2022-2023学年湖北省黄冈、黄石、鄂州三市高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年湖北省黄冈、黄石、鄂州三市高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案.

【详解】因为，，所以或或或，

故，即集合中含有个元素；

故选：C.

2．已知随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线性质知，由对称性可构造方程求得结果.

【详解】，，，

，解得：.

故选：B.

3．已知函数（是的导函数），则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】先求导函数，代入法求的值.

【详解】， 有，

则，解得.

故选：A

4．已知函数的定义域为，且满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知关系式可推导得到，从而利用周期性得到.

【详解】，，

是以为周期的周期函数，.

故选：C.

5．“绿水青山，就是金山银山”，黄冈别山革命老区生态环境越来越好，慕名来黄旅游的人越来越多.现有两位游客分别从“黄州遗爱湖公园、麻城龟峰山、浠水三角山、黄梅五祖东山问梅村、罗田天堂寨”这5个景点中随机选择1个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择黄州遗爱湖公园”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型的概率公式求出，，然后利用条件概率公式即得．

【详解】由题可得，，

所以．

故选：A．

6．函数在区间上的图象大致为（    ）

A．   B．   C．   D．    

【答案】C

【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.

【详解】因为，关于原点对称，

，

所以函数为奇函数，故D错误；

因为，所以，所以，故A错误；

因为，所以，所以，故B错误；

故选：C.

7．包含甲同学在内的5个学生去观看滑雪、马术、气排球3场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多有2名学生前往观看，则甲同学不去观看气排球的方案种数有（    ）

A．120 B．72 C．60 D．54

【答案】C

【分析】分甲同学去去观看滑雪比赛和甲同学去观看马术比赛两种情况进行讨论，结合排列组合知识求解.

【详解】甲同学去观看滑雪比赛时，共有种；

甲同学去观看马术比赛时，也有30种；

则甲同学不去观看气排球的方案种数有种.

故选：C

8．已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】A

【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值.

【详解】依题意，，

即，

设，是奇函数且在上递增，

所以，即，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故选：A

【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．若随机变量，则越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

B．如果散点图中所有散点都落在一条斜率为非零的直线上，那么决定系数一定为1

C．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负线性相关性很强

D．若样本数据，，…，的方差为2，则，，…，的方差为6

【答案】ABC

【分析】根据正态分布的性质判断A，根据决定系数的定义判断B，根据相关系数的定义判断C，根据方差的性质判断D.

【详解】对于A：随机变量，若越大，所以数据越分散，

则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故A正确；

对于B：如果散点图中所有散点都落在一条斜率为非零的直线上，

所以变量与预报变量是线性函数关系，那么决定系数，故B正确；

对于C：若变量和之间的样本相关系数为，即非常接近，

则变量和之间的负线性相关性很强，故C正确；

对于D：若样本数据，，…，的方差为2，则，，…，的方差为，故D错误；

故选：ABC

10．定义在上的偶函数满足图像关于坐标原点对称，且时，，则下列说法正确的有（    ）

A． B．的最小正周期为

C．在上单调递减 D．时，

【答案】ACD

【分析】对A，利用偶函数的定义求解；对B，结合函数的对称性与奇偶性列式化简可得函数的最小正周期；对C，根据题意作出函数的图像即可判断；对D，先得时的解析式，设，然后利用周期，代入时的解析式即可求解.

【详解】对A，因为函数为上的偶函数，

所以，故A正确；

对B，由题意可得，，

，所以，

即，所以，

所以，即函数的最小正周期为，故B错误；

对C，根据题意作出该函数的图像如下图所示，由图可知，

函数在上单调递减，故C正确；

对D，因为函数为上的偶函数，时，，

所以时，，又因为函数的最小正周期为，

设，则，

所以，故D正确.

故选：ACD

11．已知的展开式中，所有项的系数和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A． B．奇数项的系数和为512

C．展开式中有理项仅有两项 D．

【答案】BD

【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式、组合数的性质逐一判断即可.

【详解】在中，令，由题意可知：，

因为，所以选项A不正确；

在中，令，可得，

而，所以，因此选项B正确；

二项式的通项公式为，

当时，才是有理项，因此选项C不正确；

设，

所以有，

得：，

因此选项D正确，

故选：BD

12．已知随机变量，随机变量，，则下列说法正确的有（    ）

A．时，

B．的最大值为5

C．时，取最大值时

D．

【答案】BCD

【分析】A选项，利用二项分布的概率公式求概率即可判断；B选项，利用二项分布的方差公式计算，结合基本不等式可求出最值；C选项，求出时的概率，结合二项式系数的性质可求出概率最大时的值；D选项，计算，分别讨论，以及时的正负，即可判断结果.

【详解】A选项：当时，，故A错误；

B选项：，当且仅当时，等号成立，故B正确；

C选项：时，，由二项式系数的性质可知当时，取得最大值；

D选项：

当时，，因为，所以，则；

当时，，因为，所以，所以；

当时，，综上所述，D正确；

故选：BCD

三、填空题

13．已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为      .

【答案】/

【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值.

【详解】依题意，

即，解得.

故答案为：

14．若随机变量服从两点分布，则的最大值为      .

【答案】

【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】服从两点分布，设成功的概率为p，

可得，，其中，

（当且仅当，即时取等号），

的最大值为.

故答案为：.

15．已知，若，则实数m的值为      .

【答案】3

【分析】先进行换元，然后根据二项式定理相关知识进行计算即可.

【详解】令，则，

所以，

展开式的各项依次为，即，

所以，

，

所以，

解得.

