2022-2023学年北京市第九中学高一下学期期末模拟（四）数学试题含答案

2022-2023学年北京市第九中学高一下学期期末模拟（四）数学试题

一、单选题

1．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是

A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定

【答案】A

【详解】试题分析：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．

解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，

可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，

故选A．

【解析】三角函数线．

2．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正方体内切球直径与棱长相等，结合已知条件及球体体积公式求正方体的棱长，进而求正方体的表面积.

【详解】正方体性质知：内切球的直径等于棱长，

∴由题意，，得，

∴正方体表面积.

故选：C.

3．复数下列说法正确的是（    ）

A．z的模为 B．z的虚部为

C．z的共轭复数为 D．z的共轭复数表示的点在第四象限

【答案】A

【分析】由复数的除法运算可得，然后求出模长、共轭复数可判断选项.

【详解】，

z的模为，故A正确；    

z的虚部为，故B错误；

z的共轭复数为，故C错误；    

z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误.

故选：A.

4．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M，N同时从点出发，沿圆周运动，点M按逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相遇时点M转过的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两点相遇一次转过弧度之和为即可求解.

【详解】由题意，动点第三次相遇，则两个动点转过的弧度之和为：，

设从点出发秒后点第三次相遇，则，解得秒，

此时点转过的弧度数为弧度

故选：C

5．下列各式中，值为的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题可通过二倍角公式以及同角三角函数关系得出结果.

【详解】，

，

，

，

故选：D.

6．如图在梯形中，，，设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

又，，

所以.

故选：D.

【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.

7．一半径为的水轮，水轮圆心距离水面2，已知水轮每分钟按逆时针方向转动3圈，当水轮上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间.将点距离水面的高度(单位：)表示为时间(单位：)的函数，则此函数表达式为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由图可知将水轮放入平面直角坐标系中,由三角函数的定义即可得到结果.

【详解】由图,,则,所以,

由水轮每分钟按逆时针方向转动3圈,可得,则,

设,

由题代入可得,

故选:A

【点睛】本题考查函数模型的应用,考查三角函数的解析式,考查三角函数的定义的应用.

8．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．是钝角三角形

【答案】B

【分析】用正弦定理即可判断A；用余弦定理可以判断D，再结合平面向量数量积的定义可以判断B；先用余弦定理确定A，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.

【详解】对A，由正弦定理可得正确；

对B，D，设，∴，A为钝角，，B错误，D正确；

对C，∵，则，∴，∴.

故选：B.

9．若是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

【答案】C

【分析】先根据条件平方可得，进而得为钝角，即可判断三角形的形状．

【详解】是三角形的一个内角，∴，

又，平方得

解得，

故．

为钝角，即三角形为钝角三角形．

故选：C．

10．如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可．

【详解】因为，

，

，

所以

即当取最大值时，取得最大值．

当与同向时，取得最大值为，

此时，取得最大值．

故选：C．

二、双空题

11．已知向量=(，4)，=(l，2).若向量与共线，则=     ；若⊥，则=    .

【答案】     2     -8

【分析】根据向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算直接计算即可．

【详解】若与共线，则，即；

若与共线，则，即．

故答案为2；．

【点睛】本题考查向量平行和垂直的坐标运算，属于基础题，解题时要注意两者的区别．

三、填空题

12．已知纯虚数满足，则          ．

【答案】2

【分析】设，根据复数模的定义得，解出值即可得到答案.

【详解】设，则，则，

即舍去或，所以．

故答案为：．

13．一个正方体的顶点都在同一球的球面上，它的棱长是4cm，则这个球的体积是     ．

【答案】

【分析】先求出球的直径，再根据球体积公式求结果.

【详解】正方体的体对角线长为，所以其外接球的半径为．

所以其外接球的体积为．

故答案为：

14．已知，则的值为          ．

【答案】

【分析】根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以

.

故答案为：

15．函数在区间上的最小值为          用数字作答．

【答案】

【分析】利用二倍角公式化简得，根据的范围求得，再根据二次函数的性质求函数的最小值．

【详解】函数，

因为，所以，

所以当或时，函数同时取得最小值，为，

故答案为：．

四、解答题

16．(1)已知，且为第三象限角，求的值

 (2)已知，计算   的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由，结合为第三象限角，即可得解；

（2）由，代入求解即可.

【详解】（1）,∴,又∵是第三象限.

∴

（2）.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.

17．已知向量，.

（1）当为何值时，与垂直？

（2）若，，且三点共线，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用坐标运算表示出与；根据向量垂直可知数量积为零，从而构造方程求得结果；（2）利用坐标运算表示出，根据三点共线可知，根据向量共线的坐标表示可构造方程求得结果.

【详解】（1），

与垂直

，解得：

（2）三点共线    

，

，解得：

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直则数量积等于零，能够利用平行关系表示三点共线.

18．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出，再由是锐角三角形，即可算出角的大小；

（2）由余弦定理可得，再由即可得到的值，再根据三角形的面积公式计算可得．

【详解】（1）解： 中，，

根据正弦定理，得，

锐角中，，

是锐角的内角，；

（2）解：，，

由余弦定理，得，

化简得，

，平方得，

两式相减，得，可得．

因此的面积．

19．已知函数．

(1)求函数的最小正周期；

(2)求函数在上的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的周期公式即可得解；

（2）利用正弦函数的性质求得函数在区间上的最值即可．

【详解】（1）因为

，

故函数的最小正周期．

（2）当时，，

则，所以，

即函数在上的值域是．

20．在①；②；③向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.

已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足__________.

（1）求角C；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.

【分析】（1）若选择①，利用正弦定理边角互化，再由余弦定理可求出角C；若选择②，利用正弦定理边角互化，再由两角和的正弦公式化简，可得角C；若选择③，利用正弦定理可得角C；

（2）利用余弦定理可得，由为锐角三角形得出的范围，进而求出面积以及取值范围．

【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得，即，

由余弦定理得，∴.

若选择②：由②及正弦定理得，即，，

∵，∴，.

若选择③：由③可得，∴，

∴，.

（2）由已知及余弦定理可得，

由为锐角三角形可得且，解得，

面积.

(或由正弦定理将b转换成一个内角的三角函数求解)