四川省绵阳南山中学2023届高三理科数学下学期4月三诊热身试题（Word版附解析）

绵阳南山中学2023年春绵阳三诊热身考试理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，若，则（ ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【详解】因为,所以,所以或 .

若，则,满足 .

若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.

2. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数对应的点位于复平面的（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】将原式分母实数化得到复数代数形式后求出其共轭复数，根据实部与虚部的符号即可判断所在象限.

【详解】因为复数，

所以，其对应的点为，在第三象限.

故选：C

3. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

4. 抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】利用抛物线定义即可求解.

【详解】抛物线可化为，焦点为，准线方程,

点的纵坐标为,由抛物线定义知：，解得：.

故选：B

5. 已知，为钝角，，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得.

【详解】解：因为，所以，因为为钝角，

所以，则，

所以.

故选：B

6. 已知不重合的两条直线，，平面，，且，，给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.

其中正确的命题是（    ）.

A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ①③

【答案】A

【解析】

【分析】结合图像，逐一判断四个命题的正确性.

【详解】对于①，画出图像如下图所示，由图可知①正确. 证明如下：由于，所以，由于，所以.

对于②，画出图像如下图所示，由图可知②错误.

对于③，画出图像如下图所示，由图可知③错误.（和①图像相同）

对于④，画出图像如下图所示，由图可知④正确.证明如下：由于，所以，由于，所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查空间点线面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.

7. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用的奇偶性和特殊值，，即得解

【详解】由题意，的定义域为，

，故为奇函数，排除C；

，排除A，，排除B.

故选：

8. 在中，，，，点D为BC边上一点，且，则

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】用 , 表示出，再利用数量积定义计算可得．

【详解】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，

∴===，

∴= =

=3+×2×cos120°=1．

故选C．

【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、数量积的计算，属于基础题

9. 已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据已知条件得到，再根据三角函数平移变换求解即可。

【详解】由题意得，所以，故，

因为，，所以，，

即 .

又因为，解得.

即.

将的图像向左平移个单位长度，

得到函数.

故选：A

10. 刍甍（chú méng）是中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶．”已知图中每个小正方形的边长都为，其中的粗线部分是某个刍甍的三视图，则该刍甍的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由三视图还原几何体，依次求解几何体各个面的面积，加和即可得到结果.

【详解】根据三视图还原该几何体如图所示，

则，，，

为等腰三角形，由主视图可知边的高为，

，由此可求得梯形的高为，

，，，

该几何体的表面积为.

故选：D．

11. 已知为双曲线左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为、，直线交双曲线的一条渐近线于点，直线、的斜率为、，若以为直径的圆经过点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设点，可得出，利用圆的几何性质可得，由，即可得出的值，由此可求得双曲线的离心率.

【详解】设点，则，即有，①

由、以及以为直径的圆经过点可知，

 所以，

又，，所以，，

 由题意知，所以 ，②

由①和②得，由得．

故选：D.

12. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，利用导数可得的单调性，从而可比较的大小，设，由幂函数的单调性即可比较的大小，从而可得结论.

【详解】解：设，则，

当时，，则，故在上单调递减，

因为，所以，所以，则，即.

设，则在上单调递增，

因为，所以，即，

所以.

故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）

13. 的展开式中，的系数为___________.(用数字作答)

【答案】9

【解析】

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出的系数．

【详解】的展开式中，的系数为，

故答案：9.

14. 从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种 数字回答．

【答案】70

【解析】

【分析】先分两类，一类是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中再用分步计数原理解答．

【详解】解：直接法：一男两女，有种，

两男一女，有种，共计70种

间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，

都是女医生有种，于是符合条件的有种．

故答案为70．

【点睛】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法，这种问题是排列组合中典型的问题，注意表示过程中数字不要弄混．

15. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有________人.

参考数据及公式如下：

【答案】12

【解析】

【分析】设男生人数为，得到列联表，根据题意得到，列出不等式，求得的取值范围，结合，为整数，即可求解.

【详解】设男生人数为，依题 意可得列联表如下：

若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，

由，解得，因为，为整数，

所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，

则男生至少有12人.

故答案为：.

