24届武汉高三数学九调导数压轴题目的命题背景

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24届武汉九调导数压轴题目的命题背景一．命题背景若，设的两个极值点为，我们现在来统一双变量，将化成一元形式，首先来解决分子.注意到：，则是方程的两个根（不妨设）.由，得，同理，由求根公式得：，，则，.于是所以.设，则只需证的性质即可.二．原题分析（2023年武汉九月调考T22）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．解析：(2).令,得.由题意,是关于的方程的两个实根.所以.由,有.所以,将代入,得,同理可得:.所以令,上式为.设,此时..记.记时,单调递增,所以.所以单调递增,.所以在单调递减.又.此时.由于当且仅当且,即时,取到最大值4,即的最大值为2.所以的最小值为.习题（23届泉州一诊）．已知函数（1）讨论的单调性；（2）若在有两个极值点，求证：．解析：（1）由，求导得，易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，①当时，即，，则在上单调递增；②当时，即或，令时，解得或，当时，，则在上单调递减；当或，，则在和上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当或时，在上单调递减，在和上单调递增.（2）在上由两个极值点，或，且为方程的两个根，即，，，，即，将，代入上式，可得：，由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.参考文献：[1].李红春，孔峰. 武汉市2019届高三二月调考压轴试题的解法与思考.[J].数学通讯.2019.06.