2023宜宾叙州区二中高二下学期3月月考数学（理）试题含解析

叙州区二中2023年春期高二第一学月考试

数学（理工类）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.

第I卷选择题（60分）

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（    ）（单位：米/秒）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.

【详解】，

所以.

故选：D.

2. 某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（    ）

A. 20 B. 30 C. 50 D. 80

【答案】A

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.

【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为，则A被抽的抽样比为，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为，

故选：A

3. 如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：

下列结论中错误的是（    ）

A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加

B. 2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多

C 2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平

D. 1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

【答案】D

【解析】

【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解.

【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；

对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；

对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确；

对于D，由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.

故选：D.

4. 近期记者调查了热播的电视剧《狂飙》，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在，，，，的爱看比例分别为，，，，，现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表，17代表，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（    ）

A. 33 B. 35 C. 37 D. 39

【答案】B

【解析】

【分析】求出前四组数据的样本中心点的坐标，代入回归直线方程求出的值，再将代入回归直线方程可得出的值.

【详解】因为比例和线性回归方程均带有，故为了方便计算，以下数据省略，

前四组的平均数为，，

代入线性回归方程得，解得，

所以，线性回归方程为，

当时，，由此可推出的值为.

故选：B.

5. 曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程.

【详解】函数的定义域为，其导函数，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为1，又，

故曲线在点处的切线方程为.

故选：D.

6. 欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用列举法解决古典概型.

【详解】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为、、、、、共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为、、共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：.

故选：A.

7. 已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线可得焦点，代入直线可得，将直线与抛物线进行联立可得，继而得到，然后用抛物线的定义即可求解

【详解】由抛物线可得焦点，

将代入可得，

将代入可得，

设，所以，

所以，

由抛物线的定义可得即，解得

故选：B

8. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由求得的减区间，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】函数的定义域是，

.

当时，，在上单调递增，不符合题意.

当时，由解得（负根舍去），

所以在区间递增；

在区间递减，

依题意，函数在区间内存在单调递减区间，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调性，再求导后，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可考虑二次函数的性质来决定.研究恒成立问题和存在性问题的方法，要注意端点的取值.

9. 在三棱柱中，是等边三角形，，在该三棱柱的外接球内随机取一点P，则点P在三棱柱内的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为，可知P在三棱柱内的概率.

【详解】设等边三角形边长，，得三棱柱底面面积为，则.

如图，因是等边三角形，则三角形外心O，也为三角形重心，

由重心性质可得：.

则三角形外接圆半径

如图，又设三棱柱的外接球圆心为，则为中点，

则外接球半径.

设外接球体积为V，则.

由几何概型，则P在三棱柱内的概率.

故选：D.

10. 已知，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设，，从而表达出，结合基本不等式去除最小值；

法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.

【详解】法一：∵，

∴可设，，

∴，代入所求式子得，

，

当且仅当，时等号成立.所以的最小值为.

法二：设，，

代入已知等式得，，

∴

，

其中，.

∴，所以的最小值为.

故选：D

11. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.

【详解】

因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角平分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．

故选：A．

12. 若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（    ）．

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可将转化为，令，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值．

【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 显然不是不等式的解，

当时，，所以可变形为．

令，则，

所以当时，当时，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，

所以当时，，故，解得．

故选：A．

第II卷非选择题（90分）

二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，则导函数______.

【答案】

【解析】

【分析】根据求导法则计算得到答案.

【详解】，则.

故答案为：

14. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．

【答案】11

【解析】

【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求

【详解】由椭圆定义，，，，

故，又，故．

故答案为：11

15. 若要做一个容积为的方底（底为正方形）无盖的水箱，则它的高为______时，材料最省.

【答案】##

【解析】

【分析】设水箱的高为，底面边长为，可得，设制作的材料的总面积为，求出关于的函数关系式，利用导数可求得当取最小值时对应的值，即可得解.

【详解】设水箱的高为，底面边长为，则，可得，

设制作的材料的总面积为，则，其中，

，令，可得.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，当时，材料最省

故答案为：.

16. 若关于的不等式有解，则的取值范围是__________.（其中）

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，将式子变形为，结合，即可得到结果.

【详解】关于的不等式有解，则有解，

设，则，

当时，，当时，；

所以在上递减，在上递增，

所以，即，

又，

当时（与显然在有交点，故此方程有解），等号成立，

所以.

