湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题(无答案)

湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试

数  学

时量：120分钟  满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数（，是虚数单位），若，则的虚部是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列命题错误的是（    ）

A. “”是“”的充分不必要条件

B. “，”是“”的必要不充分条件

C. 对于命题p：，使得，则是：，均有

D. 命题“，”的否定形式是“，”

4. 已知扇形的周长为10cm，面积为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）

A. 1或4 B. 或8 C. 1 D.

5. 在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，则 B. 若，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，则

6. 函数的大致图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：

977，064，191，925，271，932，812，458，569，683，

431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.

由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（    ）

A. 0.6 B. 0.7 C. 0.75 D. 0.8

8. 下列命题不正确的是（    ）

A. 若非零向量，，满足，，则

B. 向量，共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得成立

C. 在中，，，，则该三角形不存在

D. 若，，为锐角，则实数m的取值范围是

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列各式中值为1的是（    ）

A.   B.

C.  D.

10. 下列命题正确的有（    ）

A. 若，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

11. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013~2019年我国农村减贫人数（按现行农村贫困标准统计）统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年标准下全部脱贫.以下说法正确的是（    ）

A. 2013~2020年我国农村贫困人口逐年减少

B. 2013~2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上

C. 2017年末我国农村贫困人口有3046万人

D. 2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平

12. 如图，在棱长为2的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为1，则下列四个值中为定值的是（    ）

A. 点P到平面QEF的距离 B. 二面角的大小

C. 直线PQ与平面PEF所成的角 D. 三棱锥的体积

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 事件A、B是相互独立事件，若，，，则实数n的值等于______.

14. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：，，，，，已知各组频数之比为，那么成绩的第70百分位数约为______秒.

15. 设点P在内部且为的外心，，如图.若，，的面积分别为，x，y，则的最大值是______.

16. “求方程的解”有如下解题思路：构造函数，其表达式为，易知函数在上单调递减，且，故原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，.

（1）求a的值；

（2）求的值.

18.（本小题满分12分）

用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且.

（1）求原平面图形ABCD的面积；

（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

19.（本小题满分12分）

某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.

（1）请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩；

（2）为了解学生的学习状态，年级决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象，第3，4，5组每组各有多少名学生是座谈对象？如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流，求第4组有且只有一名学生被选中的概率.

20.（本小题满分12分）

已知向量，，函数（其中），函数的图象的一条对称轴是直线.

（1）求的值；

（2）若且，求的值.

21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，平面平面ABCD.

（1）求证：平面ABCD；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

22.（本小题满分12分）

已知函数，.

（1）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围；

（2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.