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考点10 对数与对数函数10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（解析版）
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这是一份考点10 对数与对数函数10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（解析版），共57页。试卷主要包含了对数的运算，换底公式的应用，对数型函数的定义域和值域，对数函数的图象及应用，对数函数的单调性，对数函数的最值，对数函数的奇偶性，反函数等内容，欢迎下载使用。
考点10 对数与对数函数10种常见考法归类
考点一 对数的运算
考点二 换底公式的应用
考点三 对数型函数的定义域和值域
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
（三）对数型函数恒过定点问题
（四）对数函数图象应用
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
（二）比较对数式的大小
（三）解不等式
（四）由函数的单调性求参数
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
（二）根据最值求参数
（三）函数的最值与不等式的综合问题
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
（二）已知函数奇偶性求值
（三）由函数的奇偶性求解析式
（四）已知函数的奇偶性求参数
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
考点八 反函数
考点九 对数函数的综合问题
考点十 对数函数的实际应用
1、指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2、对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3、对数的性质和运算法则：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)对数换底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
5、对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
7、利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
8、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
(2)对数函数的图象
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
注：对数函数常用技巧
(1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ）
9、反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
10、判断一个函数是对数函数的方法
11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
12、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
14、比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
15、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．
17、对数型函数性质的综合应用
(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
18、对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
考点一 对数的运算
1．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．
【答案】/
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】解：由题知，.
故答案为：
2．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________
【答案】
【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）__________
【答案】
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）__________
【答案】1
【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.
【详解】
故答案为：1
6．（2023·山东淄博·统考二模）设，满足，则__________.
【答案】/0.5
【分析】令，则，根据即可求解．
【详解】令，则，
所以，整理得，
解得(负值舍去)，所以.
故答案为：.
7．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】3
【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
8．（2023·天津·一模）若，，则___________.
【答案】
【分析】由，两边取以为底的对数，得，由，令，则，从而可得，则，从而得出答案.
【详解】由，两边取以 为底的对数，得，
由，令，则，
所以，即，
所以，设，则，
所以在上单调递增，
由以及，则 ，
由即，则
故答案为：
9．（2023·全国·模拟预测）已知正数x，y满足，则______.
【答案】0
【分析】直接两边同除，得，解出，整体代入即可得到答案.
【详解】因为，，所以，即，
得，则.
故答案为：0.
考点二 换底公式的应用
10．（2023·全国·高三专题练习）化简求值：______.
【答案】/0.75
【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.
【详解】
.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式.
【详解】，
又，则
故选：B
12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________．
【答案】
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.
【详解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案为：.
13．（2023·天津·校联考二模）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
14．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
考点三 对数型函数的定义域和值域
15．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数的定义域为________.
【答案】
【分析】函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得，即
故答案为：
16．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.
【详解】函数有意义，则有，即
解得，所以函数的定义域是.
故选：D
17．（2023·北京·高三专题练习）函数的值域为________．
【答案】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
【答案】
【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.
【详解】设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果.
【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为，则实数__________.
【答案】1
【分析】根据值域为可得，且， ，因此为的实数解，从而可求.
【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取.
若，则，
若，则，
故为的实数解，
故，整理得到：，
故即，解得.
当时，，
当时，，
对于任意给定的正数，当，
有，故，
而当时，，
综上，时，的值域为.
故答案为：1.
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
22．（2023·高三课时练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案.
【详解】的定义域为，
因为，所以是偶函数，
当时，单调递增，
由此可判断出选A
故选：A
24．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
25．（2023·四川·校联考模拟预测）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D.
【详解】函数定义域为，
则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；
又，排除选项AB；
故选：D
26．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A.
【详解】由，可得，则定义域为，
则，
，
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.
【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，
则函数为偶函数，故排除选项B，C；
因为，
当时，恒成立，所以恒成立，
且当时，，
所以当时，，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
28．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可．
【详解】当时，函数在上单调递减；
函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误；
当时，函数在上单调递增；
函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误．
故选：A．
29．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
30．（2023·全国·高三对口高考）已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数与指数函数的图象和性质即可判断求解.
【详解】由得，，且，即，
进而得，或，．
当，时，两个函数都为增函数；
当，时，两个函数都为减函数，
故选：．
31．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案.
【详解】过原点，排除AC；
当时，单调递减，开口向下，排除D.
