还剩43页未读，
继续阅读
专题06分式与分式方程：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
展开
这是一份专题06分式与分式方程：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编，共46页。
专题06分式与分式方程三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
专题06分式与分式方程
一．选择题（共20小题）
（2023•天津）
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
（2023•凉山州）
2．分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
（2023•上海）
3．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•金昌）
4．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
（2023•宜宾）
5．分式方程的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022•牡丹江）
6．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
7．若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
（2022•营口）
8．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
（2023•内江）
9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
（2022•钢城区）
10．若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
（2022•威海）
11．试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
（2022•玉林）
12．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
（2022•河北）
13．若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022•眉山）
14．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
（2022•杭州）
15．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
（2022•南充）
16．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2021•百色）
17．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
（2023•十堰）
18．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•随州）
19．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•内江）
20．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共20小题）
（2023•岳阳）
21．已知 ，则代数式的值为 ．
（2023•上海）
22．化简：的结果为 ．
（2023•新疆）
23．要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
（2023•成都）
24．若，则代数式，的值为 ．
（2023•南充）
25．若分式的值为0，则的值为 ．
（2022•襄阳）
26．化简分式：＝ ．
（2022•菏泽）
27．若，则代数式的值是 ．
（2021•包头）
28．化简： ．
（2021•福建）
29．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
（2021•娄底）
30．已知，则 ．
（2023•苏州）
31．分式方程的解为 ．
（2023•永州）
32．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
33．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
（2023•巴中）
34．关于x的分式方程有增根，则 ．
（2023•重庆）
35．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
（2022•黄石）
36．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
（2022•鞍山）
37．某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工件产品，根据题意可列方程为 ．
（2022•内江）
38．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
（2022•齐齐哈尔）
39．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
（2021•潍坊）
40．若x＜2，且，则x＝ ．
三．解答题（共20小题）
（2023•凉山州）
41．解方程：．
（2023•连云港）
42．解方程：．
（2023•十堰）
43．化简：．
（2023•滨州）
44．先化简，再求值：，其中满足．
（2023•陕西）
45．化简：．
（2023•随州）
46．先化简，再求值：，其中．
（2023•苏州）
47．先化简，再求值：，其中．
（2023•枣庄）
48．先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
（2023•永州）
49．先化简，再求值：，其中．
（2023•烟台）
50．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
（2023•扬州）
51．计算：
(1)；
(2)．
（2023•江西）
52．化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
（2023•怀化）
53．先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
（2023•岳阳）
54．水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
（2023•烟台）
55．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
（2023•扬州）
56．甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
（2023•乐山）
57．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
58．小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
（2023•泸州）
59．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
（2021•济南）
60．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
参考答案：
1．C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
2．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
3．D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
4．A
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【详解】去分母得，
解方程得，
检验:是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
5．C
【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得到，
，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．
6．B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
7．B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
8．C
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
所以．
经检验，是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
10．D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
11．A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
13．B
【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
14．B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
15．C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
16．B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
18．A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
19．A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
20．D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，
由题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，代数式求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
22．2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
24．
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
25．
【分析】根据分式的值为0，得到，求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不能为零．
26．
【分析】根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
27．15
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：
=
=a(a-2)
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
28．1
【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1．
故填1．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
29．4
【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
30．3．
【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
31．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
32．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
33．且
【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵，
∴，即，
∴，
∵解为非负数，
∴，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0.
34．
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
35．4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
36．且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
37．
【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
38．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
39．m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
40．1
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，
即1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
41．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
42．
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
43．
【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
44．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
45．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
46．，．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
47．；
【分析】先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
48．，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∵，
∴的整数解有：，
∵，
∴，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
49．
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
50．；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
51．(1)
(2)
【分析】（1）先算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）除法变乘法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，分式的除法运算．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
52．(1)②；③
(2)见解析
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【详解】（1）解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）解：选择乙同学的解法．
.
．
选择甲同学的解法：
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
53．，当时，原式为；当时，原式为．
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：
，
当a取，1，2时分式没有意义，
所以或0，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
54．今年龙虾的平均亩产量．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
55．(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
56．
【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为，
，由题意得，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，也符合实际．
，
答：乙同学骑自行车的速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．
57．原计划每天种植梨树500棵
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键．
58．都不正确，正解见解析
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【详解】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
经检验是分式方程的解，
故原分式方程的解是．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
59．(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
60．（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
专题06分式与分式方程三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】
专题06分式与分式方程
一．选择题（共20小题）
（2023•天津）
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
（2023•凉山州）
2．分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
（2023•上海）
3．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•金昌）
4．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
（2023•宜宾）
5．分式方程的解为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022•牡丹江）
6．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
7．若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
（2022•营口）
8．分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
（2023•内江）
9．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
（2022•钢城区）
10．若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
（2022•威海）
11．试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A． B． C． D．
（2022•玉林）
12．若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
（2022•河北）
13．若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022•眉山）
