山东省泰安市第二中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

泰安二中高一年级12月月考数学试题

时间：120分钟   满分：150分

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 命题“，”的否定为（    ）

A ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.

【详解】根据题意，命题“，”是全称命题，其否定为：，.

故选：C.

2. 若集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，分别求得集合，，根据集合的交集运算，求得，即可求解.

【详解】由集合，，

所以，所以中元素的个数为2个.

故选：C.

3. 函数与的图象交点为，则所在区间是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】令函数，，由于，所以区间(2,3)必有零点．

4. 若，则“”是 “”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

5. 函数的单调递增区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求.

【详解】由，得或，

则原函数的定义域为或，

令，其对称轴方程为，该函数在上单调递增，

又函数是定义域内的增函数，

∴函数的单调递增区间是.

故选：D.

6. 玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解

【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，

该扇形玉雕壁画面积

（）．

故选：D．

7. 已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，

【详解】由题意可知恒成立．

①当时，恒成立；

②当时，，解得．

综上：．

故选：C

8. 已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.

【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，

又幂函数在上单调递增，

所以，此时在R上单调递增，

因为，所以，解得或，

所以不等式的解集为，

故选：B.

二．多项选择题（共4小题，每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，多选不得分，共20分）

9. 若，且，在下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【详解】对于A，∵，，∴，故A正确，

对于B，，，∴，故B正确，

对于C，令，则，故C错误，

对于D，令，，满足，但，故D错误.

故选：AB.

10. 关于函数，描述正确的是（    ）

A. 的定义域为

B. 有个零点

C. 在定义域上增函数

D. 是定义域上的奇函数

【答案】AD

【解析】

【分析】根据分式和偶次根式定义域的基本要求可知A正确；令，结合定义域可知B错误；利用反例可知C错误；求得分段函数解析式后，根据奇函数定义可知D正确.

【详解】对于A，由得：，解得：或，

定义域为，A正确；

对于B，由得：，解得：或，

有和两个零点，B错误；

对于C，定义域为，；

，，

，不满足增函数定义，C错误；

对于D，由题意得：；

当时，，，

为奇函数，D正确.

故选：AD.

11. 下列命题错误的是（    ）

A. 命题“，都有”的否定是“，使得”

B. 函数的零点有2个

C. 用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1

D. 函数在上只有一个零点，且该零点在区间上

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断A；求出函数的零点结合零点的存在性定理即可判断B；根据二分法的定义即可判断C；根据零点的存在性定理即可判断D.

【详解】解：对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；

对于B，或时，，

因为在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

又因为，所以函数在上有且仅有1个零点，故B错误；

对于C，开区间的长度等于1，没经过一次操作长度变为原来的一半，

则经过次操作之后，区间的长度变为，

故有，则，所以，

所以至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C错误；

对于D，因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

又，

所以函数在上只有一个零点，且该零点在区间上，故D正确.

故选：ABC.

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 是周期函数 B. 是奇函数

C. 的图象关于直线对称 D. 在处取得最大值

【答案】BD

【解析】

【分析】首先化简函数，再根据函数周期定义，判断A，利用函数奇偶性的定义，判断B；利用对称性的特征，举反例，判断C；代入验证D.

【详解】，

A.的最小周期是，的最小正周期是，但，，所以函数不是周期函数，故A错误；

B.设，，，

当时，同理可得，且，所以函数时奇函数，故B正确；

C.，，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；

D. 时，，所以函数取得最大值，故D正确.

故选：BD

三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分；第16题第一空2分，第二空3分）

13. 计算：___________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解.

【详解】

故答案为：0

14. 已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；

【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；

故答案为：

15. 已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为_________.

【答案】12

【解析】

【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根得，最后根据基本不等式求最值.

【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为，

，，

所以，为奇函数，

又在单调递减，

所以在单调递减，在出连续，

在单调递减，

所以在上单调递减，

 ，，

，即，

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以的最小值为12.

故答案为：12

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16. 若函数（且）,图象恒过定点,则_____；函数的单调递增区间为____________．

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】根据对数的运算性质可以直接求出点的坐标,这样可以计算出的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数的单调递增区间.

【详解】由函数（且）的解析式可知：当时, ,因此有

；因此,由复合函数的单调性的性质可知：函数的单调递增区间为：.

故答案为2；

【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键.

四．解答题（共6小题，共70分）

17. 计算下列各式.

（1）

（2）.

【答案】（1）110    （2）3

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算法则进行求解；

（2）利用对数的运算法则进行求解.

【小问1详解】

原式=.

【小问2详解】

原式

.

18. 设全集，函数的定义域为集合，集合，命题：若______时，则，从①，②，③这三个条件中选择一个条件补充到上面命题中，使命题为真，说明理由；并求.

【答案】；

【解析】

【分析】

求出定义域集合，集合，取值使，然后利用集合的交补运算即可求解.

【详解】根据题意可得，解不等式可得，

所以，

，

当时，，此时，

即命题为假，故不取；

当时，，此时，

即命题为真，

或，所以，

当时，，此时，

即命题为真，

或，所以，

综上所述，可选，

【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域、指数函数单调性解不等式、命题的真假以及集合的交补运算，属于基础题.

19. 已知关于的方程的两个根为.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求方程的两个根及此时的值.

【答案】（1）或；（2）；（3）当方程的两个根分别时，此时．当方程的两个根分别时，此时．

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，的关系．解出，的值，即可求解的值；（2）由即可得m的值；（3）由（1）可得方程的根和此时的值.

【详解】由的方程的两个根为，．

可得，，

，．

或

那么或．

当时，，

当时，，

（2）由，可得．

（3）当方程的两个根分别时，此时．

当方程的两个根分别时，此时．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的关系式的计算．属于基础题．

20. 珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨珍珠棉还需要投人其他成本万元.

（1）写出该公司本季度增加的利润万元与之间的函数关系；

（2）当为多少万元时，公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？

【答案】（1）y   

（2）当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元

【解析】

【分析】（1）根据题目中等量关系，列出函数关系式；（2）对函数进行变形，利用基本不等式求解最值.

【小问1详解】

;

【小问2详解】

.

，

，

当且仅当，即时等号成立，

，

当万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.

21. 已知函数（，）.

（1）求函数的定义域；

（2）当时，解关于不等式；

（3）当时，，求函数在区间上的最值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）最小值为；最大值为.

【解析】

【分析】（1）对底数进行讨论，即可求解定义域；

（2）根据，指数、对数为递增函数，即可脱去“”，解得的范围；

（3）利用对数的运算化简，可以单调性即可求解在区间上的最值；

【小问1详解】

由，即，

当时，；当时，；

所以，当时，定义域为；当时，定义域为；

【小问2详解】

当时，是递增函数，定义域为；

由即，可得，解得

∴关于不等式的解集为.

【小问3详解】

当时，

，

易知在区间上为递增函数，

∴函数在区间上的最小值为；

最大值为.

22. 定义在上的函数满足：

①对任意，，都有；②在上是单调递减函数，.

（1）求的值.

（2）求证：为奇函数.

（3）解不等式.

【答案】（1）；   

（2）证明见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）利用赋值法，即得；

（2）利用函数奇偶性的定义即得；

（3）由题意可知，结合函数的单调性性和函数的定义域列不等式，进而即得.

【小问1详解】

令，得，

所以；

【小问2详解】

由题可知函数的定义域为关于原点对称，

令，得，

即，

所以为奇函数；

【小问3详解】

因为，为奇函数，

所以，

所以不等式等价于，

又因为在上是减函数，

所以，且，

解得，

所以不等式的解集为.