故答案为：3

16．已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为      .

【答案】

【分析】由为奇函数求出的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由有三个零点，求t的取值范围.

【详解】若，，函数没有三个零点，所以，

为奇函数，则，即，

得，

设，函数定义域为R，，为偶函数，

，是R上的增函数，且，

则，解得；，解得，

即在上单调递减，在上单调递增，

，由，则有，

所以，，

由，当且仅当时等号成立，则，

若，则，单调递减，没有三个零点；

若，令，则方程，即，

判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为且，则有，，所以，

令，，由，则且，

，即，即，解得，得；

，即，即，解得或，得或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，，

由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，

此时奇函数有三个零点.

综上可知，t的取值范围为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：

利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17．已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直.

(1)求a，b的值；

(2)若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据极值点和切线的斜率列方程来求得.

（2）利用导数求得的单调区间，根据的最大值求得，根据在上有最小值也有最大值求得的取值范围.

【详解】（1）依题意，在处的切线的斜率为，

，，，

所以，，经检验符合题意；

（2）由（1）得，，

，，的变化情况如下表所示

所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，

所以，所以，

所以，又在上有最大值和最小值，

所以.

18．已知足球教练对球员的选拔使用是依据平常训练及参加比赛的大数据分析.为了考查球员甲对球队的贡献，作如下数据统计（假设球员甲参加过的比赛都决出了胜负）.

(1)依据小概率值的独立性检验能否认为球队胜负与球员甲参赛有关联?

(2)根据以往的数据统计，球员乙能够胜任边锋，中锋，后腰及中后卫四个位置，且出场概率分别为0.2，0.3，0.4，0.1，当球员乙出任边锋，中锋，后腰及中后卫时，球队赢球的概率依次为0.6，0.7，0.6，0.8，则当球员乙参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率是多少?

参考数据及公式：

临界值表：

【答案】(1)认为球队胜负与球员甲参赛无关联

(2)0.65

【分析】（1）计算，与临界值比较下结论；

（2）利用条件概率和全概率公式计算所求概率.

【详解】（1）：球队胜负与球员甲没有关联.

根据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，因此可以认为不成立，即认为球队胜负与球员甲参赛无关联.

（2）记，，，分别为事件“球员乙出任边锋、中锋、后腰、及中后卫”，B为事件“球队赢球”，

则，，，.

，，，，

所以

.

19．现统计了近五年（2018年用表示，2019年用表示，其它年份依次类推）来黄冈东坡赤壁游玩的人次y（单位：万人次）相关数据如下表所示：

(1)若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2023年来东坡赤壁游玩的人次.

(2)为了维持景区交通秩序，现从甲乙丙三人中选派若干志愿者去东坡赤壁景区协助执勤，已知甲，乙两人去执勤的概率均为，丙去的概率为，且每位是否去相互不影响，用X表示3人中去执勤的人数，求X的分布列与数学期望.

参考公式：，，参考数据：.

【答案】(1)，70.8万

(2)分布列见解析，

【分析】（1）先求得，，再利用公式分别求得，，从而得到回归方程，再将代入求解；

（2）易得的可能取值为0，1，2，3，再分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：，，

则，

，

所以，

所以，

当时，，预测2023年来东坡赤壁游玩的人次为70.8万.

（2）的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

所以X的分布列如下：

.

20．已知函数，记函数.

(1)若成立的必要条件为，则实数的取值范围；

(2)若，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合对数运算性质可求得的解集，由必要条件定义可得包含关系，进而构造不等式组求得结果；

（2）由二次函数的对称性可确定，将所求式子化为，令，，通过分离常数的方式将所求取值范围转化为值域的求解问题，结合对勾函数性质可求得结果.

【详解】（1），，，

，

又，的解集为，

成立的必要条件为，，即，

，解得：，即实数的取值范围为.

（2），

设，则，

，与关于对称，

，，

设，，，

，

令，则，设，

由对勾函数性质知：在上单调递减，在上单调递增，

，，，

即，的取值范围为.

21．已知函数，.

(1)若函数的定义域为，求实数a的取值范围；

(2)设，记函数，且在内仅有2个零点，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由对数函数的性质可得恒成立求得结果;

(2)先讨论当时,令,可得,所以，.讨论、及时在上的零点个数，当时，图像的对称轴为，，

则在上有1个或2个零点，从而可求实数a的取值范围.

【详解】（1）由题意恒成立

所以，所以.

（2）当时，令，所以，

所以，所以，.

当时，在上没有零点；

当时，在上有1个零点；

当时，在上有2个零点；

当时，图像的对称轴为，，

则在上有1个或2个零点，

若在上有1个零点，则，解得;

若在上有2个零点，则，解得或.  

若在内有2个零点，则，或

解得.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

22．已知函数.

(1)讨论的单调区间；

(2)若曲线在处的切线方程为.

（i）求实数a的值；

（ii）关于x的不等式对任意的恒成立，求正实数k的值.

【答案】(1)答案见解析

(2)（i）2；（ii）1

【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；

（2）由题意求出，记，求出 ，可得不合题意；时利用导数可得，令构造函数，由可得答案.

【详解】（1）的定义域为，

，

当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，

，，的单调递增区间为，

，，的单调递减区间为.

综上：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；

当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为

（2）由题意，所以，

记，且，

所以，

①，，则，，不合题意；

②，令，则，

当，，，，

所以，

所以，令，，则，

记，则，

又，所以当时，，当时，，所以，

所以，所以，所以.

【点睛】关键点睛：第二问的解题关键点是时利用导数可得，再令构造函数，由可得答案.