2022-2023学年广东省东莞市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据导数的运算法则求出函数的导数，再求导数值.

【详解】∵，

∴，则，

故选：.

2．已知的展开式中所有项的系数之和为256，则（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】令，得到，即可求解.

【详解】由二项式的展开式中所有项的系数之和为256，

令，可得，解得.

故选：B.

3．下表是某企业在2023年1月—5月的5个月内购买某品牌碳酸锂价格（单位：千元）与月份代码的统计数据．由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为（    ）

A．2.41千元 B．2.38千元 C．2.35千元 D．2.32千元

【答案】C

【分析】根据回归方程必过样本中心点求出回归方程，利用回归方程预测8月该品牌碳酸锂的价格.

【详解】由已知得，,

∵回归方程必过样本中心点为，

∴，解得，∴，

∴则预测2023年8月购买该品牌碳酸锂价格约为千元，

故选：C.

4．某班级有50名学生，该班级学生期末考试数学成绩服从正态分布，已知，则的学生人数约为（    ）

A．7 B．18 C．36 D．43

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性可求得的值，即可求得答案.

【详解】由题意知数学成绩服从正态分布，，

故，则,

故的学生人数约为，

故选：C

5．函数的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知为函数的图象在点处的切线的斜率，为函数的图象在点处的切线的斜率，表示直线的斜率，然后结合图形求解.

【详解】为函数的图象在点处的切线的斜率，

为函数的图象在点处的切线的斜率，

表示直线的斜率，

由图可知，

故选：D

6．中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺．从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的灯笼挂法总数为（    ）

A．24 B．36 C．48 D．72

【答案】C

【分析】分类讨论，采用捆绑法和插空法，即可求得答案.

【详解】当只有红木宫灯、檀木宫灯相邻，则将二者看作一个元素和恭喜发财吊灯排列，

在形成的3个空中选两个排楠木纱灯、花梨木纱灯，共有种排法，

当只有楠木纱灯、花梨木纱灯相邻时，同样也有种排法，

共有种排法，

故选：C

7．盒中有3个螺口灯泡和5个卡口灯泡，现从盒中不放回地任取灯泡，直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用古典概型概率公式求解.

【详解】由已知条件得前4次取出了2个螺口灯泡，2个卡口灯泡，第5次取出螺口灯泡，则前4个位置排2个螺口灯泡和2个卡口灯泡，第5个位置排螺口灯泡的排列方法有,

由古典概型概率公式可知:直到取出第5个灯泡才取出所有螺口灯泡的概率为,

故选：.

8．已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集.

【详解】由题意知，当时，，

设，

则，

所以在上单调递减，

不等式等价于，

即为，所以，

解得.

故选：A.

二、多选题

9．对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第-组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，第二组成对数据的样本相关系数、残差平方和、决定系数分别为，，，则（    ）

A．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

B．若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强

C．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

D．若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好

【答案】BC

【分析】根据题意 ，由相关系数、残差皮肤好、决定系数的意义，依次分析选项，即可求解.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A中，由，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以A错误；

对于B中，若，可得，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强，所以B正确；

对于C中，若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好，所以C正确；

对于D中，若，则第一组成对数据的经验回归模型拟合效果比第二组的好，

所以D错误.

故选：BC.

10．已知随机变量和的分布列如下，与的取值互不影响，则（    ）

A．的取值范围是

B．存在，使得

C．

D．当时，

【答案】AD

【分析】利用概率的性质以及期望和方差的公式求解.

【详解】对于选项，由已知得且，解得，则选项正确；

对于选项，因为与的取值互不影响，

所以，解得，

因为，则不存在值，，则选项错误；

对于选项，

，则选项错误；

对于选项，当时，，

则，则选项正确；

故选：.

11．在孟德尔豌豆实验中，已知子一代豌豆的基因型均为，以子一代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子二代，以子二代豌豆进行杂交试验得到的豌豆为子三代，子二代、子三代的基因型有，，，其中为显性基因，为隐性基因，基因型中至少含有1个显性基因时呈显性性状．则下列说法正确的是（    ）

A．子二代中基因型为的概率为

B．子三代中基因型为的概率为

C．子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为

D．子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为

【答案】BD

【分析】根据子二代中基因型有即可判断A；根据子二代中d出现的概率结合独立事件的乘法公式可判断B；求出子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率，根据二项分布的概率计算可判断C，D.

