2022-2023学年贵州省毕节市高一下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年贵州省毕节市高一下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．设集合且，则的取值集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意知，由集合交集定义可解.

【详解】由题意知，所以，或，

当时，得，不符合题意；

当时，得，或，

当，不符合题意，时，，符合题意.

故选：B

2．复数满足，则的共轭复数的虚部是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】先求复数，可得其共轭复数的虚部.

【详解】由得，

故，其虚部为，

故选：A

3．是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用偶函数的性质和对各选项中的不等式逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且.

对于A选项，与的大小无法判断；

对于B选项，与的大小无法判断；

对于C选项，，该不等式成立；

对于D选项，与的大小无法判断.

故选：C.

4．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（    ）

A．38 B．39 C．40 D．41

【答案】B

【分析】根据百分位数的定义求解即可

【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，

因为，所以第75百分位数为，

故选：B

5．长方体的所有顶点都在一个球面上，长､宽､高分别为，那么这个球体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据长方体特征求出外接球半径，结合球体的体积公式求解答案.

【详解】长方体的体对角线长，即外接球的直径长为，

所以外接球半径为，

所以这个球体的体积.

故选：D

6．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】根据直线与平面相关知识逐一判断即可.

【详解】对于A，若，则或，故A错误；

对于B，若，则或或与相交，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，若，则或或与相交，故D错误.

故选：C

7．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据求得，再结合向量夹角的坐标公式求解答案.

【详解】因为，

所以，

又因为，所以，解得，

则，所以，

所以.

故选：D

8．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，求“”成立时的范围，由此结合充分必要条件的定义分析可得答案．

【详解】根据题意，若，即，

变形可得：或，

又由，则或，

若“，”，则，必有；

反之，若，即或，不一定有“，”，

故“，”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

二、多选题

9．已知函数，若，则的值可以为（    ）

A． B．3 C．7 D．8

【答案】AD

【分析】分和两种情况求解

【详解】当时，由，得，解得或（舍去），

当时，由，得，解得，

综上或，

故选：AD

10．如图，一块半径为4的圆形铁片上有3块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的正三角形沿虚线加工成一个正三棱锥，则该正三棱锥的（    ）

A．表面积为 B．表面积为

C．体积为 D．体积为

【答案】AC

【分析】根据正弦定理得到正三棱锥的棱长，结合正三棱锥表面积和体积公式求解即可.

【详解】在中，由正弦定理得，，

该正三棱锥表面积即的面积，为，故A正确，B错误.

如下图所示，记中点分别为，重合于点，

则正三棱锥的棱长为，，

过点作平面，连接，

则在中，由正弦定理得，则，

所以，

所以该正三棱锥体积为，故C正确，D错误.

故选：AC

11．在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，分类讨论可能的情况，结合向量数量积的坐标运算公式求解答案.

【详解】在等腰直角中，，则，

如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，

则，

①为线段靠近的三等分点，则，

此时，，则；

②为线段靠近的三等分点，则，

此时，，则.

所以的值可能为2或.

故选：BD

12．已知函数，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由已知结合对数函数的性质及对数的运算性质可得，代入整理可求结论．

【详解】因为，

若，

则，即，

所以，故B正确；

（当且仅当时取等号），但，即等号不成立，故A不正确；

，当且仅当时等号成立，故C正确；

，当且仅当时等号成立，此时，不符合题意，

由，令，任取，

所以由于，所以，所以，则，

在上为增函数，

所以，可得，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．已知函数，则          .

【答案】/2.5

【分析】根据已知以及对数的运算性质计算求解.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

14．已知，则的最大值为          .

【答案】

【分析】根据已知，利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以.

故答案为：.

四、双空题

15．某地2022年1至4月降水量的均值､方差分别为5至12月降水量的均值､方差分别为，则该地2022年全年降水量的均值为          ，方差为          .

【答案】     80     39

【分析】根据分层抽样均值方差公式可得.

【详解】均值：，

方差：

故答案为：80；39

五、填空题

16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.