故选：B
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
32．（2023·高三课时练习）已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．
【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．
故选：D．
33．（2023秋·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
（三）对数型函数恒过定点问题
35．【多选】（2023秋·云南怒江·高三校考期末）下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.
【详解】根据题意，在每个选项中令，
选项A中，，故函数图象过点，A正确.
选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.
选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.
选项D中，，故函数图象过点，D正确.
故选：AD.
36．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）函数且的图象恒过的定点是_____________.
【答案】
【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以该函数的图象恒过的定点是，
故答案为：
37．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案.
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
38．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为当时，，所以过定点，
由三角函数的定义可得，，，
所以，
故选：D
（四）对数函数图象应用
40．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
41．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
42．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将看做整体，先求出对应的，再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解.
【详解】令，得或，
画出的大致图象．
设，由图可知，
当或时，有且仅有1个实根；
当或时，有2个实根；
当时，有3个实根．
则恰有4个不同的零点等价于
或或或
解得或．
故答案为：
43．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
44．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴，
，∵，∴
∴，即，∴∴的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键.
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
45．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.
【详解】由且，故为偶函数，在上递减，A符合；
由的定义域为，故为非奇非偶函数，B不符合；
由定义域为，又，故为偶函数，在上递增，C不符合；
由的定义域为，，故为偶函数，在上递增，D不符合.
故选：A
46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.
【详解】由得：，即的定义域为；
，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：A.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________．
【答案】
【分析】先由对数函数的性质求得其定义域，再由推得，从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解.
【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
（二）比较对数式的大小
48．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对互化，表示，再结合对数函数的单调性，和中间值比较大小，即可判断选项.
【详解】
，由，即，故
，可得，即
综上：.
故选：D.
49．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
50．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，用作商法比较的大小，由换底公式可得，从而得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
则；
，
因为，所以，
则有．
故选：C．
51．（2023·四川内江·统考三模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.
【详解】因为在上单调递增，于是，即，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，
取，则，所以，即，
所以.
故选：A
52．【多选】（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.
【详解】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.
（三）解不等式
53．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.
【详解】解：由题意得，
，
故选：D.
54．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分、和，依次解不等式，再取并集即可.
【详解】当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，易知，解得；
当时，不等式为，解得；
综上，解集为：.
故答案为：.
56．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，若，则实数的取值范围是__．
【答案】
【解析】首先判定函数的单调性，然后去掉中的“”，从而可求的范围．
【详解】在上单调递增，且，
因为
或，
解得或；
故实数的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性解不等式，属于常考题．
（四）由函数的单调性求参数
57．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围.
【详解】已知在上是严格减函数，
由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，
又函数在上最小值，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
58．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数单调性及定义域可求解.
【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：
函数在上单调递增且在上恒成立，
则有，解得，则a的取值范围为.
故选：D
59．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，4] B．[－2，4）
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】函数在区间上单调递减，要使得函数在区间上单调递
减，则在区间上单调递增，对称轴为，则
.
故选：A
60．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性求出的单调递增区间，然后由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
61．（2023·全国·高三专题练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，解不等式组可求得答案
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
62．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
63．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．
【答案】/
【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.
【详解】显然，∴
，
令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，
当且仅当t＝－即x＝时，有.
故答案为：
64．（2023·广西·统考模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解.
【详解】若，则，
因为，
所以，
因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明.
（二）根据最值求参数
65．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.
【详解】当时，函数是单调递减的，，，
当时，是单调递增的，，，
因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，
所以实数m的可能取值为-1，0.
故选：AB
66．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是____________．
【答案】3
【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出和的值，最后根据的单调性检验即可得到.
【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；
当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.
综上所述，，，.
故答案为：3.
67．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
（三）函数的最值与不等式的综合问题
68．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先对进行分类讨论，当时，时，，不符合题意舍去；当时，在单调递增，可求出最大值为，解不等式，即可得出a的取值范围.
【详解】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可
知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；
当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递
增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：
69．（2023·高三课时练习）若在内恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对不等式变形为，对a进行分类讨论，得到，再画出两函数图象，数形结合求出a的取值范围
【详解】由在内恒成立，得在内恒成立，因为在上恒成立，当时，在上单调递减，所以，故舍去，所以可知才能满足．令，，作出两个函数的大致图象如图D-6-24所示．令，得，∴，∴，∴要使在内恒成立，则实数a的取值范围是．
故选：D．
70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出实数a的取值范围．
【详解】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，
即a＜（）min=，
∴1＜a＜；
当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（）max=4（舍去），
综上，a的取值范围是（1，）．
故答案为（1，）．
【点睛】不等式恒成立问题往往通过“参变分离”转化为函数的最值问题，属于中档题.