【详解】对于A，由题意可知子二代中基因型有，其中为同类基因型，

故子二代中基因型为的概率为，A错误；

对于B，由于子二代中基因型有，比例为，

故d出现的概率为，

故子三代中基因型为的概率为，B正确；

对于C，子二代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为，

故子二代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为，C错误，

对于D，结合B的分析可知D出现的概率为，

则子三代中DD出现的概率为，Dd出现的概率为，

故子三代中1粒豌豆呈现显性性状的概率为，

故子三代中随机取3粒豌豆恰有2粒豌豆呈现显性性状的概率为，D正确，

故选：BD

12．已知函数有两个极值点与，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则

【答案】ACD

【分析】对于A，将函数有两个极值点与，转化为有两个变号零点，即有两个根，从而构造函数，利用导数判断单调性，作出图象，数形结合，即可判断；对于B，结合图像判断出的范围，结合即可判断；对语C，由，即，推出，构造函数，利用导数即可判断；对于D，当时，求出，即可求得a的值，当时，结合图象可得，即可判断.

【详解】对于A，函数有两个极值点与，且，

只需有两个变号零点，显然不适合，即有两个根，

令，则，

当且时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故的极小值为，且当时，，

大致图象如图：

则当的图像有两个交点时，满足题意，

故，A正确；

对于B，由A的分析可知，，且，而，

故，B错误；

对于C，由于，即，

则，

令，则，

即在上单调递增，故，即，C正确；

对于D，由于，当时，

则，

则，即，

当时，结合图象知：，

即，则，故，在上递减，

所以有，

综上，则，D正确，

故选： ACD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要根据函数有两个极值点与，推得有两个变号零点，即有两个根，从而构造函数，利用导数判断单调性，作出其图形，数形结合，解决问题.

三、填空题

13．用5种不同的颜色对如图所示的，，区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有          种不同的着色方法．（用数字作答）

【答案】

【分析】按和区域着色是否相同分类讨论，再利用加法原理求解.

【详解】若和区域着色相同时，有种不同的着色方法；

若和区域着色不相同时，有种不同的着色方法；

所以三块区域不同的着色方法有种，

故答案为：.

14．已知函数，，则的极大值点为          ．

【答案】/

【分析】求得函数导数，令其等于0，结合极值点的判断，即可得答案.

【详解】因为，所以，

令，

由于，故，则或，

故或，

当以及时，，在和上单调递增，

当时，，在上单调递减，

故为的极大值点，

故答案为：

15．现有一堆橙子用一台水果筛选机进行筛选．已知这一堆橙子中大果与小果比例为3：2，这台筛选机将大果筛选为小果的概率为0.02，将小果筛选为大果的概率为0.05．经过一轮筛选后，从筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为          ．

【答案】

【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，准确计算，即可求解.

【详解】根据题意，记事件“放入水果筛选机的橙子为大果”，事件“放入水果筛选机的橙子为小果”，事件“水果筛选机筛选的橙子为大果”，

可得且，

则,

，

所以，

即筛选出来的“大果”里随机取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为.

故答案为：

16．已知函数，若存在实数，满足，则的最小值为          ．

【答案】

【分析】作出的图像，数形结合，可得，确定，从而化简可得则，由此可构造函数，利用导数求其最小值，即可得答案.

【详解】因为，故作出图象如图：

由图象可知存在实数，满足，

则，则

，

结合图象可知，即，故，

设，其中，

则，

令，则，

即在上单调递增，而，

当时，，当时，，

故在单调递减，在上单调递增，

故，

所以的最小值为，

故答案为：

方法点睛：由于已知，故作出其图像，数形结合，可得，从而化简可得则，由此可构造函数，利用导数解决问题.

四、解答题

17．某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量（单位：千件）的数据统计表如下：

(1)根据上表数据画出年投资额与年销售量的散点图；

(2)该公司计划用非线性经验回归方程作为年销售量关于年投资额的回归分析模型，并对年销售量取对数，得到如下数据表：

请根据表格数据、参考数据和公式，求出该非线性经验回归方程．

参考数据与公式：；对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）直接在坐标系内描点即可；

（2）对非线性经验回归方程两边同时取对数，得到和之间的线性回归方程，利用最小二乘法估计公式求出和，将求出的回归方程代入，解出即可.

【详解】（1）散点图如下：

（2）由得，由于令，即，

由已知得，，

则，

，

所以，即，

故年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程为.

18．已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）根据是的极值点，求得a的值，可得函数解析式，将方程有3个不同的实数解转化为的图象由3个不同交点，数形结合，即得答案.

【详解】（1）因为，故，

故，

故函数在处的切线方程为，即

（2）由于是的极值点，故，

此时，当或时，，即在上单调递增，

当时，，在上单调递减

即为函数的极大值点，是函数的极小值点，故，

故，

故方程有3个不同的实数解，即的图象由3个不同交点，

而，，

结合的图象，当时，可取负无穷小，

当时，可取正无穷大，

可得到.

