浙江省名校协作体2023-2024学年高三上学期返校联考数学试题

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

命题：春晖中学      舟山中学      审核：丽水中学

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷．

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．已知复数，则在复平面内所对应的点在（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．在中，，若，则（    ）

A．      B．      C．      D．

4．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ）

A．      B．      C．      D．

5．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点．若，则（    ）

A．      B．      C．      D．

6．某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（    ）

A．124      B．246      C．114      D．108

7．已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，则的值为（    ）

A．      B．      C．      D．

8．已知四面体中，，直线与所成的角为，且二面角为锐二面角．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．

9．下列命题成立的是（    ）

A．已知，若，则

B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为

C．样本数据64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位数为78

D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握性越大

10．已知正方体的棱长为2，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（    ）

A．若点在棱上运动，则的最小值为

B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为

C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线

D．若点在直线上运动，则到棱的最小距离为

11．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）

A．            B．函数的图象关于对称

C．的周期为4      D．

12．已知数列是公比为的等比数列，且，则下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则        D．若，且，则

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知函数，则的解集为__________．

14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__________．

15．已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为__________．

16．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

已知．

（1）求的单调递增区间；

（2）在中，角所对的边为．若，求的取值范围．

18．（本题满分12分）

已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，为等边三角形．

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（本题满分12分）

设数列的前项和为，已知．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前的项和．

20．（本小题满分12分）

某科研所研究表明，绝大部分抗抑郁抗焦虑的药物都有一个奇特的功效，就是刺激人体大脑多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快乐药”．其实科学、合理、适量的有氧运动就会增加人体大脑多巴胺（Dopamine）的分泌，从而缓解抑郁、焦虑的情绪．人体多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定义运动后多巴胺含量超过称明显有效运动，否则是不明显有效运动．树人中学为了了解学生明显有效运动是否与性别有关，对运动后的60名学生进行检测，其中女生与男生的人数之比为1∶2，女生中明显有效运动的人数占，男生中明显有效运动的人数占．

（1）根据所给的数据完成上表，并依据的独立性检验，能否判断明显有效运动与性别有关？并说明理由．

（2）若从树人中学所有学生中抽取11人，用样本的频率估计概率，预测11人中不明显有效运动的人数最有可能是多少？

附：，其中．

参考数据：

21．（本小题满分12分）

已知双曲线的左、右顶点分别为为双曲线上异于、的任意一点，直线的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．

（1）求双曲线的方程；

（2）设不同于顶点的两点在双曲线的右支上，直线在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数有两个极值点．其中为自然对数的底数．

（1）求实数的取值范围；

（2）若恒成立，求的取值范围．

2023学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．

三、填空题：本大题共4小题，单空题4分，多空题6分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．  14．  15．  16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）化简得

令，得到

所以的增区间为

（2）由，得，由于，所以得到

由于

18．解：（1）等腰梯形中，，得到，．由，得到，且，

因此平面，

又因为平面，故平面平面

（2）方法一：由（1）知面，得到面面．

作于点，有面．即为直线与面所成角

在直角三角形中，由和，得到

由得，又，所以存在．

方法二：以点为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系．

其中

得到，设平面的法向量为

由，得，不妨设，则取

又

则，（舍去）或所以，

19．解：（1）由，得，两式相减得．

令数列成等比数列，

（2）由于

①，

则②，

①-②得：

20．解：（1）因为对60名学生明显有效运动是否与性别有关的调查，其中女生与男生的人数之比为，女生中明显有效运动的人数占，男生中明显有效运动的人数占，得到下面的列联表：

给定假设：明显有效运动与性别没有关系．

由于，

则根据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断假设不成立，因此认为明显有效运动与性别存在差异．

（2）由样本数据可知，不明显有效运动的频率为，用样本的频率估计概率，所以不明显有效运动的概率为，

设11人不明显有效运动的人数为，则

所以

假设11人中不明显有效运动的人数最有可能是，

则

得所以11人中不明显有效运动的人数最有可能是3或4．

21．解：（1）设，则，又，

，

又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．

所以双曲线的方程：

（2）设直线的方程为．

由得

，直线，则直线在轴上的截距为，直线，则直线在轴上的截距为，

由题得：，又，所以．

所以，则，

，

，化简得：或．

若，直线过顶点，舍去．．

则直线的方程为，所以直线过定点．

22．解：（1）由于，

由题知有两个不同实数根，即有两个不同实数根．

令，则，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，故的图象如图所示，

当时，有两个零点且．则或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极大值点为，极小值点为．

故有两个极值点时，实数的取值范围为．

（2）由于

若设，则上式即为

由（1）可得，两式相除得，即，

由得

所以，令，

则在恒成立，由于，

令，则，，显然在递增，

又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又有，所以存在使得，且易得在递减，递增，又，则时，时，，所以易得在上递减，在上递增，则，所以的取值范围为．