四川省叙永第一中学2023-2024学年高三数学（理）上学期零诊考试试题（Word版附解析）

高2021级高三零诊考试数学（理科）试题

一、选择题：

1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．

【详解】，

所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，

故选：C．

2. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（    ）．

A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”

B. 从2日到5日空气质量越来越好

C. 这14天中空气质量指数的中位数是214

D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日

【答案】B

【解析】

【分析】根据折线图直接分析各选项.

【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；

B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；

C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；

D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；

故选：B.

3. 记为等差数列的前n项和.若，，则（    ）

A. 4 B. 24 C. 30 D. 32

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列通项公式和前n项和公式，列方程组解出数列首项和公差，可求的值.

【详解】设等差数列公差为，则有，

解得，所以

故选：C

4. 已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.

【详解】，，，.

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.

【详解】根据题意，，利用正弦定理得：，

再结合，可得，

由余弦定理：，所以D选项正确.

故选：D

6. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球，

则，，

因此，.

故选：D.

7. 甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（    ）

A. 735种 B. 686种 C. 540种 D. 465种

【答案】B

【解析】

【分析】先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案.

【详解】因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，

所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，

两人的选择方法均为：（种）；

而丙的选择方法有：（种）；

所以3人可组成的不同的游玩组合有：（种）.

故选：B.

8. 米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（    ）

A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克

【答案】C

【解析】

【分析】计算出米斗的高，进而可求得出该米斗的体积，结合题意可求得该米豆所盛大米的质量.

【详解】设该正棱台为，其中上底面为正方形，取截面，如下图所示：

易知四边形为等腰梯形，且，，，

分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、，

由等腰梯形的几何性质可得，又因为，，

所以，，所以，，

因为，易知，

故四边形为矩形，则，，

所以，，故该正四棱台的高为，

所以，该米斗的体积为，

所以， 该米斗所盛大米的质量为.

故选：C.

9. 已知为坐标原点， 是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可设直线的方程，联立抛物线方程再利用，可得，法一：可知H在圆上运动进行判断，法二再由得出的方程为，解得，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案.

【详解】法一：设直线方程为，

联立直线和抛物线方程整理得，

所以

又，即，所以可得，即；

则直线 过定点D（4,0）因为，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值

故选：B

法二：设直线方程为，

联立直线和抛物线方程整理得，

所以

又，即，所以可得，即；

又因为，所以的方程为，解得

对于A，到点的距离为不是定值；

对于B，到点的距离为为定值；

对于C，到点的距离为不是定值；

对于D，到点的距离为不是定值.

故选：B

【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.

10. 函数，若，，，则有

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出 ，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.

详解：，在上为减函数，

且时，时，，

且，，

且，

且，，

在上单调递减，

，

即，故选D.

点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用

11. 已知双曲线C：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，分别在、中，利用余弦定理运算求解.

【详解】设左焦点为，连接，

设，则，

∵，则有：

在中，由余弦定理，

即，整理得，

在中，由余弦定理，

即，整理得，

可得，

注意到，即，整理得，

故离心率.

故选：D.

12. 设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点

②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④

【答案】D

【解析】

【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．

【详解】当时，，

∵f（x）在有且仅有5个零点，

∴，

∴，故④正确，

由，知时，

令时取得极大值，①正确；

极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，

当时，，

若f（x）在单调递增，

则 ，即 ，

∵，故③正确．

故选D．

【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．

二、填空题

13. 在二项式的展开式中，的系数为__________．

【答案】.

【解析】

【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.

【详解】结合二项式定理的通项公式有：，

令可得：，则的系数为：.

【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

14. 四叶草也被称为幸运草、幸福图，其形状被广泛用于窗户、壁纸、地板等装修材料的图案中．如图所示，正方形地板上的四叶草图边界所在的半圆都以正方形的边长为直径．随机抛掷一粒小豆在这块正方形地板上，则小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出图中阴影部分的面积，利用几何概型公式求解即可．

【详解】不妨设正方形的边长为2个单位，则图中阴影部分的面积为两个圆（半径为1）的面积减去一个正方形（边长为2）的面积，即，

根据几何概型，小豆落在四叶草图（图中阴影部分）上的概率为．

故答案为：．

15. 在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.

【答案】    ①.     ②. ##

【解析】

【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.

【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，

设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示：

则，，，解得，，

外接球直径，其半径为，

三棱锥的体积，

在中，，，取的中点，连接，如下图所示：

则，且，所以，，

因为三棱锥的每个面的三边分别为、、，

所以，三棱锥的表面积为，

设三棱锥的内切球半径为，则，可得，

所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.

故答案为：；.

16. 在△ABC中，，，，∠BAC的角平分线交BC于D，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据所给条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解.