①；

②点第一次到达最高点需要的时间为；

③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；

④若在上的值域为，则的取值范围是；

其中所有正确结论的序号是          .

【答案】①④

【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断①；根据旋转角度即可判断②和③；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断④.

【详解】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，

所以点距离水面的高度的最值为，所以，

因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，

因为，所以，

又因为，所以，故①正确；

对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为，

所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误；

对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动，

则所需要的时间是，故③错误；

对于④，若在上的值域为，

则在上的值域为，

因为，所以，

所以，则，故④正确.

故答案为：①④

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.

六、解答题

17．已知函数.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据正弦和角公式、正弦二倍角公式、余弦和角公式化简函数，再代入求值；

（2）根据题意得到，结合范围求解即可.

【详解】（1）由题意得，

所以

（2）因为，所以，

因为，所以，

所以，即

18．某市政府为了鼓励居民节约用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个合理的居民用电量标准（单位：），月用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用电量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用电量（单位：），将数据按照，分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)已知该市有60万居民，估计全市居民中月均用电量不低于的人数，并说明理由；

(3)若该市政府希望使的居民每月的用电量不超过标准，估计的值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)22.2万人，理由见解析

(3)，理由见解析

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为1，计算求解即可.

（2）根据已知，结合频率分布直方图，利用总数乘以频率计算.

（3）根据已知，结合频率分布直方图，计算分位数.

【详解】（1）由题意有

解得.

（2）由题意知，用电量不低于的频率为

估计人数为万人

（3）前5组的频率和为

，

前6组的频率和为

，

，

，

解得.

19．已知中，内角所对的边分别为，且.

(1)求的值；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得到，从而得到；

（2）根据余弦定理和基本不等式得到，再利用面积公式可得到面积的最大值.

【详解】（1）由及正弦定理得

，

即，

，

，则，，即，

，；

（2）由，，

，（当且仅当时等号成立），

的面积，

的最大值为.

20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.

(1)求证：平面；

(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知以及勾股定理、面面垂直的性质定理，利用线面垂直的判定定理进行证明.

（2）根据已知，证明为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性质计算求解.

【详解】（1）证明：在中，

又侧面底面，

侧面底面平面，

平面，又平面，

，又，平面，

平面.

（2）  

解：取的中点为，连接，

，所以

又侧面底面，侧面底面，面，

平面

又平面，，

过点作，垂足为，连接，又，平面，

平面，又平面，平面，

，

为侧面与底面所成二面角的平面角，

在直角中，，

，，

即侧面与底面所成二面角的正弦值为.

21．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数的奇偶性并证明；

(3)求证：.

【答案】(1)

(2)为偶函数，证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由可求出函数的定义域；

（2）根据函数奇偶性的定义证明即可；

（2）根据偶函数的性质和指数函数的性质证明.

【详解】（1）由，解得

所以函数的定义域为.

（2）为偶函数，证明如下：

（）

因为

所以为偶函数.

（3）证明：因为，

所以当时，，

所以

当时，由为偶函数，所以，

综上，.

22．某地区上年度水价为3.8元/吨，年用水量为吨，本年度计划将水价下降到3.55元/吨至3.75元/吨之间，而用户期望水价为3.4元/吨.经测算，下调水价后新增用水量和实际水价与用户的期望水价的差成反比（比例系数为）.该地区的用水成本价为3.3元/吨.

(1)写出本年度水价下调后水务部门的收益（单位：元）关于实际水价（单位：元/吨）的函数解析式；（收益实际水量（实际水价成本价））

(2)设，当水价最低定为多少时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长？

【答案】(1)

(2)3.6元/吨

【分析】（1）由题意分析得到实际水量为进而求解即可；

（2）表示出本年度最低收益为，列出不等式进行求解即可.

【详解】（1）由题意知，新增水量为：

所以实际水量为：

所以收益为

（2）上年收益为：

所以本年度最低收益：

由题意得：，且

整理得解得或

又因为，所以

答：当水价最低定为3.6元/吨时，仍可保证水务部门的收益比上年至少增长.