2022-2023学年陕西省西安市莲湖区高一上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市莲湖区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分性和必要性的定义得答案.

【详解】由可得，

因为不能推出，但能推出，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B

3．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】借助三角函数的定义直接求解即可.

【详解】,

故选：B.

4．为了得到函数的图象，只要把函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】A

【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得.

【详解】因为，

所以只需把函数的图象向左平移个单位长度，就可以得到函数的图象.

故选：A

5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及可求得结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以要使有意义，则

，解得且，

所以原函数的定义域为，

故选：C．

6．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项.

【详解】函数的定义域为，，因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足；

又，所以选项B不满足，选项A符合题意.

故选：A

7．若函数，则下列函数为奇函数的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合奇函数的定义判断各选项即可.

【详解】因为，

所以，定义域为，不关于原点对称，故A，C错误；

因为，定义域为，

又，所以不是奇函数，故B错误；

，定义域为，

又，所以是奇函数，故D正确.

故选：D．

8．若角满足，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用三角恒等变换将方程化简得，从而得到或，再对选项逐一检验即可得解.

【详解】因为

，

所以，故或，即或，

依次检验、、、，可知为的可能值，其余皆不可能.

故选：B.

二、多选题

9．关于命题“”，下列判断正确的是（    ）

A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题

C．该命题是真命题 D．该命题是假命题

【答案】BC

【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD.

【详解】是存在量词命题，

A选项错误B选项正确；

时，成立，

命题为真命题，即C正确D错误.

故选：BC

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．的单调递增区间为

C．的单调递减区间为

D．在上的值域为

【答案】ACD

【分析】对于A，利用最小正周期公式即可判断；对于BC，利用正弦函数的单调性即可判断；对于D，利用正弦函数求值域即可判断

【详解】对于A，由可得最小正周期为，故正确；

对于B，因为可得，

所以的单调递增区间为，故错误；

对于C，因为可得，

所以的单调递减区间为，故正确；

对于D，因为，所以，

所以，所以，故正确

故选：ACD

11．若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】BC

【分析】由在上单调递增分析，两段函数都要递增，且分段处也要符合递增的情形，故而可得不等式组，求解即可.

【详解】因为在上单调递增，

所以，解得，

则BC符合取值范围.

故选：BC.

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】设，则，，然后利用三角恒等变换逐项分析即可.

【详解】由题意得，

设，则，

故A对B错；．

．

所以C对D错.

故选：AC.

三、填空题

13．的值为            ．

【答案】

【分析】根据终边相同的角及诱导公式求解.

【详解】，

故答案为：

14．若正数满足，则的最大值为      ．

【答案】4

【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再利用对数的运算性质可求出结果.

【详解】解：由题意得，即，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

即的最大值为4，

故答案为：4．

15．写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：          ．

①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．

【答案】///

【分析】根据二次函数的特征，如顶点、对称轴设函数的解析式即可求解.

【详解】第一种情况：具有①②③三个性质，由②③可设，则根据①可得：，解得，所以．

第二种情况：具有①②④三个性质，由①④可设，则根据②可得：，解得，所以．

第三种情况：具有①③④三个性质，由①④可设，则根据③可得：，解得：，所以．

第四种情况：具有②③④三个性质，由②③可设，则根据④可得：，解得，所以．

故答案为：或或或.（不唯一）

16．设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是            ．

【答案】

【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的所在的区间，解不等式组，可求得结果.

【详解】,

在上恰有两个零点，恰有两个最高点，

即，

当时，不符合题意,

当时，不等式组为，不等式无解，

当时, 不等式组为，不等式无解，

当时，得，

当时，，得，

当时,不等式无解.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)2

(2)0

【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行运算即可；

（2）运用对数的运算性质进行运算即可

【详解】（1）

（2）

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数关系即可求解；

（2）利用同角三角函数关系可求出，根据所在象限讨论即可求解.

【详解】（1）由题意得，

解得.

（2）由，代入，得，

当为第一象限角时，，，

所以；

当为第三象限角时，，，

所以．

综上所述，或.

19．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)或，或

(2)

【分析】（1）求出集合，利用集合的并集运算，补集运算和交集运算求解即可；

（2）根据集合的包含关系求解即可.

【详解】（1）由解得或，

所以或，

当时，，或，

所以或，或.

（2）因为，所以，

①当时，，解得；

②当时，或，此时无解，

综上的取值范围为.

20．已知函数．

(1)若，且关于x的不等式的解集是，求的最小值；

(2)设关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）由韦达定理得，，再利用基本不等式可得答案；

（2）不等式在上恒成立可得，解不等式组可得答案．

【详解】（1）因为，且关于x的不等式的解集是，

所以和是方程的两根，

所以．

所以＝＝

＝，当且仅当a＝1时等号成立，

所以的最小值为8；

（2）因为关于x的不等式在上恒成立，

所以，所以，解得，

所以a的取值范围为．

21．已知函数．

(1)若的定义域为，求a的取值范围；

(2)若的值域为，求a的取值范围：

(3)若，求的值域：

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1） 的定义域为,可转化为恒成立，进而求解；

（2）的值域为，等价于存在，使得成立，进而求解即可；

（3） 时，先计算得，再借助的单调性进行求解.

【详解】（1）的定义域为等价于恒成立，

则，解得；

（2）的值域为等价于是值域的子集，

即存在，使得成立，

则，解得；

（3）时，，

，又是递增函数，

故，故的值域为.

22．已知函数的部分图象如图所示，A，B分别为的图象与y轴，x轴的交点，C为图象的最低点，且，，．

(1)求的解析式；

(2)若函数（，且），讨论在上的零点个数．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据，可求得及周期，从而可得，代入可得，即可求解；

（2）在上的零点个数即为函数与在的交点个数，作出函数的图象，再结合图象分类讨论，从而可得出答案.

【详解】（1）由可得，，所以，

由可得，

由可得，

代入可得，即，

因为，结合图象可得，

所以；

（2）由（1）可得，

令，即，

故在上的零点个数可看作是函数与在的交点个数，

作出的图象，如图

①若时，由图可知，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

②若时，由图可知，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

当，即时，

函数与在有个交点，

即在上有个零点，

综上所述，当或时，在上有个零点；

当或时，在上有个零点；

当或时，在上有个零点；

当时，在上有个零点.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于构造函数与，结合函数的图象找出临界点进行分类讨论.