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2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷
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这是一份2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷，共35页。
2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷
一.选择题（共10题，30分）
1．（3分）|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
4．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）若x，y的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值一定保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，连接AC，BC，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣2 B．16π﹣2 C．2π D．14π
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C△ABC＝8，则k1的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．8
9．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
10．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二.填空题（共8题，24分）
11．（3分）用科学记数法表示0.0000053＝ ．
12．（3分）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是 ．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，分别以点B，F为圆心，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，则AE的长为 ．
15．（3分）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 个人．
16．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，CE交于点H，BE，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： （请填上序号）．
三.解答题（共8题，96分）
19．（8分）计算：．
20．（12分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元
21．（14分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
22．（12分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）
23．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
25．（12分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，过点P作射线PE与直线CD交于点M，将射线PE绕点P顺时针旋转60°，交直线BC于点N．
（1）如图1，点P与A点重合时，点M、N分别在线段CD、BC上；
（2）如图2，点P在CA的延长线时，点M、N分别在线段CD、BC延长线上，CN，CP三条线段之间的数量关系；
（3）点P在线段AC上，AB＝8，BP＝7，请直接写出BN的长．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M
（3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（4）在（2）的条件下，若F为y轴上一动点的最小值．
2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10题，30分）
1．（3分）|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】C
【分析】先计算绝对值，然后根据倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数），进而得出答案．
【解答】解：|﹣2|＝2，则|﹣7|的倒数是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值和倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视方向判断出主视图即可．
【解答】解：由图可知主视图为：
故选：C．
【点评】本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝7，
所以x1+x2﹣x6x2＝3﹣6＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S乙2＜S丙2，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
5．（3分）若x，y的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值一定保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
【解答】解：根据分式的基本性质，若x，则
A、≠；
B、≠；
C、≠；
D、＝；
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．
6．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，连接AC，BC，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣2 B．16π﹣2 C．2π D．14π
【答案】C
【分析】先根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ACB＝90°，根据AC＝BC，结合勾股定理求出，根据图形得出S阴影＝S2+S4+S5＝S1+S3+S5＝2π，即可得出答案．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵以C为圆心，AC的长为半径作弧，
∴AC＝BC，
∴AC2+BC2＝AB7，
即2AC2＝82，
解得：，
∵将⊙O分别沿AC，BC向内翻折，
∴S1＝S2，S7＝S4，
∴，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出S阴影＝S2+S4+S5＝S1+S3+S5．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C△ABC＝8，则k1的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．8
【答案】B
【分析】首先根据题意得到点A和点B关于原点O对称，进而得到AO＝BO，然后由三角形中线的性质得到S△AOC＝＝4，然后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵函数的图象与函数y＝k2x（k2≠5）的图象交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴OC是△ABC的中线，
∴S△AOC＝＝5，
∵AC⊥x轴，
∴S△AOC＝|k5|＝4，
∵反比例函数在二、四象限，
∴k1＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是得出OC是△ABC的中线．
9．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】A
【分析】利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（5，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≥3或x≤﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题是解题的关键．
10．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答】解：①∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
