2015年河南省中考数学试卷及答案

2015年河南省中考数学试卷

一、选择题（每小题3分，满分24分）

1．下列各数中最大的数是（　　）

A．5 B． C．π D．﹣8

2．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

   A．  B．   C．  D．

3．据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（　　）

A．4.0570×109 B．0.40570×1010 C．40.570×1011 D．4.0570×1012

4．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（　　）

A．55° B．60° C．70° D．75°

5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A．          B． 

C．          D．

6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（　　）

A．255分 B．84分 C．84.5分 D．86分

7．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（　　）

A．（2014，0） B．（2015，﹣1） C．（2015，1） D．（2016，0）　

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

9．计算：（﹣3）0+3﹣1=　   　．

10．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=　   　．

11．如图，直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），则k=　   　．

12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　   　．

13．现有四张分别标有1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是　   　．

14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为　   　．

15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为　   　．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．

17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为　   　；

②连接OD，当∠PBA的度数为　   　时，四边形BPDO是菱形．

18．（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次接受调查的市民总人数是　   　；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是　   　；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．

（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

20．（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

21．（10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：

①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．

②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．

暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元

（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；

（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时，=　   　；②当α=180°时，=　   　．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

23．（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

2015年河南省中考数学试卷参考答案

一、1． A．2． B．3． D．4． A．5． C．6． D7． C．8． B．

二、9． ．10． ．11． 2．12． y3＞y1＞y2．13． ．14． +．15． 16或4．

三、16．解：原式=•=，

当a=+1，b=﹣1时，原式=2．

17．（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，

∴DP∥AB，

∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，

∵BO=AB，

∴DP=BO，

在△CDP与△POB中，

∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，

（4÷2）×（4÷2）

=2×2

=4；

②如图：

∵DP∥AB，DP=BO，

∴四边形BPDO是平行四边形，

∵四边形BPDO是菱形，

∴PB=BO，

∵PO=BO，

∴PB=BO=PO，

∴△PBO是等边三角形，

∴∠PBA的度数为60°．

故答案为：4；60°．

18．解：（1）这次接受调查的市民总人数是：260÷26%=1000；

（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数为：

（1﹣40%﹣26%﹣9%﹣10%）×360°=54°；

（3）“报纸”的人数为：1000×10%=100．

补全图形如图所示：

（4）估计将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数为：

80×（26%+40%）=80×66%=52.8（万人）．

19．（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）=|m|，

∴x2﹣5x+6﹣|m|=0，

∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）=1+4|m|，

而|m|≥0，

∴△＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，

∴|m|=2，

解得：m=±2，

∴原方程为：x2﹣5x+4=0，

解得：x1=1，x2=4．

即m的值为±2，方程的另一个根是4．

20．解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，

则四边形DHCG为矩形．

故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，

∴∠DAH=∠FAE=30°，

在直角三角形AHD中，

∵∠DAH=30°，AD=6，

∴DH=3，AH=3，

∴CG=3，

设BC为x，

在直角三角形ABC中，AC==，

∴DG=3+，BG=x﹣3，

在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，

∴x﹣3=（3+）

解得：x≈13，

∴大树的高度为：13米．

21．解：（1）由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；

（2）由题意可得：当10x+150=20x，

解得：x=15，则y=300，

故B（15，300），

当y=10x+150，x=0时，y=150，故A（0，150），

当y=10x+150=600，

解得：x=45，则y=600，

故C（45，600）；

（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：

当0＜x＜15时，普通消费更划算；

当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；

当15＜x＜45时，银卡消费更划算；

当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；

当x＞45时，金卡消费更划算．

22．解：（1）①当α=0°时，

∵Rt△ABC中，∠B=90°，

∴AC=，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴，

∴．

②如图1，，

当α=180°时，

可得AB∥DE，

∵，

∴=．

故答案为：．

（2）如图2，，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴．

（3）①如图3，，                

∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，

∴AD==，

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，

∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，

∴AD==，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE==2，

∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，

由（2），可得

，

∴BD==．综上所述，BD的长为4或．

23．解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

设抛物线解析式为：y=ax2+c，

则，

解得：

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+8；

（2）正确，

理由：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD===a2+2，

PF=8﹣（﹣a2+8）=a2，

∴PD﹣PF=2；

（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，

∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，

此时点P，E的横坐标都为﹣4，

将x=﹣4代入y=﹣x2+8，得y=6，

∴P（﹣4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，

∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），

由（2）得：P（a，﹣a2+8），

∵点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），

①当﹣4≤a＜0时，S△PDE=（﹣a+4）（﹣a2+8）﹣[﹣•（﹣a2+8﹣6）=；

∴4＜S△PDE≤12，

②当a=0时，S△PDE=4，

③﹣8＜a＜﹣4时，S△PDE=（﹣a2+8+6）×（﹣a）×﹣×4×6﹣（﹣a﹣4）×（﹣a2+8）×

=﹣a2﹣3a+4，∴12≤S△PDE≤13，

④当a=﹣8时，S△PDE=12，

∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，

所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，

综上所述：11个好点，P（﹣4，6）．