2022-2023学年江西省抚州市资溪县第一中学高二下学期5月期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省抚州市资溪县第一中学高二下学期5月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】求得，令，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

2．已知等差数列中，，，则为（    ）

A．20 B．30 C．45 D．50

【答案】A

【分析】根据等差中项性质即可求得答案.

【详解】由题意等差数列中，有，

故选：A

3．设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据数列单调性以及既不充分也不必要条件的定义可得答案.

【详解】当时，由，得，则不为递增数列；

当为递增数列时，，若，则，

所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由的规律，从而得到的规律，则数列四项之和为，即可求解.

【详解】因为，所以，，

，，，

所以，

所以，，，，

，

所以数列的前项和为.

故选：A.

5．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，最早记载九连环的典籍是《战国策·齐策》，《红楼梦》第7回中有林黛玉解九连环的记载，我国古人已经研究出取下n个圆环所需的最少步骤数，且，，，，，，…，则取下全部9个圆环步骤数最少为（    ）

A．127 B．256 C．341 D．512

【答案】C

【分析】由题意可推出数列的递推关系，由递推关系进行构造等比数列，可求得答案．

【详解】由观察可得若时，当n为奇数时，，当n为偶数时，，

∴当n为奇数时，，∴，

又，∴，∴，

故选：C．

6．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ）

A．  B． C．  D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】令函数，则 ，

因为 所以. 是增函数，

因为是奇函数，所以，，

所以的解集为，即≥的解集为；

故选：D.

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由可得到，利用作差法得到，，构造，分别求出在上的单调性，即可求解.

【详解】因为，所以，

又，

令，，

则，所以在单调递减，

所以，所以，即；

又，

令，

则，所以在单调递减，

所以，所以，即，

综上，.

故选：A.

8．已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，，且为奇函数，则下列等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将用代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得D正确；令，代入中即可求得A错误；令，由可推导得到B错误；设，由可知，结合可知，由此可得，知C错误.

【详解】由得：，

，关于中心对称，则，

为奇函数，，左右求导得：，

，为偶函数，图象关于轴对称，

，

是周期为的周期函数，

，D正确；

，，又，

，A错误；

令，则，，

又，，，

即，B错误；

，，

设，则，，

又为奇函数，，，

即，C错误.

故选：D

【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：

①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；

②若连续且可导，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.

二、多选题

9．已知实数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】作出图像，结合图像和条件先可以确定的大致范围，结合条件和指数函数的单调性可确定的范围，然后逐一判断每个选项.

【详解】设，则，于是在上递减，上递增，当取得最小值，作得图像如下：

由得，即，由图可知.

由得，结合指数函数的单调性

从而，所以，所以，

故，故B正确，故D正确；

而当时，根据图像可得，，于是A错误；

对于，由得，，所以，设，

则，于是在上递增，

取，则，即，

于是，故，所以C正确.

故选：BCD

10．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．若为单调递减函数，则

B．当或时，有且仅有一个极值点

C．当时，图象与x轴相切

D．当或时，有且仅有一个零点

【答案】ACD

【分析】求出函数的导数，由恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m范围判断D作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

对于A，由为单调递减函数，得，令，

求导得，当时，递增，当时，递减，

则当时，，于是，解得，A正确；

对于B，由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误；

对于C，当时，，显然，，

且，因此函数的图象在点处的切线为，为x轴，C正确；

对于D，由，得，令，求导得，

当时，，函数在上单调递增，而当时，，

当时，，，因此函数仅只一个零点；

当时，，递增，函数值集合为，

，递减，函数值集合为，

则当时，，函数只有一个零点，当且仅当，解得，

所以当或时，有且仅有一个零点，D正确.

故选：ACD

11．已知数列满足，为的前n项和，则（    ）

A．若，则

B．若，则

C．存在实数a，使为无穷多项的常数列

D．存在实数，使成等差数列

【答案】BD

【分析】A.易得是周期为3的周期数列求解判断；B.根据是周期为3的周期数列求解判断；C.设为常数列，有求解判断；D.根据根据是周期为3的周期数列求解判断.

【详解】当时，，，，，…，∴是周期为3的周期数列，∴，故A错误．

由A可知，，∴，故B正确．

若为常数列，则必有，故，即，此方程无解，故C错误．

当时，由A可知，故D正确．

故选：BD．

12．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（    ）

A．在单调递减 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.

