广东省佛山市三水区三水中学2022-2023学年高二上学期第一次统考（10月）数学试题

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三水中学高二级2022—2023学年度上学期第一次统考数学科试题考试时间：2022.10本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卷相应的位置.）1.同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（    ）A.   B.   C.   D.2.已知点，点关于原点的对称点为，则（    ）A.25   B.12   C.10   D.53.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和则恰有1人译出密码的概率是（    ）A.   B.   C.   D.4.已知，，且，则（    ）A.，   B.，C.，   D.，5.在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（    ）A.   B.   C.   D.6.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（    ）A.与不独立   B.与不独立C.与相互独立  D.与相互独立7.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，与、都成60°角，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A.   B.   C.   D.8.在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）A.   B.C.    D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）9.从含有若干次品的一批产品中随机取出三件，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确是（    ）A.事件与互斥   B.事件与互斥C.事件与互斥   D.是必然事件10.以下说法正确的是（    ）A.设、是两个空间向量，则、不一定共面B.设、是两个空间向量，则C.设、、是三个空间向量，则、、一定不共面D.设、、是三个空间向量，则11.已知四面体中，，，两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是（    ）A.B.C.D.12.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（    ）A.存在点，使得B.线段长度的取值范围是C.当点与点重合时，四棱锥的体积为2D.设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答题卷上.）13.已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对事件），则__________14.已知平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为__________.15.如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.16.如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，分别是侧棱，上的点，平面与平面所成的（锐）二面角为，则当最小时___________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从3名男生和2名女生中任选2人参加比赛.①求所选2人都是男生的概率；②求所选2人恰有1名女生的概率；③求所选2人中至少有1名女生的概率18.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心.（1）求点，的坐标及；（2）求向量在方向上的投影向量.19.如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点.（1）以为一组基底表示向量；（2）若，，，求.20.一只口袋有形状大小质地都相同的4只小球，这4只小球上分别标记着数字1，2，3，4.甲乙丙三名学生约定：（i）每个不放回地随机摸取一个球；（ii）按照甲乙丙的次序一次摸取；（iii）谁摸取的球的数字最大，谁就获胜.用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的是数字1，乙摸取的是数字4，丙摸取的是数字3；表示在一次实验中，甲摸取的是数3，乙摸取的是数字1，丙摸取的是数字2.（Ⅰ）列出基本事件，并指出基本事件的总数；（Ⅱ）求甲获胜的概率；（Ⅲ）写出乙获胜的概率，并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关？21.已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.22.如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点、，且平面，平面.（1）证明：平面；（2）若，点在直线上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值.三水中学高二级2022—2023学年度上学期第一次统考数学科试题参考答案1.A  2.C  3.B  4.A5.B详解：在一次所谓“算怪”中得到六爻，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B.6.D【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，.其中事件包括：，，，，，，，.事件包括：，，，，，，，，，.事件包括：，，，，，，，.事件包括：，，，，，，，.易知A错误，B错误；对于C：因为，，而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；对于D：因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.故选：D7.C【详解】设，，，则，，，从而，，，，所以.故选：C.8.D【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，设，则，，，设平面的法向量为则，令，得所以，由于，∴，∴，∴，∴，∴，由于，所以故选：D9.ACD解：对于事件指的是三件产品都是合格品；对于事件指的是三件产品全是次品；对于事件指的是包括0件次品（全是合格品），一件次品，两件次品三个事件；事件包含于，故B错，与C是互斥事件，而且是对立事件，故AD正确；和互斥事件，故C正确。故选ACD10.BD【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错；对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，B对；对于C选项，在中，，，，则、、共面，C错；对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D对.故选：BD.11.ABD【详解】由题可知，可做如图所示的长方体，设，，.，，，，故A正确；，故B正确；∵平面，∴，，∴，但无法判断和是否垂直，故C不一定正确；由图易知，，，，故，故D正确.故选：ABD.12.BC【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、.设点、，其中，.对于A选项，若存在点，使得，且，，，解得，不合乎题意，A错；对于B选项，设，其中，即，即，可得，∵，则，所以，，B对；对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所示：在直三棱柱中，四边形为矩形，则且，∵、分别为、的中点，则且，所以，且，同理且，且，所以，，故几何体为三棱台，，，，，因此，，C对；对于D选项，，，则点到直线的距离为，，则点到直线的距离为，所以，，故，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4，D错.故选：BC.13.0.9  14.1  15.216.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：设，，则，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量为，所以，即，当最小时，，，所以，所以，故答案为：.17.（1）（2）（3）试题解析：（1）从3名男生和2名女生中任意选两人参加比赛，所有的选法共有10种，其中所选2人都是男生的选法有种，故所选2人都是男生的概率为.（2）所选2人恰有1名女生的选法有种，所有的选法共有10种，由此可得所选2人恰有1名女生的概率.（3）所选2人至少有1名女生的选法有种，所有的选法共有10种，由此求得所选2人至少有1名女生的概率.18.（1），，；（2）.（1）因为正方体的棱长为1，位于坐标原点，是棱的中点，是侧面的中心，所以，，则，故.（2）由题设，，，则，所以，所以向量在方向上的投影向量为.19.（1）；（2）-3.（1）∵为线段的中点，∴，∵，∴，∴；（2）.20.5.（1）24（2）（3）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关【详解】（Ⅰ）基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.基本事件的总数是24.（Ⅱ）事件“甲获胜”所包含的基本事件为：，，，，，，.甲获胜的概率为：；（Ⅲ）乙获胜的概率为；甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序无关.21.解：（1）∵平面平面，平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴.∵四边形是正方形∴.∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，，即，可取.设，，则解得或（舍去）.故，∴.22.解：（1）因为平面，平面，平面平面，所以，且为棱的中点.，因为，所以.同理，因为平面，平面，平面平面，所以因为平面，所以，所以，又，所以平面，即平面.（2）如图所示，以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设，则，设平面的一个法向量为，则令，则，，所以为平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则则，令，则，所以为平面的一个法向量.设平面与平面所成的锐二面角为，则.当时，；当时，，当且仅当，即时，取得最小值，取得最大值，最大值为所以平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值为.