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考点06 函数的概念及其表示7种常见考法归类（解析版）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)
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这是一份考点06 函数的概念及其表示7种常见考法归类（解析版）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)，共83页。试卷主要包含了函数的概念，同一函数的判断，求函数值，求函数的定义域，求函数的解析式，求函数的值域，分段函数及其应用等内容，欢迎下载使用。
考点06 函数的概念及其表示7种常见考法归类
考点一 函数的概念
考点二 同一函数的判断
考点三 求函数值
考点四 求函数的定义域
（一）求具体函数的定义域
（二）求抽象函数的定义域
（三）逆用函数的定义域
（四）实际问题中的定义域
考点五 求函数的解析式
（一）待定系数法
（二）配凑法
（三）换元法
（四）利用函数的奇偶性求解析式
（五）利用函数的周期性求解析式
（六）构造方程组法
（七）赋值法
考点六 求函数的值域
（一）求函数的值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)图象法
(4)分离常数法
(5)反解法
(6)换元法
(7)判别式法
(8)单调性法
(9)基本不等式法
(10)导数法
（二）已知函数值域求参数
（三）定义域和值域的综合
（四）函数值域新定义问题
考点七 分段函数及其应用
（一）求分段函数的函数值
（1）已知自变量的值求函数值
（2）已知函数值求自变量的值
（二）分段函数与不等式
（三）分段函数图象及其应用
（四）求分段函数的值域或最值
（五）已知分段函数的值域(最值)求参数
1、判断所给的对应关系是否为函数的方法
(1)先观察两个数集A，B是否非空；
(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同
2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
4、教材中的几个重要函数
定义
图象
绝对值函数
y＝|x|＝
“双勾”函数
y＝ax＋
(ab＞0)
取整函数
y＝[x]，
其中[x]表示不超
过x的最大整数
符号函数
y＝sgnx＝
5、求函数的定义域
函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.
（1）求具体函数的定义域
求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）
①分式：分母不能为零；
②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
③零次幂：中底数；
④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则
⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义
注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。
（2）求抽象函数的定义域
谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围
同一个下括号内的范围是一样的
①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
（3）逆用函数的定义域
①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决．
②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．
6、求函数的解析式的常用方法
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。
（2） 配凑法：
已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
（3） 换元法：
已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
（4） 利用函数的奇偶性求解析式：
一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
（5） 构造方程组法：
若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
①互为倒数：；
②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。
（6） 赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
7、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
8、求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
（3） 图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
9、分段函数的应用
（1）一般分段函数求值有以下四种：
①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；
②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；
③分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
④分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.
注意：
①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
（二） 求分段函数的值域或最值
已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.
考点一 函数的概念
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】③
【分析】根据函数的定义，即可判断.
【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．
故答案为：③
2．（2023·高三课时练习）下列曲线能作为函数图像的是______．（写出所有满足要求的图像序号）
【答案】①
【分析】根据函数的概念可得答案.
【详解】根据函数的概念，垂直于轴的直线与函数的图象最多一个公共点，
在②③中，直线与图象有两个公共点，不符合题意，而①符合题意，
所以满足的只有①.
故答案为：①
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.
【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
考点二 同一函数的判断
4．（2023·全国·高三专题练习）与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
6．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，
故选：.
7．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四组函数：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
其中相同的函数有________（请在横线内填序号）．
【答案】（3）（4）
【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.
【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为，
两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
（2）中，，，
两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；
（3）中，，，易知两函数是相同函数；
（4）中，，
易知两函数是相同函数.
故答案为：（3）（4）
8．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；
故选：C
考点三 求函数值
9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】整体代换，令求得后代入已知式可求值．
【详解】令，得，则
故选：B．
10．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】/2.5
【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则____________．
【答案】－2
【分析】通过计算的值可得答案.
【详解】，
．
故答案为：－2.
12．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】，
所以，
.
故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________
【答案】
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
14．（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】将和分别代入，联立即可求解.
【详解】代入可得①，
代入可得②
联立①②解得，
故选：B
15．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
考点四 求函数的定义域
（一）求具体函数的定义域
16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）设全集，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合，根据交集的定义求.