则：4a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（8，则与x轴的另一个交点是（﹣2，
故②正确；
③将抛物线向下平移3个单位2+bx+c﹣2，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜6时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax72+bx1＝ax52+bx2，
则ax32+bx1+c＝ax72+bx2+c，
即y8＝y2，
∴x1、x6关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x＝﹣＝1，
故（x1+x7）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二.填空题（共8题，24分）
11．（3分）用科学记数法表示0.0000053＝ 5.3×10﹣6 ．
【答案】5.3×10﹣6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000053＝5.2×10﹣6；
故答案为：5.3×10﹣6．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是 m＞﹣5 ．
【答案】m＞﹣5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x≥﹣1，
∵不等式组有解，
∴＞﹣1，
∴m＞﹣5，
故答案为：m＞﹣6．
【点评】本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ﹣1或0 ．
【答案】﹣1或0．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，根据原分式方程无解，确定a的值．
【解答】解：去分母，得ax+a＝2a+2，
移项并整理，得ax＝a+8，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝．
∵当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴≠﹣8．
解得，a≠﹣1．
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查了分式方程的解法和分式方程无解，理解分式方程无解的条件，是解决本题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，分别以点B，F为圆心，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，则AE的长为 16 ．
【答案】16．
【分析】证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝，
在Rt△AOB中，OA＝＝，
∴AE＝2OA＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
15．（3分）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 15 个人．
【答案】15．
【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染m人，
依题意，得（1+m）2＝256，
解得：m4＝15，m2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
【答案】6．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b6＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣7（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣2a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣7
＝a2﹣2a+7﹣1﹣2
＝（a﹣2）2﹣3，
∵2＞0，
又∵b2＝a﹣3≥0，
∴a≥4，
∵8＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝3时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设EF＝x，根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB＝，证明△ADG≌△BEF，得到AD＝BE＝，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【解答】解：∵DE＝2EF，设EF＝x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴AB＝，
∴AD+BE＝AB﹣DE＝，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADG和△BEF中，
，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD＝BE＝，
在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF3，
即，
解得：x＝或﹣，
∴EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，CE交于点H，BE，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： ①②③④ （请填上序号）．
【答案】①②③④．
【分析】求证△BAE≌△CDE即可推出①正确；求证△ADH≌△CDH，再根据∠EAG+∠AEB＝90°即可推出②正确；利用△CDE和△BDE同底等高推出其面积相等，减去△EHD面积即可求证③正确；先证∠AHB＝∠CHB，再利用对顶角∠EHD＝∠CHB，即可证明④正确．
【解答】解：∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵DH＝DH，AD＝CD，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠EAG＝∠DCE，
而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠EAG+∠AEB＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵△CDE和△BDE同底等高，
∴S△CDE＝S△BDE，
而S△CDE﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD，
∴S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴AH＝CH，
而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE，
∴∠HAB＝∠HCB，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴∠AHB＝∠CHB，
而∠EHD＝∠CHB，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质结合题干条件灵活推理是解题关键．
三.解答题（共8题，96分）
19．（8分）计算：．
【答案】10．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝9+2×+2﹣
＝9++4﹣
＝10．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（12分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元
【答案】（1）购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，根据用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，即可列出不等式．
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，
根据题意得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
所以x+50＝30+50＝80，
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，
由题意得：80a+30（4a+8﹣a）≤2440，
解得a≤20，
