河南省新未来2023-2024学年高三上学9月联考数学试题

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2024年普通高等学校全国统一模拟招生考试

9月联考

数  学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数，导数概念，导数与函数单调性。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“，有实数解”的否定是（    ）

A．，有实数解 B．，无实数解

C．，无实数解 D．，有实数解

3．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

4．函数的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．

5．已知函数则“”是“在上单调递增”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

6．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则，由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车电池容量测试数据显示；电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设证的质保期至多为（    ）（参考数据：，）

A．15年 B．14年 C．13年 D．12年

7．已知，，均大于1，满足，，，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．若存在，，使得直线与，的图象均相切，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

10．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的定义域为  B．的单调递增区间为

C．的最小值为3 D．的图象关于对称

11．已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

12．定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．函数为奇函数

C． D．4为函数的一个周期

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．集合的真子集的个数是__________．

14．请写出一个同时满足以下条件的函数：__________．

①的定义域是；

②是偶函数且在上单调递减；

③的值域为．

15．已知函数的定义域为，满足，当时，，则__________．

16．已知，，使得有两个零点，则的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知函数是奇函数，且．

（1）求，的值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若的图缘在点处的切线经过点，求；

（2），为的极值点，若，求实数的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数，求的最小值．

21．（本小题满分12分）

小云家后院闲置的一块空地是扇形，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，，．

方案1               方案2

（1）在方案1中，设，，求，满足的关系式；

（2）试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积的最大值更大，并求出该最大值．

22．（本小题满分12分）

设函数，．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）已知有两个不同的零点，，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：．

2024年普通高等学校全国统一模拟招生考试

9月联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】B

【解析】，，，故选B．

2．【答案】C

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，，有实数解的否定是，无实数解，故选C．

3．【答案】A

【解析】令，则在上单调递减，在上单调递增，故选A．

4．【答案】D

【解析】令，则，．故选D．

5．【答案】C

【解析】在上单调递增，且，

又因为的对称轴为，所以，，故选C．

6．【答案】B

【解析】设电池初始电量为，，

所以质保期至多为14年，故选B．

7．【答案】B

【解析】，，

，考虑和的图象相交，

根据图象可知，故选B．

8．【答案】C

【解析】设，图象上的切点分别为，，

则过这两点处的切线方程分别为，，则，，

所以，设，，，，则在上单调递减，在上单调递增，所以．故选C．

9．【答案】AD

【解析】当时，单调递增，且，所以A选项正确，B选项错误；

因为时，，故C选项错误；

当时，单调递减，故D选项正确．故选AD．

10．【答案】ABD

【解析】显然选项A正确；

设，则的单调递增区间为，外层函数为增函数，所以选项B正确；

由选项B可知，故选项C错误；

，的图象关于对称．故选项D正确．故选ABD．

11．【答案】ABD

【解析】由可知，所以，，A选项正确；

（当且仅当，时或，时取“=”），B选项正确；

，令，有，可知的减间为，增区间为，有．故，C选项错误；

等价于，即，D选项正确．故选ABD．

12．【答案】ACD

【解析】令，可得，A选项正确；

令，有，有，可知为偶函数，B选项错误；

令，有；令，有，可得，有，有，当时，，可得，与矛盾，可知，可求得，，有，C选项正确；

令，有，有，有，可知4是函数的一个周期，D选项正确．故选ACD．

13．【答案】31

【解析】可取，，，，，则真子集的个数是．

14．【答案】，，等，答案不唯一．

15．【答案】

【解析】，，，

，，．

16．【答案】

【解析】，在上单调递增，在上单调递减，

又有两个零点，即，使得，

所以，，所以．

17．【答案】（1） （2）

【解析】（1）若，则，，

；

（2），且，有，且，有，

有或，．

18．【答案】（1）， （2）

【解析】（1）是奇函数，

经检验当时，，，是奇函数符合题意，

又或（舍），；

（2），，，

令，在单调递减，，，．

19．【答案】（1）或 （2）

【解析】（1），

在处的切线为，

即，经过点，

，或；

（2）又由，可得，

，解得．

由上知，．

20．【答案】（1）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，单调递减区间为，单调递增区间为

（2）3

【解析】（1），

当时，，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，令，解得，

时，，时，，

的单调递增区间为，单调递减区间为，

综上所述，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）由题意得，

则，

令，则在上单调递增，，

故在上单调递减，在上单调递增，故．

21．【答案】（1）（其中，） （2）

【解析】（1）连接，，，，，，

在中，，

，满足的关系式为（其中，）；

（2）方案1：设游泳池的面积为，由（1）得，

当且仅当，即，时等号成立，；

方案1                   方案2

方案2：设游泳池的面积为，取的中点，连接，，设，，

在中，，，

当且仅当时，等号成立，，

，，

所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为．

22．【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ）略

【解析】（1），令，

则在上单调递增，

在上单调递增，，；

（2）（ⅰ），

故，

令，

在上单调递增，，

在上单调递减，在上单调递增，

又由当时，，，则，

当时，，，则，；

（ⅱ）由（ⅰ）不妨设，则，

，是的2个零点，，，

当时，，则时，单调递减，

要证：[其中]．

，．