19．从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从的展开式推广到的展开式.

(1)写出的展开式中含的项（记为），并求该项的系数；

(2)写出的展开式的通项公式，并解释其正确性．

【答案】(1)；

(2)，其中，且为自然数，

，解释见解析

【分析】（1）利用的展开式可得，结合，即可求得答案；

（2）利用二项展开式可知，将化为，即可推出结论.

【详解】（1）由二项展开式可知，

则，

其中，且为自然数，

故的系数为时的值，即有，

系数为560.

（2）的展开式的通项公式为，

其中，且为自然数.

解释：

由二项展开式可知，

则

，

其中，且为自然数，

故的展开式的通项公式为，

其中，且为自然数.

20．某小型工厂生产蓝色和粉色两种颜色的手持便㩗风扇，每日生产量为200台，其中蓝色手持便携风扇120台，粉色手持便携风扇80台．

(1)若从某日生产的手持便携风扇中随机抽检2台，用表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；

(2)若从某日生产的手持便携风扇中随机抽取10台作为样本，用表示样本中蓝色手持便携风扇的台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中蓝色手持便携风扇的比例估计总体中蓝色手持便携风扇的比例，求误差不超过0.1的概率，并说明在相同误差限制下，采用哪种抽取方式估计的结果更可靠．

参考数据：随机变量对应二项分布和超几何分布概率值参考数据（精确到0.00001）．

【答案】(1)答案见解析

(2)有放回抽取时，，不放回抽取时， ，不放回抽取方式

【分析】（1）有放回抽取时确定，根据二项分布的概率计算公式，即可求得答案；不放回抽取时，根据超几何分布的概率计算可求得答案;

（2）对于有放回和不放回抽取时分别计算的值，并比较大小，即可得结论.

【详解】（1）对于有放回抽检，每次抽到蓝色手持便携风扇的概率为，

设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，

则，此时的取值可能为，

则，，

，

故的分布列为：

数学期望为;

对于不放回抽检，设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，

设表示抽检蓝色手持便携风扇的台数，

的取值可能为

则，，

，

故的分布列为：

数学期望为.

（2）样本中蓝色手持便携风扇的比例是一个随机变量，

有放回抽取时，

，

不放回抽取时，

，

因为，故在相同误差限制下，采用不放回抽取方式估计的结果更可靠.

21．某企业有甲、乙两条生产线，为了解生产产品质量情况，采用简单随机抽样的方法从两条生产线共抽取200件产品，测量产品尺寸（单位：）得到如下统计数据，其中尺寸位于的产品为一等品，其它产品为非一等品．

(1)为考察生产线（甲、乙）对产品质量（一等品、非一等品）的影响，请完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为产品质量与生产线有关联？

(2)用样本频率估计概率，从甲、乙两条生产线分别随机抽取2件产品，每次抽取产品互不影响，用表示这4件产品中一等品的数量，求的分布列．

附：①，其中．

②临界值表

【答案】(1)列联表见解析；不能

(2)分布列见解析

【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，可得结论；

（2）确定的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.

【详解】（1）由题意可得列联表如下：

故，

故根据小概率值的独立性检验，不能认为产品质量与生产线有关联.

（2）由已知可知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，

任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，

则的取值可能为，

，

，

，

，

，

故的分布列为：

22．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，且对任意（其中）都有，求实数的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出函数导数，讨论a的取值范围，即可得结论；

（2）结合函数的单调性化简整理为当（其中）时，恒成立，从而构造函数，得到其导数在恒成立，进而参变分离得到在恒成立，转化为函数最值问题，利用导数即可求得答案..

【详解】（1）由可得，

因为，当时，，即在上单调递增；

当时，，当时，，当时，，

此时在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）可知，在上单调递增，

故对任意（其中），都有；

由得，

当时，，即在上单调递减，

故对任意（其中），都有，

又当时，，

故,即，

即，

令，则在上单调递增，

故，即，

即当（其中）时，恒成立，

令，则在应为单调递减函数，

即在恒成立，

即在恒成立，故，

令，

则，

因为，

故在上单调递减，

则，

故，即实数的最小值为.

【点睛】难点点睛：本题第二问综合考查了导数的应用，综合性强，难度较大，解答时要结合函数的单调性化简，得到当（其中）时，恒成立，从而构造函数，得到其导数在恒成立，进而分离参数，转化为函数最值问题，利用导数解决.