故答案为:

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将改写成，再利用常见不等式放缩得到.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设射线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，与曲线交于点（原点除外），，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用消去参数可求的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化可求的极坐标方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式可直接写出的直角坐标方程；

（2）分别利用的三角函数表示出的极径即为，然后根据结合三角函数可求的值.

【详解】解：（1）由（为参数）得：曲线的普通方程为，

化简得：.

因为，，所以曲线的极坐标方程为：；

曲线的直角坐标方程为.

（2）将射线的极坐标方程代入曲线：

所以，

将射线的极坐标方程代入曲线：

所以，

所以，

所以，所以.

又因为，所以.

18. 已知函数在点（1，）处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数和的值；

（Ⅱ）求在[1，3]上最小值.

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；

（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．

【详解】解：（Ⅰ）因为

所以，

由题意可得，，

解得，，，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

所以，

因为，，

易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，

故当时，函数取得极小值也就是最小值

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．

19. 随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲、乙两个物业公司分别管理的A、B两区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的A、B两区中各随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图（如图1）和B区住户满意度评分的频率分布表

区住户满意度评分的频率分布表：

（1）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图，并计算A区住户满意度评分的平均值

（2）根据住户满意度评分，将满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在之间，评定为满意；满意度评分不低于90分，评定为非常满意，试估计哪个区住户的满意度等级为不满意的概率较大？若要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由.

【答案】（1）直方图见解析，67.5（分）   

（2）选择乙物业公司来为小区服务，理由见解析

【解析】

【分析】（1）先求出每组的频率除以组距的值（频率分布直方图中的高），作出频率分布直方图即可，在频率分布直方图中，每组组中值与该组频率之积的和即可平均值的近似值；

（2）先求出“A区住户的满意度等级为不满意”和“B区住户的满意度等级为不满意”的概率，从满意度角度来考虑，应该选择概率小的物业公司来为小区服务.

【小问1详解】

根据频率分布直方图中的高为每组的频率除以组距，

作出的B区住户满意度评分的频率分布直方图如图所示：

根据A区住户满意度评分的频率分布直方图中的数据得，平均值为

（分）

【小问2详解】

记事件表示：“A区住户的满意度等级为不满意”，事件E表示：“B区住户的满意度等级为不满意”，则，，所以A区住户的满意度等级为不满意的概率较大，

若要选择一个物业公可来管理老旧小区的物业，从满意度角度来考虑，应该选择乙物业公司来为小区服务，这样话住户满意度会高一些.

20. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接

（1）证明：；

（2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证；

（2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算．

【小问1详解】

证明：因为平面，平面，所以，

由底面为矩形，有，而，平面，

所以平面，又平面，所以．

又因为，点是的中点，所以．

而，平面，所以平面，平面，

所以，

又，，平面，

所以平面，而平面，

所以得证．

【小问2详解】

如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

因为，设，（），

则，，点是的中点，所以，

由，所以是平面的一个法向量；

由（1）知，，所以是平面的一个法向量．

因为平面与平面所成二面角的大小为，

则，解得（负值舍去）．

所以，

．

21. 已知.

（1）求的极值点；

（2）若不等式存在正数解，求实数的取值范围.

【答案】（1）极大值点为，极小值点为   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可得出函数的极大值点与极小值点；

（2）分析可知，存在，使得，利用导数求出函数在上最小值，即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：函数的定义域为，，

令可得或，列表如下：

所以，函数的极大值点为，极小值点为.

【小问2详解】

解：由题意可知，存在，使得，即，

令，其中，则，

令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则，

所以，函数在上单调递增，则，

所以，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，则，

所以，.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22. 已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．

（1）求的标准方程；

（2）设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）   

（2）是定值，定值为

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）根据题意结合韦达定理求点，代入椭圆方程可得，结合弦长公式求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.

【小问1详解】

设椭圆的焦距为，则，

由题意可得，解得，

故的标准方程为.

【小问2详解】

平行四边形的面积为定值，理由如下：

由（1）可得：，则有：

当直线的斜率不存在时，设，

若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设，

可得，解得，

故平行四边形的面积；

当直线的斜率存在时，设，

联立方程，消去y得，

则，

可得，

∵，

若为平行四边形，则，

即点在椭圆上，则，

整理可得，满足，

则，

可得，

点到直线的距离，

故平行四边形的面积；

综上所述：平行四边形的面积为定值.

【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；