【详解】因为或，
，
.
故选：C.
17．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.
【详解】由已知得，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】根据函数解析式，得到，由指数函数的性质解不等式，即可得出结果.
【详解】要使函数有意义，必须，
即，由指数函数的单调性可得，解得.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，考查由指数函数单调性解不等式，属于基础题型.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案.
【详解】由，得，且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
20．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.
【详解】由函数解析式，知：，解得且.
故答案为：.
21．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数的定义域为______．
【答案】
【分析】直接根据题意列出不等式即可.
【详解】由题意得，则定义域为，
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数结构，构建不等式组即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故选：D
23．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别讨论分子和分母的定义域，即可得到函数的定义域.
【详解】由题意，
在中，
，
解得：或，
∴函数的定义域为，
故选：B.
（二）求抽象函数的定义域
24．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可.
【详解】由题可知：且
所以函数定义域为且
令且，所以且
所以，所以的定义域为
故选：C
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由的定义域为得，进而，求得即可.
【详解】∵的定义域为，∴，∴，
在中，解得，
所以函数的定义域为．
故选：B
27．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【分析】求出的范围，然后由都在此范围内得定义域．
【详解】∵的定义域为，
∴，∴解得
∴，故函数的定义域为．
故答案为：．
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为.
故选：C
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，
故对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为，
故选：C.
（三）逆用函数的定义域
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
33．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．
34．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化
为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，
所以不等式在上恒成立显然不成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由在上恒成立，分和结合二次函数性质求解即可..
【详解】由题意得：在上恒成立.
即时，恒成立，符合题意，
时，只需，
解得：，
综上：，
故选：C.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据题意可知，的解集为，由即可求出．
【详解】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．
【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，
∴ax＞0恒成立，
∴ax恒成立，
设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．
38．（2023·高三课时练习）若函数f(x) =的定义域为R，则的取值范围为_______.
【答案】
【详解】恒成立，恒成立，
39．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．
【答案】
【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
40．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________
【答案】3
【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.
【详解】由题意，函数有意义，
满足，即，
又由函数的定义域为，，
解得．
故答案为：3.
【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.
（四）实际问题中的定义域
41．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】由题设有，
由得，故选A.
【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
42．（2022·高一课时练习）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解.
【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为，
由得，故这个函数的定义城是.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的定义域，函数的定义域使表达式有意义或满足实际生活中的自变量的取值范围，属于基础题.
43．（2022·全国·高一专题练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
【答案】(1)()
(2)定义域为，值域为
(3)作图见解析
【分析】(1)根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
(2)由水深h的范围即可求出的值域.
(3)结合二次函数图象特征即可作出函数的图象.
【详解】（1）依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm，
于是得水的面积为(m2)，
所以，()．
（2）由(1)知，函数的定义域是，
显然在上A(h)随h增大而增大，，，
所以函数的定义域为，值域为．
（3）由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而，
于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示.
44．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．
(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
【答案】(1)，定义域为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得，，，，利用化简求解即可；
（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
，
所以
，
由题意，解得，所以的定义域为；
（2）因为的对称轴为，
若，则在单调递增，在上单调递减，
所以；
若，则在单调递增，所以；
综上，当时，，；
当时，，.
考点五 求函数的解析式
（一）待定系数法
45．（2023·全国·高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可.
【详解】设一次函数，
则，
即，所以解得，
所以，
故选:C.
46．（2023·全国·高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可．
【详解】由题意，设.
∵，
即，
可得：.
又∵
即
∴，
∴的解析式为．
故选：A．
47．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
【分析】设，求出的表达式，根据已知条件列方程，由对应系数相等列方程组即可求得和的值即可求解.
【详解】因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案为：或.
48．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
49．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.
【答案】
【分析】由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式.
【详解】根据题意可知，
又恒相等，
化简得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，一般地如果知晓函数的类型，则可以用待定系数法来解析式，本题属于基础题.
（二）配凑法
50．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.
【详解】因为，
所以．
故选：A
51．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案.