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
71．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
【答案】(1) ，是奇函数
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可；
（2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案.
【详解】（1）解：令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）解：设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
（二）已知函数奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案
【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，
又，且当时，，
所以，
故答案为：.
73．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______.
【答案】
【分析】根据题意推得，结合题意和，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以.
故答案为：
74．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
75．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
76．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和.
【详解】已知，
，
则，函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则
则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
则的最大值为，最小值为
所以，
故选：C.
（三）由函数的奇偶性求解析式
77．（2023·全国·高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
【答案】1
【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式，通过求导求出的单调性即可求出答案.
【详解】，，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以当，，，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以.
所以当时，的最小值为1.
故答案为：1.
78．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【分析】由已知求得时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案.
【详解】解：设，则，
又为奇函数，∴，
则，∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即切线方程是.
故答案为：.
（四）已知函数的奇偶性求参数
79．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____．
【答案】．
【解析】由奇函数的定义求解．
【详解】∵是奇函数，∴，
恒成立，∴，
时，的定义域均为，满足题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．
80．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】根据对数运算法则化简解析式，确定函数定义域，求解，根据奇函数得，即可求得的值.
【详解】解：函数的定义域满足，解得或，即定义域为，
所以，
因为是奇函数，所以，则，
则；
故答案为：.
82．（2023·内蒙古包头·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.
【详解】若是奇函数，可得，
则
，
可得，解得，所以.
故选：A.
83．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.
【详解】因为函数（a，且）是偶函数，
则函数对定义域内任意实数恒有成立，
即，整理得，
，显然不恒为0，因此恒成立，
而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，
此时，其定义域为且，
，即函数是偶函数，所以，.
故答案为：；
84．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）若函数是偶函数，则_______，____.
【答案】
【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性，即可得出.求出并化简可得，根据偶函数的性质，即可得出恒等式，即可得出.
【详解】由可得.
当，即时，该不等式解集为.
因为函数是偶函数，
则由偶函数的性质，可得定义域关于原点对称，所以，所以，
定义域为；
当，即时，该不等式解集为，不满足题意，舍去；
当，即时，该不等式解集为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，舍去.
综上所述，.
所以.
又，
由可知，，
所以有.
因为，所以，所以.
故答案为：；.
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
85．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.
【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,
故选：C
86．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，利用偶函数的性质以及可得出，利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，对任意的，，
所以，函数为偶函数，
当时，，故函数在上为增函数，
由可得，
所以，，则，所以，，解得.
故答案为：.
87．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由题意，求出的值，根据函数单调性的性质判断的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数，
所以，易知为R上的增函数，
所以不等式等价于，
所以，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
88．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，即 且 ，
解得取值范围为.
故答案为：
考点八 反函数
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则___________.
【答案】
【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解.
【详解】设，则点在函数的图象上，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
90．（2023·全国·高三对口高考）若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________．
【答案】1
【分析】由题意可知函数图像过的点，把点代入函数解析式，可求实数m的值.
【详解】函数的反函数的图像过点，所以函数图像过点，则，解得．
故答案为：1
91．（2023·全国·高三专题练习）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.
【答案】
【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间.
【详解】因为与互为反函数，
所以在定义域上为增函数，
又，在上递减，上递增，
综上，在上为减函数.
故答案为：.
考点九 对数函数的综合问题
92．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。
【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；
，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；
因为在上单调递减，所以D错误．
故选：AB.
93．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）函数，则（ ）
A．f(x)的定义域为R B．值域为
C．为偶函数 D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于函数，
由于恒成立，所以的定义域为，A选项正确.
，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，B选项错误.
由于，所以为偶函数，C选项正确.
对于函数，
任取，
，
由于，所以，
所以在区间上递增.
当时，令，则在区间上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D选项正确.
故选：ACD
94．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.
【答案】2
【分析】设数列公比为q，由题有，后由对数运算性质及等比数列通项公式可得答案.
【详解】设数列公比为q，则，则
.