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．
21．（14分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ 1500 ，b＝ 0.35 ，c＝ 900 ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 108° ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
【答案】（1）1500，0.35，900；
（2）108°；
（3）．
【分析】（1）①分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；
②由360°乘以40﹣49周岁年龄段人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），
∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝4.35，
在甲医院接种人数为：400÷0.1＝4000（人），
∴c＝4000×5.225＝900，
故答案为：1500，0.35；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中＝108°，
故答案为：108°；
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中A、B，
∴这三人在同一家医院接种的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（12分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）
【答案】40+40m．
【分析】作DH⊥BC于H设AE＝x米，在Rt△BDH中，根据已知条件可得DH2+（3DH）2＝4002，进而求出DH和BH的长度；在Rt△ADE中，根据∠ADE＝45°可得DE＝AE＝x米，进而求出EC．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC＝求出x，再结合AC＝AE+EC解答题目．
【解答】解：过点D作DH⊥BC于H，设AE＝xm．
∵这段斜坡的坡度i＝1：3，
∴DH：BH＝4：3．
在Rt△BDH中，DH2+（8DH）2＝4002，
∴DH＝40（m）（m）．
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴DE＝AE＝xm．
又∵HC＝ED，EC＝DH，
∴HC＝xm，EC＝40m，
在Rt△ABC中，tan30°＝＝＝，
解得x＝40，
∴AC＝AE+EC＝（40+40．
故山顶A到地面BC的高度AC是（40+40．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）y＝；（2）3840．
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣4）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣2（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣4）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点评】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝＝即可求出OF．
【解答】解：（1）连接OC．如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠8．
又∵∠3＝∠1+∠4，
∴∠3＝2∠3．
又∵∠4＝2∠3，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．如图3所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝＝，
∴AB＝BD＝6，
∴OB＝OC＝2，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝＝，
解得：OF＝6．
【点评】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
25．（12分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，过点P作射线PE与直线CD交于点M，将射线PE绕点P顺时针旋转60°，交直线BC于点N．
（1）如图1，点P与A点重合时，点M、N分别在线段CD、BC上；
（2）如图2，点P在CA的延长线时，点M、N分别在线段CD、BC延长线上，CN，CP三条线段之间的数量关系；
（3）点P在线段AC上，AB＝8，BP＝7，请直接写出BN的长．
【答案】（1）BN＝CM；
（2）CM﹣CN＝CP，理由见解析过程；
（3）BN的长为2或4或6．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠MAN＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△ABN≌△ACM，可得BN＝CM；
（2）由角平分线的性质可得PG＝PH，由直角三角形的性质可得PC＝2CG＝2CH，由“ASA”可证△PGN≌△PHM，可得GN＝HM，即可求解；
（3）分四种情况讨论，由全等三角形的性质和线段和差关系可得CN﹣CM＝2MH或CN﹣CM＝PC，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠ACD＝∠B，
∵将射线PE绕点P顺时针旋转60°，得到射线PF，
∴∠MAN＝60°＝∠BAC，
∴∠BAN＝∠CAM，
∴△ABN≌△ACM（ASA），
∴BN＝CM；
（2）如图2，过点P作PG⊥BC于G，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，PG⊥BC，
∴PG＝PH，∠CPG＝∠CPH＝30°，
∴PC＝2CG＝3CH，∠GPH＝60°，
∴CG＝CH，
∵∠FPE＝60°＝∠GPH，
∴∠GPN＝∠HPM，
又∵PG＝PH，∠PGN＝∠PHM＝90°，
∴△PGN≌△PHM（ASA），
∴GN＝HM，
∴CM﹣CN＝CH+HM﹣（GN﹣GC）＝2CH＝CP，
即CM﹣CN＝CP；
（3）如图3，连接BD交AC于点O，
如图8，当点M在线段CD上且点P在AO上时，PH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴AO＝AB＝8＝CO，
∴OP＝＝＝1，
∴CP＝5，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，PG⊥BC，
∴PG＝PH，∠CPG＝∠CPH＝30°，
∴PC＝6CG＝2CH，∠GPH＝60°，
∴CG＝CH＝，
∴MH＝，
∵∠FPE＝60°＝∠GPH，
∴∠GPN＝∠HPM，
又∵PG＝PH，∠PGN＝∠PHM＝90°，
∴△PGN≌△PHM（ASA），
∴GN＝HM，
∴CN﹣CM＝CG+NG﹣（CH﹣MH）＝8MH＝3，
∴CN＝3+5＝4，
∴BN＝4，
如图3，当点M在线段CD上且点P在CO上时，
同理可得：BN＝6，
如图5，当点M在线段DC的延长线上且点P在AO上时，
由（2）可得CN﹣CM＝PC＝8，
∴CN＝5+1＝3，
∴BN＝2，
如图6，当点M在线段DC的延长线上且点P在CO上时，
由（2）可得CN﹣CM＝PC＝4，
∴CN＝3+1＝8，
∴BN＝4，
综上所述：BN的长为2或5或6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M
（3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（4）在（2）的条件下，若F为y轴上一动点的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）（，0）或（6，0）；
（4）．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得PM的最大值；
（3）分两种情形分别求解可得结论；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，作NG⊥CQ于点G，交y轴于点F，证明△CFG∽△CQO，根据相似三角形的性质可得FG＝CF，则HF+CF的最小值即NT的长，证明△QNG∽△CQO，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），﹣8）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣6；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣5x﹣3＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x＝2或﹣1，