【详解】方法一：

对于A，若，符合题意，故A错误，

对于B，因已知奇函数在上可导，所以，

因为，所以，

所以，故B正确，

对于C和D，设，

则为上可导的奇函数，，

由题意，得，

所以关于直线对称，

所以

，

所以奇函数的一个周期为4，，

所以，即，故C正确，

由对称性可知，，即，所以，

等式两边对x求导得，，

令，得，所以．

由等式两边对x求导得，，

所以的一个周期为4，所以，

所以，故，故D正确．

方法二：

对于A，若，符合题意，故错误，

对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，

因为，所以，

所以，故B正确，

对于C，将中的x代换为，

得，所以，

可得，两式相减得，，

则，，…，，

叠加得，故C正确，

对于D，将的两边对x求导，得，

令得，，

将的两边对x求导，得，所以，

将的两边对x求导，得，

所以，故D正确．

故选：BCD

【点睛】知识点点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性，对称性和周期性的判断及其性质的运用，同时考查导数的运算法则，综合程度较高，充分利用函数的周期性，奇偶性，对称性的定义是解决问题的关键.

三、填空题

13．已知数列满足，若，则         ．

【答案】

【分析】依题意可得为等比数列，设公比为，根据条件及等比数列通项公式计算可得.

【详解】因为，所以为等比数列，设公比为，又，，

所以，解得，所以.

故答案为：

14．已知等差数列的前n项和为，，，则公差为      .

【答案】

【分析】根据等差数列公式求解.

【详解】设数列的公差为d，则解得；

故答案为：-3.

15．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为        ．

【答案】4

【分析】根据题意，由条件可得为偶函数，可得其所有零点之和为0，然后即可得到结果.

【详解】将函数向左平移1个单位，所以，

因为是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，

且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，

所以为偶函数，

又因为函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，

且这四个零点一定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，

而是由向左平移了1个单位，

所以的四个零点之和为4.

故答案为：4

16．若不等式 对恒成立，则a的取值范围是      .

【答案】

【分析】观察解析式的结构，用同构思路构造函数，运用导数判断单调性求解.

【详解】令 ，则

，

令，，则 ,

当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，

令，，，则，

当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，

若恒成立，即恒成立，所以，所以；

故答案为：.

【点睛】观察函数的解析式的结构是问题的核心，如果是直接求导，则很难计算，一般来说，当导函数的结构很复杂的时候，应该考虑是否存在其他方式解决问题.

四、解答题

17．已知数列的前n项和为，且

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设 求数列的前n项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据前n项和与通项公式之间的关系可得，再结合等差数列定义证明；

（2）结合（1）中的结果，利用裂项相消法求解.

【详解】（1）当时，则；

当时，则；

显然当时，也满足上式，

所以.

当n≥2时，则，

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.

（2）由（1）可知，，则，

可得

，

所以数列前n项和为.

18．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；

(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

19．如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直线与平面夹角.

【详解】（1）因为，点是的中点，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，

所以⊥平面ABCD，又平面，

所以平面平面；

（2）取的中点，连结，

因为四边形为矩形，且，

所以四边形为正方形，，

以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，

所以，

设平面的法向量，

则 有，即，

令，则，

所以平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则

直线与平面所成角正弦值为.

20．设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）由条件可得，解出即可；

（2）设，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案.

【详解】（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得

即抛物线的方程为

（2）设

由可得

因为直线与抛物线C有两个交点，

所以，，即

因为，所以，所以

所以，

所以线段的中点坐标为

所以线段的垂直平分线方程为，

即，

所以线段AB的垂直平分线过定点

21．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.

(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；

(2)若数列为“速增数列”.且任意项，，求正整数k的最大值；

(3)已知项数为（）的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于k，若，，证明：.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）计算，，，得到答案.

（2）根据题意得到，，计算当时，，当时，，得到答案.

（3）证明，得到，得到，代入计算得到证明.

【详解】（1）因为，则，，

又，故，数列是“速增数列”.

（2），

当时，，

即，，

当时，，当时，，

故正整数k的最大值为.

（3），故，即；

，故，

即，

同理可得：，，，

故，

故，，得证.

【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定是解题的关键.

22．已知函数．

(1)当时，求的单调性；

(2)对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)在单调递减，在单调递增

(2)

【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；

（2）引入新函数令，且，求出导数，对进一步求导分类讨论确定的单调性，从而得的正负，确定的单调性后得出结论．

【详解】（1），定义域为R，

令，解得，令，解得

∴在单调递减，在单调递增．

（2）∵，∴，

令，且，

，

①当时，对任意的，，

函数在区间上为增函数，此时，，符合题意；

②当时，设

，令，

得，∴

令，得，∴

∴即在上单调递减，在上单调递增，

（i）当时，即当时，则函数在区间上为增函数，

此时，则函数在区间上为增函数．

此时，，符合题意；

（ii）当时，即当时，则函数在区间上单调递减，

在区间上单调递增，所以，

又，所以时，

函数在区间上单调递减，

当时，，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题的解决方法：

（1）分离参数法，转化为求新函数的最值，从而得参数范围；

（2）直接引入新函数，求出新函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围；

（3）引入新函数，由于新函数的临界值（象本题），因此利用导数确定函数的单调性，只要函数满足单调性即可得出结论，从而转化为研究新函数的导函数的单调性与正负，利用分类讨论思想求解．