16. 如图，在平面四边形中，，，，，，.则______，的长为______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由余弦定理得出，再结合正弦定理得出，根据同角三角函数的基本关系以及诱导公式得出，最后由直角三角形的边角关系得出.

【详解】由余弦定理可得

即，解得或（舍）

在中，由正弦定理得，即

则

为锐角，

在直角三角形中

故答案为：；

【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.

三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分.

17. 设为数列的前项和，且满足：.

（1）设，证明是等比数列；

（2）求.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定递推公式，结合及等比数列的定义推理作答.

（2）利用并项求和法，结合等比数列前n项和公式求解作答.

【小问1详解】

因为，，则，

两式相减得：，整理可得，即，

于是，，

所以数列是等比数列.

【小问2详解】

由（1）知，，又，则

所以.

18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．

（1）证明平面；

（2）设二面角为，求与平面所成角的大小

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明，，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面的法向量，再求平面的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角

【详解】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

设，则，，，，

∴，，，

∴，，

∴，，，

∴平面.

（2），，

设平面的法向量为，则，

取，

设平面的法向量为，则，

取，

∵平面平面，∴，故，

∴，，

∴，

设与平面所成角为，，则，

∴，

∴与平面所成角的大小为.

【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.

19. 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；

（2）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？

【答案】（1）   

（2）11轮

【解析】

【分析】（1）由已知条件，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，根据条件概率公式求解即可；

（2）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，求出事件C发生的概率，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，根据期望公式求出平均值，解不等式即可分析出测试次数最小值.

【小问1详解】

由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，

其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4人，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，

则，，所以，.

【小问2详解】

记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则，

由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”次数服从二项分布，

由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试.

20. 如图，线段的两个端点、分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设为点的轨迹的左焦点，为右焦点，过的直线交的轨迹于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.

【答案】（1）   

（2）的最大值为6；直线的方程为或

【解析】

【分析】（1）设，，，由和，利用代入法，即可求点M的轨迹方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，可得，换元，利用基本不等式，即可求面积的最大值，从而求此时直线PQ的方程．

【小问1详解】

由题可知点，且可设，，，则可得，

又，即.∴，这就是点的轨迹方程.

【小问2详解】

由（1）知为，为，由题意直线斜率不为0，

设直线为，由有，

设，，则恒成立，

且，

∴
 

，

令，则，

当且仅当，即时取“=”，∴的最大值为6，

此时的方程为或.

【点睛】方法点睛：

解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21. 函数.

（1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）；

（2）设，若，满足，求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，切线方程为，化简即可；

（2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数，求出，可确定在上递减，于是，于是，下面只要证明即可。

【详解】（1），则，

故在处的切线方程为即；

（2）证明：由题可得，，

当时，，则；当时，，则，

所以，当时，，在上是增函数.

设，

则，

当时，，则，在上递减.

不妨设，由于在上是增函数，则，

又，，则，于是，

由，在上递减，

则，所以，则，

又，在上是增函数，所以，，即.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。本题不等式证明难度很大，首先不妨设，由的单调性得，因此要证题设不等式只要证，为此构造新函数，利用它在上的单调性完成证明。构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能独立完成。

（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）

【选修4—4：坐标系与参数方程】

22. 已知为椭圆任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.

（1）写出的参数方程和的普通方程；

（2）求的最大值和最小值.

【答案】（1），；（2）；.

【解析】

【分析】

（1）根据转化公式直接写成曲线的参数方程，根据公式，，代入得到曲线的普通方程；（2）首先设椭圆上任一点，先求点和圆心距离的最大值和最小值，再求的最大值和最小值.

【详解】（1）由题意可得的参数方程为：（为参数），

又∵，且，

∴的普通方程为，即.

 （2）由（1）得，设，圆圆心，

则，

∵，∴当，；

当时，|.

∴当时，；

当时，

【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，以及参数方程的简单应用，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.

【选修4—5：不等式选讲】

23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数，，.

（1）解不等式；

（2）任意，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】（1）由于不等式可，可平方后求解；

（2）不等式可化为，利用不等式的三角不等式求得的最小值，然后解不等式可得的范围．

【详解】（1）不等式即，

两边平方得，解得，

所以原不等式的解集为.

（2）不等式可化为，

又，所以，解得，

所以的取值范围为.