∴B（3，8）；
设BC的解析式为：y＝kx+t，
∵B（3，0），﹣7），
∴，解得，
∴BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣7），则M（x，
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣3x﹣3）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）6+，
当x＝时，PM有最大值为；
（3）如图1，连接BD，CE′交BD于点T．
y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣1）7﹣4，
∴顶点D（1，﹣5），
设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D（1，
得﹣5k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝5x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x+p，
将C点坐标代入函数解析式，得p＝﹣8，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝4时，x＝，
当点E在点B的右侧时，
∵B（4，0），﹣3），﹣3），
∴CB2＝38+32＝18，CD5＝12+（3﹣3）2＝7，BD2＝（3﹣4）2+45＝20，
∴CB2+CD2＝BD4，
∴△BCD是直角三角形，BD是斜边，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴∠TCD＝∠TDC，
∴CT＝BT＝DT，
∴T为BD的中点，
∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2），
∴直线CT的解析式为y＝x﹣3，
∴点E′的坐标是（8，0）．
∴综上所述，点E的坐标是（，0）；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，交y轴于点F，
∴∠CGF＝∠COQ＝90°，
∵∠FCG＝∠QCO，
∴△CFG∽△CQO，
∴，即＝，
∴FG＝CF，
∵点H与点N关于y轴对称，
∴HF＝NF，
∴HF+CF的最小值即NF+FG＝NG的长，
∵∠NGQ＝∠COQ＝90°，∠NQG＝∠CQO，
∴△QNG∽△CQO，
∴，
由（2）知x＝时，PM有最大值为，
∴H（，0），
∴N（﹣，0），
∴NQ＝+1＝，
∴，
∴NG＝，
∴HF+CF的最小值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称求最短路线，相似三角形的判定和性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷
一.选择题（共10题，30分）
1．（3分）|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
4．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）若x，y的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值一定保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，连接AC，BC，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣2 B．16π﹣2 C．2π D．14π
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C△ABC＝8，则k1的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．8
9．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
10．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二.填空题（共8题，24分）
11．（3分）用科学记数法表示0.0000053＝ ．
12．（3分）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是 ．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，分别以点B，F为圆心，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，则AE的长为 ．
15．（3分）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 个人．
16．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，CE交于点H，BE，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： （请填上序号）．
三.解答题（共8题，96分）
19．（8分）计算：．
20．（12分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元
21．（14分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
22．（12分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）
23．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
25．（12分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，过点P作射线PE与直线CD交于点M，将射线PE绕点P顺时针旋转60°，交直线BC于点N．
（1）如图1，点P与A点重合时，点M、N分别在线段CD、BC上；
（2）如图2，点P在CA的延长线时，点M、N分别在线段CD、BC延长线上，CN，CP三条线段之间的数量关系；
（3）点P在线段AC上，AB＝8，BP＝7，请直接写出BN的长．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M
（3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（4）在（2）的条件下，若F为y轴上一动点的最小值．
2023年辽宁省丹东六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10题，30分）
1．（3分）|﹣2|的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】C
【分析】先计算绝对值，然后根据倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数），进而得出答案．
【解答】解：|﹣2|＝2，则|﹣7|的倒数是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值和倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视方向判断出主视图即可．
【解答】解：由图可知主视图为：
故选：C．
【点评】本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝7，
所以x1+x2﹣x6x2＝3﹣6＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
平均数（cm）
180
185
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴从乙和丙中选择一人参加比赛，
∵S乙2＜S丙2，
∴选择乙参赛，
故选：B．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．
5．（3分）若x，y的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值一定保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
【解答】解：根据分式的基本性质，若x，则
A、≠；
B、≠；
C、≠；
D、＝；