14．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
（2022•杭州）
15．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
（2022•南充）
16．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2021•百色）
17．当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
（2023•十堰）
18．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•随州）
19．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023•内江）
20．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共20小题）
（2023•岳阳）
21．已知 ，则代数式的值为 ．
（2023•上海）
22．化简：的结果为 ．
（2023•新疆）
23．要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
（2023•成都）
24．若，则代数式，的值为 ．
（2023•南充）
25．若分式的值为0，则的值为 ．
（2022•襄阳）
26．化简分式：＝ ．
（2022•菏泽）
27．若，则代数式的值是 ．
（2021•包头）
28．化简： ．
（2021•福建）
29．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
（2021•娄底）
30．已知，则 ．
（2023•苏州）
31．分式方程的解为 ．
（2023•永州）
32．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
33．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
（2023•巴中）
34．关于x的分式方程有增根，则 ．
（2023•重庆）
35．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
（2022•黄石）
36．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
（2022•鞍山）
37．某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工件产品，根据题意可列方程为 ．
（2022•内江）
38．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
（2022•齐齐哈尔）
39．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
（2021•潍坊）
40．若x＜2，且，则x＝ ．
三．解答题（共20小题）
（2023•凉山州）
41．解方程：．
（2023•连云港）
42．解方程：．
（2023•十堰）
43．化简：．
（2023•滨州）
44．先化简，再求值：，其中满足．
（2023•陕西）
45．化简：．
（2023•随州）
46．先化简，再求值：，其中．
（2023•苏州）
47．先化简，再求值：，其中．
（2023•枣庄）
48．先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
（2023•永州）
49．先化简，再求值：，其中．
（2023•烟台）
50．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
（2023•扬州）
51．计算：
(1)；
(2)．
（2023•江西）
52．化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
（2023•怀化）
53．先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
（2023•岳阳）
54．水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
（2023•烟台）
55．中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
(1)求两种图书的单价分别为多少元？
(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
（2023•扬州）
56．甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
（2023•乐山）
57．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
58．小丁和小迪分别解方程过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
（2023•泸州）
59．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
（2021•济南）
60．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
参考答案：
1．C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
2．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
3．D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
4．A
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【详解】去分母得，
解方程得，
检验:是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
5．C
【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得到，
，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．
6．B
【分析】先将分式方程化成整式方程，再分①整式方程无解，②关于的方程有增根两种情况，分别求解即可得．
【详解】解：将方程化成整式方程为，即，
因为关于的方程无解，
所以分以下两种情况：
①整式方程无解，
则，解得；
②关于的方程有增根，
则，即，
将代入得：，解得；
综上，的值为1或3，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键．
7．B
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能为0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
8．C
【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
所以．
经检验，是原方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
10．D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
11．A
【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
13．B
【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
14．B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
15．C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
16．B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
17．A
【分析】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
18．A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
19．A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
20．D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，
由题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．
【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，代数式求值，掌握分式的减法法则是解题的关键．
22．2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
23．
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
24．
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
25．
【分析】根据分式的值为0，得到，求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，还要注意分式的分母不能为零．
26．
【分析】根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
27．15
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：
=
=a(a-2)
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
28．1
【分析】直接按照分式的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=1．
故填1．
【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算，掌握分式的四则混合运算法则成为解答本题的关键．
29．4
【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
30．3．
【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．
【详解】解：，
又∵，
∴，
则，
故答案为：3．
【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算．
31．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
32．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
33．且
【分析】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵，
∴，即，
∴，
∵解为非负数，
∴，
∴，
∴且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0.
34．
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
35．4
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．
36．且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
37．
【分析】根据题意可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
38．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
39．m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
40．1
【分析】先去掉绝对值符号，整理后方程两边都乘以x﹣2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程为2﹣x+x﹣1＝0，
即1，
方程两边都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
经检验x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和绝对值，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
41．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，
得，
整理得，，
∴，
解得：，，
检验：当时，，是增根，
当时，，
原方程的解为．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
42．
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
43．
【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
44．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
45．
【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
46．，．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
47．；
【分析】先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
48．，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∵，
∴的整数解有：，
∵，
∴，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
49．
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
50．；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：
，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
51．(1)
(2)
【分析】（1）先算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）除法变乘法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，分式的除法运算．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
52．(1)②；③
(2)见解析
【分析】（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可；选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可．
【详解】（1）解：甲同学的解法是：先把括号内两个分式通分后相加，再进行乘法运算，
通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：②．
乙同学的解法是：根据乘法的分配律，去掉括号后，先算分式的乘法，再算加法，
故答案为：③．
（2）解：选择乙同学的解法．
.
．
选择甲同学的解法：
原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
53．，当时，原式为；当时，原式为．
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：
，
当a取，1，2时分式没有意义，
所以或0，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
54．今年龙虾的平均亩产量．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
55．(1)《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
(2)当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
56．
【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为，
，由题意得，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，也符合实际．
，
答：乙同学骑自行车的速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．
57．原计划每天种植梨树500棵
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天种植梨树x棵
由题可知：
解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
【点睛】题目注意考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题关键．
58．都不正确，正解见解析
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【详解】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
经检验是分式方程的解，
故原分式方程的解是．
【点睛】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
59．(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
60．（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
相关试卷
专题06 分式与分式方程-5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）： 这是一份专题06 分式与分式方程-5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题06分式与分式方程-5年2019-2023中考1年模拟数学真题分项汇编全国通用原卷版docx、专题06分式与分式方程-5年2019-2023中考1年模拟数学真题分项汇编全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
【中考真题汇编】2019-2023年 5年真题分项汇编 初中数学 专题06 分式与分式方程（教师版+学生版）.zip： 这是一份【中考真题汇编】2019-2023年 5年真题分项汇编 初中数学 专题06 分式与分式方程（教师版+学生版）.zip，文件包含中考真题汇编2019-2023年5年真题分项汇编专题06分式与分式方程解析版docx、中考真题汇编2019-20235年真题分项汇编专题06分式与分式方程学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
专题06分式与分式方程（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】： 这是一份专题06分式与分式方程（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】，文件包含专题06分式与分式方程优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用原卷版docx、专题06分式与分式方程优选真题60道-学易金卷三年2021-2023中考数学真题分项汇编全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
