
∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为5cm和12cm，
∴花坛面积＝×5×12＝30（cm2），最短边上的高为12cm．
故答案为：30，12．
18．（4分）二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点O，A1，A2，A3…，在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…，在二次函数y＝x2第一象限的图象上，若△A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3…，都为等边三角形，则点Bn的坐标是 　（n，n2）　．

【答案】（n，n2）．
【解答】解：如图，分别过点B1，B2，B3作y轴得垂线，垂足分别为A、B、C，
设A1 A0＝a，A5 A2＝b，A2 A2＝c，
则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在等边三角形A1 A0B8中，B1（a，a），
代入y＝x2中，得a＝×a5，
解得a＝2，即B1（，1），
在等边三角形A1 A6B2中，B2（b，2+，
代入y＝x2中，得2+×b3，
解得b＝4，即B2（8，4），
在等边三角形A2 A2B3中，B8（c，3+，
代入y＝x2中，得4+×c2，
解得b＝6，即B5（3，2），
…
依此类推可得Bn（n，n2）．
故答案为：（n，n2）．

三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）计算：（）﹣2．
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3﹣．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣3x＝4，
配方得：x2﹣3x+1＝4+6，
（x﹣1）2＝8，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x4＝1+，x8＝1﹣；
（2）原式＝8+﹣8
＝3﹣．
20．（10分）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0，并说明理由．
【答案】△ABC构成直角三角形，理由见解答．
【解答】解：△ABC构成直角三角形，理由如下：
∵（a﹣）2++|c﹣2，
∴a﹣＝0，c﹣2，
解得a＝，b＝4，
∵（）2+62＝（2）2，
∴△ABC构成直角三角形．
21．（10分）王老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，对他所教的八年（1）班和八年（2）
（1）利用图中提供的信息，补全如表：
班级
平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
八年（1）班
　24　
24
24
八年（2）班
24
　24　
　21　
（2）你认为哪个班的学生纠正错误的得分情况比较整齐一些，请通过计算说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）八（1）班平均成绩＝（24+21+27+24+21+27+21+24+27+24）＝24；
八（2）班处于中间位置的数为24和24，故中位数为24，
出现次数最多的数为21，故众数为21．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
24
24
24
（2）班
24
24
21
（2）S18＝[（21﹣24）2×7+（24﹣24）2×4+（27﹣24）2×3]＝×（27+27）＝5.4；
S25＝[（21﹣24）2×4+（24﹣24）2×2+（27﹣24）2×2+（30﹣24）2×6+（15﹣24）2]＝×198＝19.8；
因为S12＜S52，
所以八（1）班成绩比较整齐；
22．（10分）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手　3　次；若参加聚会的人数为5，则共握手　10　次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　n（n﹣1）　次；
（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）3×（3﹣3）÷2＝3，3×（5﹣1）÷2＝10．
故答案为：3；10．
（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟（n﹣1）人握手，
∴共握手n（n﹣1）次．
故答案为：n（n﹣1）．
（3）依题意，得：，
整理，得：n2﹣n﹣56＝5，
解得：n1＝8，n6＝﹣7（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（4）∵线段AB上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有（m+2）个人握手，
∴线段总数为（m+6）（m+1）．
23．（12分）如图，直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式2x﹣4≥kx+b的解集．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），7），
∴，
解方程组得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；

（2）∵直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴解方程组，
解得，
∴点C的坐标为（3，3）；

（3）由图可知，x≥3时．
24．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润＝（70﹣50）×[50+5×（100﹣70）]＝4000元；
（2）由题得 y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝﹣2x2+800x﹣27500（x≥50）．
∵销售单价不得低于成本，
∴50≤x．且销量＞0，
7（100﹣x）+50≥0，解得x≤110，
∴50≤x≤110．
（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元
∴50×[50+5（100﹣x）]≤7000（2分）
解得x≥82．
由（2）可知 y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝﹣5x5+800x﹣27500
∵抛物线的对称轴为x＝80且a＝﹣5＜0
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧．
∴当x＝82时，y有最大，
即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大．
25．（14分）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G
（1）求∠EDG的度数．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为4，求线段AG的长．

【答案】（1）45°；
（2）①证明见解答；
（3）．
【解答】（1）解：如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2＝∠ADF+，
＝（∠ADF+∠FDC），
＝×90°，
＝45°；
（2）①证明：如图2所示：

∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，
∴∠8＝∠6，
∵∠FEC＝∠5+∠8，
∴∠DEF+∠DEC＝∠5+∠6，
∴7∠5＝2∠DEC，
即∠7＝∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG＝x，则GF＝x，
∵正方形边长为4，E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE＝×4＝2，
∴GE＝EF+GF＝5+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（2+x）5，
解得：x＝，
即线段AG的长为．