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，解题时注意：分式的分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．
6．（3分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，连接AC，BC，AC的长为半径作弧，恰好经过点B，BC向内翻折．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣2 B．16π﹣2 C．2π D．14π
【答案】C
【分析】先根据直径所对的圆周角为直角，得出∠ACB＝90°，根据AC＝BC，结合勾股定理求出，根据图形得出S阴影＝S2+S4+S5＝S1+S3+S5＝2π，即可得出答案．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵以C为圆心，AC的长为半径作弧，
∴AC＝BC，
∴AC2+BC2＝AB7，
即2AC2＝82，
解得：，
∵将⊙O分别沿AC，BC向内翻折，
∴S1＝S2，S7＝S4，
∴，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，勾股定理，扇形面积的计算，解题的关键是根据图形得出S阴影＝S2+S4+S5＝S1+S3+S5．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C△ABC＝8，则k1的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．8
【答案】B
【分析】首先根据题意得到点A和点B关于原点O对称，进而得到AO＝BO，然后由三角形中线的性质得到S△AOC＝＝4，然后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：∵函数的图象与函数y＝k2x（k2≠5）的图象交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴OC是△ABC的中线，
∴S△AOC＝＝5，
∵AC⊥x轴，
∴S△AOC＝|k5|＝4，
∵反比例函数在二、四象限，
∴k1＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是得出OC是△ABC的中线．
9．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【答案】A
【分析】利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（5，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≥3或x≤﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题是解题的关键．
10．（3分）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3）（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答】解：①∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
则：4a+b＝0正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是B（8，则与x轴的另一个交点是（﹣2，
故②正确；
③将抛物线向下平移3个单位2+bx+c﹣2，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜6时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax72+bx1＝ax52+bx2，
则ax32+bx1+c＝ax72+bx2+c，
即y8＝y2，
∴x1、x6关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x＝﹣＝1，
故（x1+x7）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
二.填空题（共8题，24分）
11．（3分）用科学记数法表示0.0000053＝ 5.3×10﹣6 ．
【答案】5.3×10﹣6．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000053＝5.2×10﹣6；
故答案为：5.3×10﹣6．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）若关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是 m＞﹣5 ．
【答案】m＞﹣5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜，
解不等式②得：x≥﹣1，
∵不等式组有解，
∴＞﹣1，
∴m＞﹣5，
故答案为：m＞﹣6．
【点评】本题考查了解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．（3分）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ﹣1或0 ．
【答案】﹣1或0．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，根据原分式方程无解，确定a的值．
【解答】解：去分母，得ax+a＝2a+2，
移项并整理，得ax＝a+8，
当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝．
∵当x＝﹣1时，分式方程无解，
∴≠﹣8．
解得，a≠﹣1．
故答案为：﹣1或5．
【点评】本题考查了分式方程的解法和分式方程无解，理解分式方程无解的条件，是解决本题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，尺规作图：以点A为圆心，分别以点B，F为圆心，作射线AP交BC与点E，若BF＝12，则AE的长为 16 ．
【答案】16．
【分析】证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【解答】解：由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，
∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝，
在Rt△AOB中，OA＝＝，
∴AE＝2OA＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF是菱形．
15．（3分）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 15 个人．
【答案】15．
【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染m人，
依题意，得（1+m）2＝256，
解得：m4＝15，m2＝﹣17（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（3分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
【答案】6．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵a﹣b2＝4，
∴b6＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣7（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣2a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣7
＝a2﹣2a+7﹣1﹣2
＝（a﹣2）2﹣3，
∵2＞0，
又∵b2＝a﹣3≥0，
∴a≥4，
∵8＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝3时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
17．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点F、G分别在BC、AC上，若CF＝4，且DE＝2EF，则EF的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设EF＝x，根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得AB＝，证明△ADG≌△BEF，得到AD＝BE＝，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【解答】解：∵DE＝2EF，设EF＝x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴AB＝，
∴AD+BE＝AB﹣DE＝，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADG和△BEF中，
，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD＝BE＝，
在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF3，
即，
解得：x＝或﹣，
∴EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
18．（3分）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，CE交于点H，BE，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： ①②③④ （请填上序号）．
【答案】①②③④．
【分析】求证△BAE≌△CDE即可推出①正确；求证△ADH≌△CDH，再根据∠EAG+∠AEB＝90°即可推出②正确；利用△CDE和△BDE同底等高推出其面积相等，减去△EHD面积即可求证③正确；先证∠AHB＝∠CHB，再利用对顶角∠EHD＝∠CHB，即可证明④正确．
【解答】解：∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵DH＝DH，AD＝CD，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠EAG＝∠DCE，
而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠EAG+∠AEB＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵△CDE和△BDE同底等高，
∴S△CDE＝S△BDE，
而S△CDE﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD，
∴S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴AH＝CH，
而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE，
∴∠HAB＝∠HCB，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴∠AHB＝∠CHB，
而∠EHD＝∠CHB，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质结合题干条件灵活推理是解题关键．
三.解答题（共8题，96分）
19．（8分）计算：．
【答案】10．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝9+2×+2﹣
＝9++4﹣
＝10．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（12分）某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元
【答案】（1）购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，根据用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等，即可列出方程；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，根据购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠，购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，即可列出不等式．
【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+50）元，
根据题意得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
所以x+50＝30+50＝80，
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是2a+8，
由题意得：80a+30（4a+8﹣a）≤2440，
解得a≤20，
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是能够根据题意，找到等量关系和不等关系．
21．（14分）自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种新冠疫苗
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝ 1500 ，b＝ 0.35 ，c＝ 900 ；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 108° ；
（2）若A，B，C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，请用列表或画树状图的方法求这三人在同一家医院接种的概率．
甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
【答案】（1）1500，0.35，900；
（2）108°；
（3）．
【分析】（1）①分别求出在甲医院和乙医院的接种人数，即可解决问题；
②由360°乘以40﹣49周岁年龄段人数所占比例即可；
（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）①在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），
∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝4.35，
在甲医院接种人数为：400÷0.1＝4000（人），
∴c＝4000×5.225＝900，
故答案为：1500，0.35；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中＝108°，
故答案为：108°；
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中A、B，
∴这三人在同一家医院接种的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率的知识以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（12分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）
【答案】40+40m．
【分析】作DH⊥BC于H设AE＝x米，在Rt△BDH中，根据已知条件可得DH2+（3DH）2＝4002，进而求出DH和BH的长度；在Rt△ADE中，根据∠ADE＝45°可得DE＝AE＝x米，进而求出EC．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC＝求出x，再结合AC＝AE+EC解答题目．
【解答】解：过点D作DH⊥BC于H，设AE＝xm．
∵这段斜坡的坡度i＝1：3，
∴DH：BH＝4：3．
在Rt△BDH中，DH2+（8DH）2＝4002，
∴DH＝40（m）（m）．
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴DE＝AE＝xm．
又∵HC＝ED，EC＝DH，
∴HC＝xm，EC＝40m，
在Rt△ABC中，tan30°＝＝＝，
解得x＝40，
∴AC＝AE+EC＝（40+40．
故山顶A到地面BC的高度AC是（40+40．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（12分）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
【答案】（1）y＝；（2）3840．
【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，再根据函数的性质求出最大利润．
【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，
当32＜x≤40时，y＝120，
∴y＝．
（2）设利润为W，则：
当8≤x≤32时，W＝（x﹣4）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣2（x﹣40）2+3072，
