四川省绵阳南山中学2024届高三上学期零诊考试（9月） 数学（理） PDF版含答案

绵阳南山中学2021级高三上期零诊考试试题

理科数学答案

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．

BDDCB  CABAA  CC

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13．2 14．12 15．0 16．-1

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．

17．解：（1）因为，

又图象相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，

所以，则，所以，

令，解得，

所以函数单调递减区间为.

（2）由（1）知：，

因为，所以，则，

所以，要使在上有解，则.

18．解：（1）已知①，当时，，解得，

当时，②，   ①②得：，

因为，整理得，所以；

（2）由，可得，由于

，

所以.

19．解：（1）因为，

由正弦定理得，

又因为，则，所以，整理得，

且，可知，所以，即.

（2）由角的平分线交于点，可得，

且，则，

即，解得.

20．解：（1）由题意得函数的定义域为，

，

当时，，即在上单调递增；

当时，由，得或，由，得，

在上单调递减，在和上单调递增；

当时，由得或，由得，

在上单调递减，在和上单调递增，

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

当时，在上单调递减，在和上单调递增；

（2）方程有三个根，即有三个根，

有三个根，显然不是方程的根，

则有三个根，即与函数的图象有三个交点，

，令，可得，

由，可得或，由，可得，

则在和上单调递增，在上单调递减，

在处取得极大值为，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

如图所示：

要使与函数的图象有三个交点，

只需，的取值范围是．

21．解：（1）当时，，, 所以，

当时，，当时，，

故而在上单调递减，在上单调递增；

所以的最小值为

（2）在上恒成立等价于：恒成立，

即，在恒成立，

令，由（1）知：上面不等式等价于：

，在上恒成立，所以，在上恒成立，

令, 所以.

又令，且，

而，即在上单调递增，

所以当时，，即，所以在上单调递减；

当时，，即，所以在上单调递增；

所以在上的最小值为，

所以.

22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），而，

所以，即曲线的普通方程为.

由，得，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可知点在直线曲线上，直线的倾斜角为，

设曲线的参数方程为（t为参数），

将曲线的参数方程代入的普通方程为，

整理得.

设直线上的点M，N所对应的参数分别为，，由t的几何意义知，，

而点P在椭圆内，则，，.

所以.

23．解：（1）当时，，故；

当时，，故；

当时，不成立，

综上所述：不等式的解集为.

（2）当时，，

当时，，

当时，，

所以，， 因为，所以，

当且仅当，又，即，时，取得等号.

所以的最小值为.