【详解】如图所示，记，，，

由余弦定理可得，，

即，

因为，解得，

由可得，

，

解得．

故答案为：

三、解答题：

17. 已知等比数列的公比，且，，成等差数列，数列前项和为，且.

（1）分别求出数列和的通项公式；

（2）设，其中数列前项和为，求.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项的意义结合等比数列求出公比即可求出，再利用前n项和公式求出数列的通项作答.

（2）利用错位相减法求和作答.

【小问1详解】

由成等差数列，得，而，且等比数列的公比，

则，即，解得，因此；

由，得当时，，

当时，，满足上式，即，

所以数列和的通项公式分别为，.

【小问2详解】

由（1）知，，

则，

于是有，

两式相减得：

，

所以.

18. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

（1）求a的值；

（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；

（3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）   

（2）估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093   

（3）这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，

（2）根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数，

（3）求出超几何分布的分布列，即可求解期望.

【小问1详解】

由题意得，

解得．

【小问2详解】

由题意知样本的平均数为，

所以．

又，所以．

则，

所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．

【小问3详解】

对应的频率比为，即为，

所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，

设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为，

则的所有可能取值为0，1，2，

，，，

所以．

则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．

19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）求直线与平面所成角的大小．

【答案】（1）详见解析；   

（2）详见解析；    （3）

【解析】

【分析】（1）利用线面平行判断判定定理即可证得平面；

（2）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得平面⊥平面；

（3）先求得直线与平面所成角的正弦值，进而求得该角的大小.

【小问1详解】

取中点S，中点T，连接,

又E，F分别为，的中点，

则 ,

又，则，

则四边形为平行四边形，则，

又平面，平面，则平面.

【小问2详解】

在△中，，，

由，可得，

由面⊥面，面面，

，面，可得面，

又面，则，

又，，面，

则面，又面，

则平面⊥平面；

【小问3详解】

连接，△中，，则，

又面⊥面，面面，面，

则面，则为点P到面的距离，

又E为的中点，则点E到面的距离为，

又△中，，，，

则，，则点E到面的距离为，

又，

设直线与平面所成角为，则，

又，则

则直线与平面所成角的大小为

20. 已知椭圆左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．

（1）若，求l的斜率；

（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值．

【答案】（1）；   

（2）证明过程见解析.

【解析】

【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；

（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【小问1详解】

当直线l不存在斜率时，方程为，显然与圆也相切，不符合题意，

设直线l的斜率为，方程为，与椭圆方程联立，得，

因为直线l与C相切，所以有，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

因为，所以有；

【小问2详解】

，

由，

设，

则有，，

，

把，代入上式，得

，而，

所以.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.

21. 设函数，，其中，．

（1）求的单调区间；

（2）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

【答案】（1）答案见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接求导，分和讨论即可；

（2）首先证明有关极值点的结论，再分，和讨论即可.

小问1详解】

若，则，

分两种情况讨论：

①当时，有恒成立，

此时的单调递增区间为，无单调减区间；

②当时，令，解得或，

当或时，，为增函数，

当时，，为减函数，

故的增区间为，，减区间为；

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调减区间；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

【小问2详解】

首先证明以下结论：若存在极值点，且，其中，则；

若存在极值点，则必有，且，

由题意可得，，则，

进而，

又，

由题意及（1）可得：存在唯一的实数，满足，其中，

则有，故有；

设在区间上的最大值M，表示x、y两个数的最大值，

下面分三种情况讨论：

①当时，，

由（1）知在区间上单调递减，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，所以。

②当时，，

由（1）、和开头所证的结论知，，，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，

③当时，，

由（1）、和开头所证的结论知，，，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

【点睛】关键点睛：本题第二问关键首先是证明有关极值点的结论，即若存在极值点，且，其中，则，再去对进行合理分类讨论.

选修：

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线的参数方程为(为参数，)，且直线与曲线交于A、两点，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据参数方程消参即可得出直角坐标方程；

（2）转化直线的参数方程与曲线方程联立，结合韦达定理计算即可.

【小问1详解】

曲线的参数方程为为参数），

则，即，

两式相减，可得曲线的直角坐标方程：

【小问2详解】

直线与曲线交于A、两点，

设A，两点对应的参数为，，

直线的方程可转化为，代入，

得，则，则，

所以．

23. 已知，函数的最大值为3，

（1）求实数m的值；

（2）若实数a，b，c满足，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出函数的最大值，结合已知最大值可求出；

（2）根据柯西不等式可求出结果.

【小问1详解】

.

∵，∴，当且仅当时取等号，

∴.

又∵的最大值为3，

∴，∴.

【小问2详解】

由（1）知，，所以，

根据柯西不等式得，

当且仅当时取等号，

又，所以当且仅当时取等号，

∴，

∴的最小值为