2019年福建省中考数学试卷与答案

2019年福建省中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．计算22+（﹣1）0的结果是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

2．北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（　　）

A．72×104 B．7.2×105 C．7.2×106 D．0.72×106

3．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形

4．如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

5．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6

6．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（　　）

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 

B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 

C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 

D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

7．下列运算正确的是（　　）

A．a•a3＝a3 B．（2a）3＝6a3 

C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0

8．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（　　）

A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 

C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685

9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　）

A．55° B．70° C．110° D．125°

10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．因式分解：x2﹣9＝　   　．

12．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是　   　．

13．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有　   　人．

14．在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是　   　．

15．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是　   　．（结果保留π）

16．如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝　   　．

三、解答题（共86分）

17．（8分）解方程组．

18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．

19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．

20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．

（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．

21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．

22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．

（1）求该车间的日废水处理量m；

（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．

23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；

（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．

（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；

（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．

25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；

（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．

2019年福建省中考数学试卷答案

1． A．2． B．3． D．4． C．5． B．6． D．7． D．8． A．9． B．10． D．

11．（x+3）（x﹣3）．12．﹣113． 1200．14．（1，2）．15．π﹣1．16． 6+2．

17．解：，

①+②得：3x＝9，即x＝3，

把x＝3代入①得：y＝﹣2，

则方程组的解为．

18．证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，

在△ADF和△BCE中，，

∴△ADF≌△BCE（SAS），

∴AF＝CE．

19．解：原式＝（x﹣1）÷

＝（x﹣1）•

＝，

当x＝+1，

原式＝

＝1+．

20．解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．

证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，

∴△ABC∽△A′B′C′，

∴

（2）证明：

∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，

∴DE＝，，，

∴△DEF∽△ABC

同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，

由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，

∴△DEF∽△D'E'F'．

21．（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°；

（2）证明：如图2，

∵点F是边AC中点，

∴BF＝AC，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC，

∴BF＝AB，

∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，

∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，

∴BE＝CB，

∵点F为△ACD的边AC的中点，

∴DF⊥AC，

易证得△CFD≌△ABC，

∴DF＝BC，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

22．解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，

∴m＜35．

依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，

解得：m＝20．

答：该车间的日废水处理量为20吨．

（2）设一天产生工业废水x吨，

当0＜x≤20时，8x+30≤10x，

解得：15≤x≤20；

当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，

解得：20＜x≤25．

综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．

23．解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6．

（2）购买10次时，

此时这100台机器维修费用的平均数

y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300

购买11次时，

此时这100台机器维修费用的平均数

y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，

∵27300＜27500，

所以，选择购买10次维修服务．

24．解：（1）∵AB＝AC，

∴＝，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠BAC＝2∠CAD；

（2）解：∵DF＝DC，

∴∠DFC＝∠DCF，

∴∠BDC＝2∠DFC，

∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，

∴CB＝CF，

又BD⊥AC，

∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．

又BC＝4，

设AE＝x，CE＝10﹣x，

由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，

解得x＝6，

∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，

∴DE＝＝＝3，

∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，

作DH⊥AB，垂足为H，

∵AB•DH＝BD•AE，

∴DH＝＝＝，

∴BH＝＝，

∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，

∴tan∠BAD＝＝＝．

25．解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，

则c＝4a；

（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），

且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），

又△ABC为等腰直角三角形，

∴点A为抛物线的顶点；

①c＝1，顶点A（1，0），

抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，

②，

x2﹣（2+k）x+k＝0，

x＝（2+k±），

xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；

则D，

yC＝（2+k2+k，

C，A（1，0），

∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，

直线AC表达式中的k值为：kAC＝，

∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．