故答案为：2
95．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为，即.
当时，，即；
当时，，
所以，
所以.
又，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
考点十 对数函数的实际应用
96．（2023·北京·高三专题练习）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
97．（2023·河南·校联考模拟预测）我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（ ）
A．100 B．115 C．230 D．345
【答案】B
【分析】根据指数与对数的联系计算即可.
【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．
故选：B
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（ ）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
【答案】D
【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】依题意，，则，
设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，
所以.
故选：D
99．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】B
【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），得
，
，
，
，
因为，
所以，故G取74，
故选：B．
考点10 对数与对数函数10种常见考法归类
考点一 对数的运算
考点二 换底公式的应用
考点三 对数型函数的定义域和值域
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
（三）对数型函数恒过定点问题
（四）对数函数图象应用
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
（二）比较对数式的大小
（三）解不等式
（四）由函数的单调性求参数
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
（二）根据最值求参数
（三）函数的最值与不等式的综合问题
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
（二）已知函数奇偶性求值
（三）由函数的奇偶性求解析式
（四）已知函数的奇偶性求参数
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
考点八 反函数
考点九 对数函数的综合问题
考点十 对数函数的实际应用
1、指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2、对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3、对数的性质和运算法则：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)对数换底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．
5、对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
7、利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
8、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
(2)对数函数的图象
图象
性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
注：对数函数常用技巧
(1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(2)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(3)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ）
9、反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
10、判断一个函数是对数函数的方法
11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
12、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
14、比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
15、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0
(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
16、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数0
17、对数型函数性质的综合应用
(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
18、对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
考点一 对数的运算
1．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．
【答案】/
【分析】根据指对数运算直接运算求解即可.
【详解】解：由题知，.
故答案为：
2．（2023·天津·统考二模）已知，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简，再根据对数运算法则计算的值.
【详解】，
.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）若，，用a，b表示____________
【答案】
【分析】先求出，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）__________
【答案】
【分析】根据对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）__________
【答案】1
【分析】根据对数的运算法则性质化简即可得解.
【详解】
故答案为：1
6．（2023·山东淄博·统考二模）设，满足，则__________.
【答案】/0.5
【分析】令，则，根据即可求解．
【详解】令，则，
所以，整理得，
解得(负值舍去)，所以.
故答案为：.
7．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】3
【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
8．（2023·天津·一模）若，，则___________.
【答案】
【分析】由，两边取以为底的对数，得，由，令，则，从而可得，则，从而得出答案.
【详解】由，两边取以 为底的对数，得，
由，令，则，
所以，即，
所以，设，则，
所以在上单调递增，
由以及，则 ，
由即，则
故答案为：
9．（2023·全国·模拟预测）已知正数x，y满足，则______.
【答案】0
【分析】直接两边同除，得，解出，整体代入即可得到答案.
【详解】因为，，所以，即，
得，则.
故答案为：0.
考点二 换底公式的应用
10．（2023·全国·高三专题练习）化简求值：______.
【答案】/0.75
【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.
【详解】
.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式.
【详解】，
又，则
故选：B
12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________．
【答案】
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.
【详解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案为：.
13．（2023·天津·校联考二模）若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
14．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
考点三 对数型函数的定义域和值域
15．（2023春·上海虹口·高三统考期中）函数的定义域为________.
【答案】
【分析】函数定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得，即
故答案为：
16．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.
【详解】函数有意义，则有，即
解得，所以函数的定义域是.
故选：D
17．（2023·北京·高三专题练习）函数的值域为________．
【答案】
【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.
【详解】因为当时，，
当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）设，则值域是_______
【答案】
【分析】根据换元法可先求出的表达式，然后借助二次函数，对数函数，复合函数的性质进行求解.
【详解】设，则，于是.
设，根据二次函数性质，时，关于单调递减；
根据对数函数性质，在定义域上递增.
于是由复合函数单调性的性质，在上单调递减，
而，于是值域是：.
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果.
【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为，则实数__________.
【答案】1
【分析】根据值域为可得，且， ，因此为的实数解，从而可求.
【详解】因为的值域为，故恒成立且等号可取.
若，则，
若，则，
故为的实数解，
故，整理得到：，
故即，解得.
当时，，
当时，，
对于任意给定的正数，当，
有，故，
而当时，，
综上，时，的值域为.
故答案为：1.
