2022-2023学年四川省成都市第七中学高二下学期五月阶段测试数学（文科）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市第七中学高二下学期五月阶段测试数学（文科）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市第七中学高二下学期五月阶段测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知虚数单位，复数，则（    ）A. 1 B.  C.  D. 22. 如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（    ）A. 2 B. 4 C. 9 D. 163. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）A. 2 B.  C.  D. 4. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则5. “”是“直线与直线平行”的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 执行该程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（    ）A.  B.  C.  D. 7. 函数的图像大致是（    ）A.    B.   C.    D.   8. 已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为A.  B.  C. 1 D. 9. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）A.  B. C.  D. 10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A.  B.  C.  D. 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 12. 已知不等式对任意实数x恒成立，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）13. 已知函数，则______．14. 天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：233.54.5726384360则表中的值为___________.15. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为______．16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）选修4-4：坐标系与参数方程17. 在直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.18. 已知函数，若曲线在处切线方程为．（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单调性．19. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）若是棱上一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比．21. 已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．22. 已知．（1）若，且对任意恒成立，求a的范围；（2）当时，求证：．    高二下期数学5月阶段测试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知为虚数单位，复数，则（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】B2. 如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（    ）A. 2 B. 4 C. 9 D. 16【答案】A3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】D4. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（    ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则【答案】B5. “”是“直线与直线平行”的（    ）A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C6. 执行该程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B7. 函数的图像大致是（    ）A.    B.   C.    D.   【答案】D8. 已知曲线(为参数).若直线与曲线相交于不同的两点，则的值为A.  B.  C. 1 D. 【答案】C9. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A.  B.  C.  D. 【答案】A11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B12. 已知不等式对任意实数x恒成立，则的最大值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）13 已知函数，则______．【答案】14. 天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：233.54.5726384360则表中的值为___________.【答案】8815. 已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为______．【答案】16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）选修4-4：坐标系与参数方程17. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t的几何意义即可求解.【小问1详解】∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去t可得直线l的普通方程为:.∵曲线C的极坐标方程为，即，又∵，，∴曲线C的直角坐标方程为.【小问2详解】将（t为参数）代入，得，显然，即方程有两个不相等的实根，设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，则，，∴.18. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单调性．【答案】（1）；    （2）在和(1，2)上单调递增，在上单调递减【解析】【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.【小问1详解】由已知可得．又，所以【小问2详解】由（1）可知，，令，解得或，令，解得或，所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．19. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】（1）70.5    （2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：分．【小问2详解】在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a，b，c，在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，其中两人得分都在的情况只有，共有1种，所以两人得分都在的概率为．20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）若是棱上一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，利用菱形的性质可得出，由中位线的性质得出，可得出，利用面面垂直的性质定理推导出平面，可得出，利用线面垂直的判定定理可证得平面；（2）计算出与、与的等量关系，由此计算得出三棱锥与三棱锥的体积之比．【详解】（1）证明：如图，连接，且是的中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面．又平面，，、分别为棱、的中点，，因为四边形为菱形，，，又，，平面；（2）解：如图，连接、，，，，又底面为菱形，、分别是、的中点．，故．因此，三棱锥与三棱锥的体积之比为.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得的取值范围.【小问1详解】设椭圆的半焦距为．因为的周长为，①因为椭圆的离心率为，所以，②由①②解得，．则，所以椭圆的方程为．【小问2详解】若直线轴，此时，直线为轴，则、、三点共线，不合乎题意，设直线的方程为，设、，联立，，解得，由韦达定理可得，，则，又为锐角，、、不共线，则，即，解得，所以，，解得或，所以实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22. 已知．（1）若，且对任意恒成立，求a的范围；（2）当时，求证：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数得对任意恒成立，再设，利用导数求出其最值即可；（2）证法1：通过隐零点法得，然后构造新函数求解其范围即可；证法2：令，利用导数证明，则得.【小问1详解】∵，若对任意恒成立，则对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，函数取得最大值．所以.【小问2详解】证法1，由（1）可得时，在上单调递增．又因为，当x趋近于0时，趋近于．∴使得，即．当时，，时，．∴在递减，在递增．∴，，令，，当时，，，则在上，，∴单调递减，∴．∴当时，．证法2：令，，，当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴．∵，∴．∴．【点睛】关键点睛：本题通过隐零点法得到，利用导函数与函数最值关系得，再次构造函数，利用导数求出其范围即可.