北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

数学练习

班级_________ 姓名_________ 学号_________

学生须知

1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．

2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．

3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．

4．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．

一、选择题（每题2分，共16分）

1．下列各式是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ）

A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25

3．下列化简正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．菱形和平行四边形都具有的性质是（    ）

A．对角线相等  B．对角线互相垂直

C．对角线平分一组对角  D．对角线互相平分

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，y1），B（3，y2）在函数y＝－7x－4的图象上，则（    ）

A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．以上都有可能

6．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图．比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（    ）

A．甲同学平均分高，成绩波动较小 B．甲同学平均分高，成绩波动较大

C．乙同学平均分高，成绩波动较小 D．乙同学平均分高，成绩波动较大

7．一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是6cm，则最长的斜边CD的长为（    ）

A． B． C． D．

8．图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（    ）

A． B．

C．  D．

二、填空题（每题2分，共16分）

9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．

10．已知_______.414，则的近似值是_________（精确到0.01）．

11．一次函数的图象过点（－1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的解析式_________．

12．在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：

若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为_________．

13．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为_________．

14．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4，则CE的长是_________．

15．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为_________．

16．A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的三类原料的总重量W（单位：kg）＝_________（用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是_________时，这种产品的成本最低．

三、解答题（17、18、21、23、25、26、27每题6分，19题4分，20、22、24每题5分，28题7分，共68分）

17．计算：．

18．已知，求代数式x2＋2x－4的值．

19．下面是正正设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．

已知：如图1，线段a，b，∠MAN＝90°．

求作：矩形ABCD，使AB＝a，AD＝b．

作法：如图2，

①在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AD＝b；

②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；

③连接BC，DC．

∴四边形ABCD就是所求作的矩形．

根据正正设计的尺规作图过程，解答下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵AB＝DC＝a，AD＝_________＝b，

∴四边形ABCD是平行四边形（_________）（填推理的依据）．

∵∠MAN＝90°，

∴四边形ABCD是矩形（_________）（填推理的依据）．

20．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．

（1）应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是_________；

（2）应用场景2—解决实际问题．如图2，秋千由静止铅锤位置AB推至AC处，它的绳索始终拉直，量得水平距离CD＝2m，DB＝1m，求绳索AC的长．

21．下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种方法，完成证明．

22．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，a）在直线l1：y＝kx＋3－k（k＞0）上，直线l2：y＝x＋m过点B（2，3）．

（1）求a的值及直线l2的表达式；

（2）当x＞－1时，对于x的每一个值，函数y＝kx＋3－k（k＞0）的值大于函数y＝x＋m的值，直接写出k的取值范围．

23．如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射钱CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM于点F．若，，求∠ACD的度数及BD的长．

25．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发．设快车离乙地的距离为y2（km），慢车离乙地的距离为y1（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：

（1）图中的a＝_________，C点坐标为_________；

（2）求当x为何值时两车相遇？

（3）请直接写出当x为何值时两车相距200千米？

26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式—利用函数图象研究其性质—应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．阳阳结合上面的学习过程，对函数的图象与性质进行了探究．

（1）当a＝1时，

①化简函数的表达式：

当时，y＝_________，

当时，y＝_________；

②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；

（2）函数的图象可由的图象向_________平移_________个单位得到；

（3）对于任意的1＜x＜3都满足关于x的不等式，请直接写出实数a的最大值．

27．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E为BC延长线上一点．连接DE，在线段DE上取点F使，点G为FB与CD的交点．

求证：（1）FD＝AD；

（2）请写出线段GC、CE、EF之间的数量关系，并证明．

28．如图，在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“银杏点”．已知A（3，2），B（1，4）．

（1）在中，线段的“银杏点”是_________；

（2）点Q为直线y＝kx－2上一点，若点Q是线段AB的“银杏点”且不在第四象限，求k的取值范围；

（3）已知正方形CDEF边长为1，以T（2，t）为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“银杏点”，直接写出t的取值范围．

数学练习答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

17．原式．

18．原式＝（x＋1）2－5＝3－5＝－2．

19．（1）图略（2）AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．

20．（1）；（2）设秋千绳索AC的长度为xm，由题意可得AC＝AB＝xm，

∵CD＝2m，DB＝1m，∴AD＝AB－BD＝（x－1）m，

在Rt△ADC中，AD2＋DC2＝AC2，∴（x－1）2＋22＝x2，解得x＝25，

答：绳索AC的长为2.5m。

21．（1）（法一）∵点D是AB的中点，∴AD＝BD．

∵DE＝CD，∴四边形ACBE是平行四边形．

∵∠ACB＝90°，∴是矩形．∴AB＝CE．

∵，∴．

（法二）∵点D是AB的中点，∴AD＝BD．

∵点E是BC的中点，∴CE＝BE．∴DE∥AC．∴∠DEB＝∠ACB

∵∠ACB＝90°，∴∠DEB＝90°．∴DE是BC的垂直平分线．

∴．∵，∴．

22．（1）a＝3，直线l2：y＝x＋1；（2）．

23．（1）有一组邻边相等的四边形是菱形；（2）．

24．（1）72.5；

（2）p1＜p2；理由：p1＝19，八年级被抽取学生的中位数74.5分，说明八年级被抽取的学生中有20名学生的成绩高于74.5分，因此八年级被抽取的学生中至少有20名学生的成绩高于平均分73.8分，p2≥20，所以p1＜p2；

（3）  答：估计参加测试的学生成绩不低于80分人数为60人．

25．（1），C点坐标为（3，180）；

（2）由（1）可知，快车的速度为100km/h，慢车的速度为60km/h，

∴两车相遇所需时间为，

∴当x为时两车相遇；

（3）x为或时，两车相距200km．

26．（1）①  ②图略；（2）右，1；（3）5．

27．（1）设∠FBE＝α，∠CDE＝2α，

则∠BDF＝60°＋2α，∠DBF＝60°－α，

由三角形内角和定理可知∠DFB＝60°－α＝∠DBF，

推出FD＝BD＝AD；

（2）CE＝GC＋EF，在FD上取点P，使FP＝GC，连接PC，

可证△DPC≌△DGF，再证明EP＝EC即可．

28．（1）Q2，Q3；  （2）且、；  （3）4＜t≤5或－1≤t＜1．