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
22．（2023·高三课时练习）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．
【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D．
23．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断出的奇偶性和上的单调性可选出答案.
【详解】的定义域为，
因为，所以是偶函数，
当时，单调递增，
由此可判断出选A
故选：A
24．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
25．（2023·四川·校联考模拟预测）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D.
【详解】函数定义域为，
则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；
又，排除选项AB；
故选：D
26．（2023·重庆·统考模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD，最后利用特值法排除选项B，进而得到正确选项A.
【详解】由，可得，则定义域为，
则，
，
则为偶函数，其图像关于y轴对称，排除选项CD；
又，则排除选项B，正确选项为A.
故选：A
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.
【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，
则函数为偶函数，故排除选项B，C；
因为，
当时，恒成立，所以恒成立，
且当时，，
所以当时，，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
28．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中的函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分和两种情况，利用函数的单调性及函数当时的函数值的范围，进行判断即可．
【详解】当时，函数在上单调递减；
函数在上单调递减，且当时，，故A正确，C错误；
当时，函数在上单调递增；
函数在上单调递减，且当时，，故B、D错误．
故选：A．
29．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.
【详解】，为定义域上的单调递增函数
，故不成立；
，为定义域上的单调递增函数，
，故C和D不成立.
故选：B.
30．（2023·全国·高三对口高考）已知a、b满足，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数与指数函数的图象和性质即可判断求解.
【详解】由得，，且，即，
进而得，或，．
当，时，两个函数都为增函数；
当，时，两个函数都为减函数，
故选：．
31．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案.
【详解】过原点，排除AC；
当时，单调递减，开口向下，排除D.
故选：B
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
32．（2023·高三课时练习）已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．
【详解】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．
故选：D．
33．（2023秋·河南周口·高三周口恒大中学校考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
（三）对数型函数恒过定点问题
35．【多选】（2023秋·云南怒江·高三校考期末）下列函数的图象过定点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.
【详解】根据题意，在每个选项中令，
选项A中，，故函数图象过点，A正确.
选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.
选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.
选项D中，，故函数图象过点，D正确.
故选：AD.
36．（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）函数且的图象恒过的定点是_____________.
【答案】
【分析】根据对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，
所以该函数的图象恒过的定点是，
故答案为：
37．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
【答案】1
【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案.
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
38．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.
【详解】由题意可知，
则，
当且仅当，时，
的最小值为，
故选:A．
39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为当时，，所以过定点，
由三角函数的定义可得，，，
所以，
故选：D
（四）对数函数图象应用
40．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B
41．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
42．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将看做整体，先求出对应的，再根据方程的解得个数确定对应的的取值范围即可得解.
【详解】令，得或，
画出的大致图象．
设，由图可知，
当或时，有且仅有1个实根；
当或时，有2个实根；
当时，有3个实根．
则恰有4个不同的零点等价于
或或或
解得或．
故答案为：
43．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.
【详解】由得．根据函数的图象及，
得，，所以．
令，根据对勾函数的图像与性质易得在上单调递增，
所以．故，
故选：C.
44．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴，
，∵，∴
∴，即，∴∴的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键.
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
45．（2023·上海杨浦·统考二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，再由指对幂函数的性质判断区间单调性，即可得答案.
【详解】由且，故为偶函数，在上递减，A符合；
由的定义域为，故为非奇非偶函数，B不符合；
由定义域为，又，故为偶函数，在上递增，C不符合；
由的定义域为，，故为偶函数，在上递增，D不符合.
故选：A
46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.
【详解】由得：，即的定义域为；
，
当时，；当时，；
的单调递增区间为.
故选：A.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是________．
【答案】
【分析】先由对数函数的性质求得其定义域，再由推得，从而利用复合函数的单调性与二次函数的性质即可得解.
【详解】由题意，令，解得或，故函数的定义域为，
，得，
令，则，
根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，
由二次函数的性质，的增区间为，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
（二）比较对数式的大小
48．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对互化，表示，再结合对数函数的单调性，和中间值比较大小，即可判断选项.
【详解】
，由，即，故
，可得，即
综上：.
故选：D.
49．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
50．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，用作商法比较的大小，由换底公式可得，从而得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
则；
，
因为，所以，
则有．
故选：C．
51．（2023·四川内江·统考三模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.