∵开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大＝2880，
当32＜x≤40时，W＝（x﹣4）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝40时，W最大＝3840，
∵3840＞2880，
∴最大利润为3840元．
【点评】本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．
24．（12分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝＝即可求出OF．
【解答】解：（1）连接OC．如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠8．
又∵∠3＝∠1+∠4，
∴∠3＝2∠3．
又∵∠4＝2∠3，
∴∠4＝∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．如图3所示：
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD＝∠F，
∴sin∠BAD＝sinF＝＝，
∴AB＝BD＝6，
∴OB＝OC＝2，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴sinF＝＝，
解得：OF＝6．
【点评】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．
25．（12分）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，过点P作射线PE与直线CD交于点M，将射线PE绕点P顺时针旋转60°，交直线BC于点N．
（1）如图1，点P与A点重合时，点M、N分别在线段CD、BC上；
（2）如图2，点P在CA的延长线时，点M、N分别在线段CD、BC延长线上，CN，CP三条线段之间的数量关系；
（3）点P在线段AC上，AB＝8，BP＝7，请直接写出BN的长．
【答案】（1）BN＝CM；
（2）CM﹣CN＝CP，理由见解析过程；
（3）BN的长为2或4或6．
【分析】（1）由旋转的性质可得∠MAN＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△ABN≌△ACM，可得BN＝CM；
（2）由角平分线的性质可得PG＝PH，由直角三角形的性质可得PC＝2CG＝2CH，由“ASA”可证△PGN≌△PHM，可得GN＝HM，即可求解；
（3）分四种情况讨论，由全等三角形的性质和线段和差关系可得CN﹣CM＝2MH或CN﹣CM＝PC，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠ACD＝∠B，
∵将射线PE绕点P顺时针旋转60°，得到射线PF，
∴∠MAN＝60°＝∠BAC，
∴∠BAN＝∠CAM，
∴△ABN≌△ACM（ASA），
∴BN＝CM；
（2）如图2，过点P作PG⊥BC于G，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，PG⊥BC，
∴PG＝PH，∠CPG＝∠CPH＝30°，
∴PC＝2CG＝3CH，∠GPH＝60°，
∴CG＝CH，
∵∠FPE＝60°＝∠GPH，
∴∠GPN＝∠HPM，
又∵PG＝PH，∠PGN＝∠PHM＝90°，
∴△PGN≌△PHM（ASA），
∴GN＝HM，
∴CM﹣CN＝CH+HM﹣（GN﹣GC）＝2CH＝CP，
即CM﹣CN＝CP；
（3）如图3，连接BD交AC于点O，
如图8，当点M在线段CD上且点P在AO上时，PH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO＝30°，
∴AO＝AB＝8＝CO，
∴OP＝＝＝1，
∴CP＝5，
∵∠ACB＝∠ACD＝60°，PG⊥BC，
∴PG＝PH，∠CPG＝∠CPH＝30°，
∴PC＝6CG＝2CH，∠GPH＝60°，
∴CG＝CH＝，
∴MH＝，
∵∠FPE＝60°＝∠GPH，
∴∠GPN＝∠HPM，
又∵PG＝PH，∠PGN＝∠PHM＝90°，
∴△PGN≌△PHM（ASA），
∴GN＝HM，
∴CN﹣CM＝CG+NG﹣（CH﹣MH）＝8MH＝3，
∴CN＝3+5＝4，
∴BN＝4，
如图3，当点M在线段CD上且点P在CO上时，
同理可得：BN＝6，
如图5，当点M在线段DC的延长线上且点P在AO上时，
由（2）可得CN﹣CM＝PC＝8，
∴CN＝5+1＝3，
∴BN＝2，
如图6，当点M在线段DC的延长线上且点P在CO上时，
由（2）可得CN﹣CM＝PC＝4，
∴CN＝3+1＝8，
∴BN＝4，
综上所述：BN的长为2或5或6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M
（3）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．
（4）在（2）的条件下，若F为y轴上一动点的最小值．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）（，0）或（6，0）；
（4）．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据BC的解析式和抛物线的解析式，设P（x，x2﹣2x﹣3），则M（x，x﹣3），表示PM的长，根据二次函数的最值可得PM的最大值；
（3）分两种情形分别求解可得结论；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，作NG⊥CQ于点G，交y轴于点F，证明△CFG∽△CQO，根据相似三角形的性质可得FG＝CF，则HF+CF的最小值即NT的长，证明△QNG∽△CQO，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），﹣8）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣6；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣5x﹣3＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x＝2或﹣1，
∴B（3，8）；
设BC的解析式为：y＝kx+t，
∵B（3，0），﹣7），
∴，解得，
∴BC的解析式为：y＝x﹣3，
设P（x，x2﹣2x﹣7），则M（x，
∴PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣3x﹣3）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）6+，
当x＝时，PM有最大值为；
（3）如图1，连接BD，CE′交BD于点T．
y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣1）7﹣4，
∴顶点D（1，﹣5），
设BD所在直线的解析式为：y＝k（x﹣3），将D（1，
得﹣5k＝﹣4，
解得k＝2，
故BD所在直线的解析式为：y＝5x﹣6，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴CE∥BD，
设CE所在直线的解析式为：y＝2x+p，
将C点坐标代入函数解析式，得p＝﹣8，
故CE所在直线的解析式为：y＝2x﹣3，
当y＝4时，x＝，
当点E在点B的右侧时，
∵B（4，0），﹣3），﹣3），
∴CB2＝38+32＝18，CD5＝12+（3﹣3）2＝7，BD2＝（3﹣4）2+45＝20，
∴CB2+CD2＝BD4，
∴△BCD是直角三角形，BD是斜边，
∵∠ECB＝∠CBD，
∴∠TCD＝∠TDC，
∴CT＝BT＝DT，
∴T为BD的中点，
∴CE′经过BD的中点T（2，﹣2），
∴直线CT的解析式为y＝x﹣3，
∴点E′的坐标是（8，0）．
∴综上所述，点E的坐标是（，0）；
（4）设抛物线的对称轴交x轴于点Q，作点H关于y轴的对称点N，交y轴于点F，
∴∠CGF＝∠COQ＝90°，
∵∠FCG＝∠QCO，
∴△CFG∽△CQO，
∴，即＝，
∴FG＝CF，
∵点H与点N关于y轴对称，
∴HF＝NF，
∴HF+CF的最小值即NF+FG＝NG的长，
∵∠NGQ＝∠COQ＝90°，∠NQG＝∠CQO，
∴△QNG∽△CQO，
∴，
由（2）知x＝时，PM有最大值为，
∴H（，0），
∴N（﹣，0），
∴NQ＝+1＝，
∴，
∴NG＝，
∴HF+CF的最小值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称求最短路线，相似三角形的判定和性质，正确画图是关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．
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