河南省天一联考2023-2024学年高三上学期调研考试数学试题

2024届高三年级调研考试

数  学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

A．    B．    C．    D．

2．已知集合，，则

A．   B．   C．    D．

3．已知圆经过点，，，则该圆的半径为

A．4     B．5     C．8     D．10

4．对于任意实数x，用表示不大于x的最大整数，例如：，，，则“”是“”的

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

5．已知函数，若将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为

A．     B．     C．     D．

6．位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为

A．96     B．144     C．240     D．360

7．把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为

A．   B．    C．    D．

8．若，为锐角，且，则的最小值为

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知一组样本数据，，，…（）中，与样本平均数相等，．则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方差小？

A．     B．     C．     D．

10．已知函数，则

A．在定义域上单调递增

B．没有零点

C．不存在平行于x轴且与曲线相切的直线

D．的图象是中心对称图形

11．如图所示，在棱长为2的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是

A．平面平面ABCD

B．存在点P，使

C．存在点P，使直线与所成角的余弦值为

D．存在点P，使点A，C到平面的距离之和为3

12．已知双曲线E：的右焦点为，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆与双曲线E在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则

A．        B．

C．四边形ABCD的面积为     D．双曲线E的离心率为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则           ．

14．在中，，E是线段AD上的动点，设（x，），则           ．

15．已知数列满足，，则满足的最小正整数           ．

16．已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是           ．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

如图，在平面四边形ABCD中，，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求BC．

18．（12分）

记递增的等比数列的前n项和为，已知，且．

（Ⅰ）求和；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和．

19．（12分）

如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

20．（12分）

已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．

21．（12分）

小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（），且每个科目每次考试的结果互不影响．

（Ⅰ）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为，求的最大值点．

（Ⅱ）以（Ⅰ）中确定的作为p的值．

（ⅰ）求小李这项资格考试过关的概率；

（ⅱ）若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求．

22．（12分）

已知函数，且．

（Ⅰ）若当时，恒成立，求m的取值范围；

（Ⅱ）若，且，使得，求证：．

2024届高三年级调研考试

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．答案 B

命题意图 本题考查复数的基本运算．

解析 ．

2．答案 D

命题意图 本题考查集合的运算与不等式的解法．

解析 因为，，则．

3．答案 B

命题意图 本题考查圆的方程与性质．

解析 作图易知，所以该圆的直径为，所以半径为5．

4．答案 A

命题意图 本题考查充分条件与必要条件的判断．

解析 若，则必有，又，所以，充分性成立；若，取，，可知，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要条件．

5．答案 B

命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．

解析 的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数，因为的图象关于坐标原点对称，所以，即，因为，故当时，m取得最小值．

6．答案 C

命题意图 本题考查排列组合的应用．

解析 先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为．

7．答案 C

命题意图 本题考查简单几何体的结构特征及相关计算．

解析 设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S．设正三棱锥的底面边长为a，当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，所以，可得正三棱锥的体积为．设正四棱锥的底面对角线长为2b，当轴截面经过底面的一条对角线，轴截面面积最大，所以，可得正四棱锥的体积为．设正六棱锥的底面边长为c，当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，所以，可得正六棱锥的体积为．所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为，即．

8．答案 A

命题意图 本题考查和角的正切公式的应用．

解析 因为，所以，所以，即，得，显然，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．答案 AD

命题意图 本题考查样本的平均数与方差．

解析 根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故和符合条件；去掉，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，故不符合条件；去掉，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．

10．答案 BCD

命题意图 本题考查函数的性质综合．

解析

对于A，的定义域为，当时，，则，当时，，则，显然在定义域上不是单调递增，故A错误；

对于B，令，得，无解，所以没有零点，故B正确；

对于C，求导得，令，得，无解，所以不存在平行于x轴与曲线相切的直线，故C正确；

对于D，，注意到，所以的图象关于点中心对称，故D正确．

11．答案 AC

命题意图 本题考查空间位置关系的判断．

解析

对于A，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，故A正确；

对于B，当点P与重合时，BP取最小值，故不存在点P，使，故B错误；

对于C，当点P与重合时，直线与所成角等于，，当点P与重合时，直线与所成角等于，，所以直线与所成角的余弦值的取值范围是，而，故C正确；

对于D，当点P与重合时，点A，C到平面的距离之和最大，最大值为，故不存在满足条件的点P，故D错误．

12．答案 ACD

命题意图 本题考查双曲线的方程与性质．

解析

对于A，由对称性可知AC和BD是圆O的两条直径，所以，故A正确；

对于B，由条件得，而与互补，所以

，故B错误；

对于C，由已知得，所以四边形ABCD的面积为，故C正确；

对于D，记双曲线的半焦距为c（），联立，解得，则，再由已知可得，所以，所以，故D正确．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．答案 4

命题意图 本题考查抛物线的方程与性质．

解析 把代入抛物线方程（），得，根据抛物线的定义有，解得．

14．答案 2

命题意图 本题考查平面向量的线性运算．

解析 如图所示，由题意知，因为A，E，D三点共线，所以，所以．

15．答案 5

命题意图 本题考查递推数列．

解析 由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．

16．答案 

命题意图 本题考查导数研究函数性质．

解析 由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，所以函数在R上单调递增．不等式即，即．因为，所以．故当时，，所以不等式的解集为，即所求的x的取值范围为．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用．

解析

（Ⅰ）在中，由正弦定理得，即，

所以．

由题设知，所以．

（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，，

在中，由余弦定理得

，

所以．

18．命题意图 本题考查等差数列的性质以及数列求和．

解析

（Ⅰ）设的公差为d（）．

因为，所以，

由得，解得，

所以，，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，

所以

．

19．命题意图 本题考查面面平行的证明以及线面角的计算．

解析

（Ⅰ）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，

所以．

因为，，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为，，

所以平面．

（Ⅱ）因为，，，

由余弦定理可得，

所以，从而．

以B为坐标原点，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．

故，，，．

从而，，．

设平面ABD的法向量为，

由，得，

取，则为平面ABD的一个法向量，

所以，

所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．

20．命题意图 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系．

解析

（Ⅰ）由得C的半焦距为，

所以，

又C过点，

所以，解得，

所以，．

故C的离心率为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C的方程为．

设，，．

由题意可得直线MN的方程为，

联立，消去y可得，

则，，

则

，

又，

因此．

21．命题意图 本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的期望．

解析

（Ⅰ）由题意知，，

则，

当时，，

当时，，

所以当时，取最大值，即．

（Ⅱ）（ⅰ）小李第一次考试3个科目都合格的概率为，

小李第一次考试有2个科目合格，补考1个科目且合格的概率为，

小李第一次考试有1个科目合格，补考2个科目且均合格的概率为，

所以小李这项资格考试过关的概率为．

（ⅱ）X的所有可能取值为60，80，100，

则，，，

，

故．

22．命题意图 本题考查利用导数研究函数的性质．

解析

（Ⅰ）当时，，

所以由，可得．

令，则，

令，则，而，得．

故当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

所以m的取值范围为．

（Ⅱ）易知，所以，等价于，等价于．

不妨设，由（Ⅰ）可知．

要证，即证，

又因为在上单调递减，

所以需证，

即．

令，

则

，

当时，，，

所以，

则在上单调递增，

所以，即，

因此，．