【详解】因为在上单调递增，于是，即，
令，则，所以在上单调递减，
所以，即，
取，则，所以，即，
所以.
故选：A
52．【多选】（2023·海南海口·校考模拟预测）已知x，y，z都为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】令，利用指对数互化得，，，进而有，应用基本不等式判断A、C，构造且，应用导数研究单调性并判断其符号判断D.
【详解】令，则，，，
所以，B错误；
（注意等号不成立），故，A正确；
（注意等号不成立），则，C正确，
由，令且，
则，
由，
因为，故，
综上，，即在上单调递减，
所以，故恒成立，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意构造且，利用导数研究其函数符号即可.
（三）解不等式
53．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.
【详解】解：由题意得，
，
故选：D.
54．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论求解不等式的解集即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，即，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】分、和，依次解不等式，再取并集即可.
【详解】当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，易知，解得；
当时，不等式为，解得；
综上，解集为：.
故答案为：.
56．（2023·河北·高三学业考试）已知函数，若，则实数的取值范围是__．
【答案】
【解析】首先判定函数的单调性，然后去掉中的“”，从而可求的范围．
【详解】在上单调递增，且，
因为
或，
解得或；
故实数的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性解不等式，属于常考题．
（四）由函数的单调性求参数
57．（2023·高三课时练习）已知在上是严格减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，结合对数函数和一次函数的性质，求得实数a的取值范围.
【详解】已知在上是严格减函数，
由，函数在上是严格减函数，所以函数在定义域内是严格增函数，则有，
又函数在上最小值，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
58．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数单调性及定义域可求解.
【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：
函数在上单调递增且在上恒成立，
则有，解得，则a的取值范围为.
故选：D
59．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，4] B．[－2，4）
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数型函数的性质、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】函数在区间上单调递减，要使得函数在区间上单调递
减，则在区间上单调递增，对称轴为，则
.
故选：A
60．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性求出的单调递增区间，然后由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
61．（2023·全国·高三专题练习）若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，解不等式组可求得答案
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
62．（2023·上海浦东新·统考二模）函数在区间上的最小值为_____________．
【答案】．
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】，
因为，所以，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
63．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．
【答案】/
【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.
【详解】显然，∴
，
令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，则，
当且仅当t＝－即x＝时，有.
故答案为：
64．（2023·广西·统考模拟预测）若函数的最小值为m，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，再根据函数的最小值为m，即可得解.
【详解】若，则，
因为，
所以，
因为函数的最小值为m，所以函数的最小值也为m，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明.
（二）根据最值求参数
65．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【分析】探讨分段函数的单调性，再根据给定条件求出m的取值范围即可判断作答.
【详解】当时，函数是单调递减的，，，
当时，是单调递增的，，，
因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，
所以实数m的可能取值为-1，0.
故选：AB
66．（2023·全国·高三专题练习）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是____________．
【答案】3
【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出和的值，最后根据的单调性检验即可得到.
【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；
当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.
综上所述，，，.
故答案为：3.
67．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最小值，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.
【详解】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，
由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；
当时，外层函数为增函数，对于内层函数，
函数有最小值，若使得函数有最小值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
（三）函数的最值与不等式的综合问题
68．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】先对进行分类讨论，当时，时，，不符合题意舍去；当时，在单调递增，可求出最大值为，解不等式，即可得出a的取值范围.
【详解】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可
知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；
当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递
增，即当时，，则，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：
69．（2023·高三课时练习）若在内恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对不等式变形为，对a进行分类讨论，得到，再画出两函数图象，数形结合求出a的取值范围
【详解】由在内恒成立，得在内恒成立，因为在上恒成立，当时，在上单调递减，所以，故舍去，所以可知才能满足．令，，作出两个函数的大致图象如图D-6-24所示．令，得，∴，∴，∴要使在内恒成立，则实数a的取值范围是．
故选：D．
70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出实数a的取值范围．
【详解】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，
即a＜（）min=，
∴1＜a＜；
当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（）max=4（舍去），
综上，a的取值范围是（1，）．
故答案为（1，）．
【点睛】不等式恒成立问题往往通过“参变分离”转化为函数的最值问题，属于中档题.
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
71．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
【答案】(1) ，是奇函数
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可；
（2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案.
【详解】（1）解：令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）解：设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
（二）已知函数奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案
【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，
又，且当时，，
所以，
故答案为：.
73．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______.
【答案】
【分析】根据题意推得，结合题意和，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以.
故答案为：
74．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
75．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
76．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和.
【详解】已知，
，
则，函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则
则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
则的最大值为，最小值为
所以，
故选：C.
（三）由函数的奇偶性求解析式
77．（2023·全国·高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
【答案】1
【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式，通过求导求出的单调性即可求出答案.
【详解】，，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以当，，，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以.
所以当时，的最小值为1.
故答案为：1.
78．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【分析】由已知求得时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案.
【详解】解：设，则，
又为奇函数，∴，
则，∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即切线方程是.
故答案为：.
（四）已知函数的奇偶性求参数
79．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____．
【答案】．
【解析】由奇函数的定义求解．
【详解】∵是奇函数，∴，
恒成立，∴，
时，的定义域均为，满足题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．
80．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】根据对数运算法则化简解析式，确定函数定义域，求解，根据奇函数得，即可求得的值.
【详解】解：函数的定义域满足，解得或，即定义域为，
所以，
因为是奇函数，所以，则，
则；
故答案为：.
82．（2023·内蒙古包头·二模）若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.
【详解】若是奇函数，可得，
则
，
可得，解得，所以.
故选：A.
83．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.
【详解】因为函数（a，且）是偶函数，
则函数对定义域内任意实数恒有成立，
即，整理得，
，显然不恒为0，因此恒成立，
而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，
此时，其定义域为且，
，即函数是偶函数，所以，.
故答案为：；
84．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）若函数是偶函数，则_______，____.
【答案】
【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性，即可得出.求出并化简可得，根据偶函数的性质，即可得出恒等式，即可得出.
【详解】由可得.
当，即时，该不等式解集为.
因为函数是偶函数，
则由偶函数的性质，可得定义域关于原点对称，所以，所以，
定义域为；
当，即时，该不等式解集为，不满足题意，舍去；
当，即时，该不等式解集为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，舍去.
综上所述，.
所以.
又，
由可知，，
所以有.
因为，所以，所以.
故答案为：；.
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
85．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.
【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,
故选：C
86．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，利用偶函数的性质以及可得出，利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，对任意的，，
所以，函数为偶函数，
当时，，故函数在上为增函数，
由可得，
所以，，则，所以，，解得.
故答案为：.
87．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由题意，求出的值，根据函数单调性的性质判断的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数，
所以，易知为R上的增函数，
所以不等式等价于，
所以，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
88．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，即 且 ，
解得取值范围为.
故答案为：
考点八 反函数
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则___________.
【答案】
【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解.
【详解】设，则点在函数的图象上，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
90．（2023·全国·高三对口高考）若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________．
【答案】1
【分析】由题意可知函数图像过的点，把点代入函数解析式，可求实数m的值.
【详解】函数的反函数的图像过点，所以函数图像过点，则，解得．
故答案为：1
91．（2023·全国·高三专题练习）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.
【答案】
【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间.
【详解】因为与互为反函数，
所以在定义域上为增函数，
又，在上递减，上递增，
综上，在上为减函数.
故答案为：.
考点九 对数函数的综合问题
92．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。
【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；
，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；
因为在上单调递减，所以D错误．
故选：AB.
93．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）函数，则（ ）
A．f(x)的定义域为R B．值域为
C．为偶函数 D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于函数，
由于恒成立，所以的定义域为，A选项正确.
，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，B选项错误.
由于，所以为偶函数，C选项正确.
对于函数，
任取，
，
由于，所以，
所以在区间上递增.
当时，令，则在区间上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D选项正确.
故选：ACD
94．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.
【答案】2
【分析】设数列公比为q，由题有，后由对数运算性质及等比数列通项公式可得答案.
【详解】设数列公比为q，则，则
.
故答案为：2
95．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为，即.
当时，，即；
当时，，
所以，
所以.
又，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
考点十 对数函数的实际应用
96．（2023·北京·高三专题练习）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
97．（2023·河南·校联考模拟预测）我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（ ）
A．100 B．115 C．230 D．345
【答案】B
【分析】根据指数与对数的联系计算即可.
【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．
故选：B
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（ ）
A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h
【答案】D
【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】依题意，，则，
设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，
所以.
故选：D
99．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【答案】B
【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），得
，
，
，
，
因为，
所以，故G取74，
故选：B．
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