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
52．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
（三）换元法
53．（2023·全国·高三专题练习）已知求的解析式
【答案】
【分析】令，运用换元法进行求解即可.
【详解】令，则，代入，
得，
即
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
【答案】
【分析】令，则，且，将已知条件转化为关于的表达式，再将换成即可求解.
【详解】令，则，且，
所以，
所以，
故答案为：.
55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.
【详解】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
56．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.
【详解】因为，所以令，则，
所以，所以，
因为，所以，
故选：B.
57．（2023·全国·高三专题练习）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.
【详解】由，
令，则，
所以，对于，即.
故选：A
58．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
【答案】
【分析】根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.
【详解】根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数
R上存在常数a使得
，，解得
故答案为：.
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．
【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
（四）利用函数的奇偶性求解析式
60．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，
又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；
由得：，；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC.
61．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解.
【详解】由可得，
又分别为奇，偶函数，
所以，
由解得，
故选：C
（五）利用函数的周期性求解析式
62．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.
【答案】
【分析】根据任意实数都满足,由函数的性质可得和,即函数的周期,当则,代入,即可求得上的表达式, 当则,将代入,即可求得上的表达式.
【详解】 即可改写为:
设 得:
可得: 则函数的周期,即可改写为:
设得:
由于时，，
任取则，
所以.
任取，则，
而 (可将中变为即可得到此式)
所以函数解析式为.
故答案为.
【点睛】本题考查周期性,先利用周期性将自变量变换到较小的数,再根据题目函数性质,将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解.
63．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
【答案】，.
【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.
【详解】当，即，所以，
又为偶函数，所以，所以，
又是以为周期的周期函数，
于是当，即时，有，
所以，，
，.
64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
（六）构造方程组法
65．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，解方程组求即可.
【详解】由可得，
所以由解得，
故选：A
66．（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将换成，建立方程组，即可得出的解析式.
【详解】把①中的换成，得②
由①②得.
故选：D
【点睛】本题主要考查求函数的解析式，属于中档题.
67．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
68．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
【答案】f(x)=2x
【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出．
【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
69．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值.
【详解】由①，得②，
①得③，
②-③得，
因为，所以．
当时，；
当时，；
当时，（当且仅当时，等号成立）．
综上所述，的最大值为.
故选：B
70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【分析】由题可知，在函数满足的条件中，用代替上式中的，采用解方程的可得函数的解析式，而二次函数的解析式用待定系数法可解.
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
（七）赋值法
71．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．
【答案】
【分析】方法一：赋值,得到,再赋值,得到解析式；
方法二：赋值,得到的解析式,再令,即可得到解析式
【详解】方法一：对任意实数,都成立,
令,得,
再令,
得,
方法二：在已知式子中,令,
得,
,
,
令,得
【点睛】本题考查赋值法求函数解析式,如何赋值要根据题目特征来确定,由赋值法求出解析式后,应注意函数的定义域
72．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
【答案】
【分析】由题意，把等式中的替换成即可求出．
【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，
令，得
，
即，
，
．
故答案为
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是解决本题的关键．
73．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数对一切实数都有成立，且.
（1）求的值，及的解析式；
（2）当时，不等式 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）通过对抽象函数赋值，令进行求解，即得；令可消去，再结合的值，即求得解析式；
（2）先讨论时不等式恒成立，时，再通过分离参数法求得的取值范围即可.
【详解】解：（1）令，可得，又由，解得；令，得，又因，解得；
（2）当时，不等式 恒成立，即，
若时不等式即，显然成立；
若时，，故恒成立，只需，
设，设
则是对勾函数，在递减，在递增，故时，即时，故，
综上， 的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1.抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；
2.二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.
考点六 求函数的值域
（一）求函数的值域
（1）观察法
74．（2023秋·高三课时练习）函数，的值域为________.
【答案】
【分析】依次求出各自变量对应函数值，即得值域.
【详解】因为，
，
，
所以f(x)的值域为．
故答案为：.
75．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合中元素范围，再根据交集的定义求解即可.
【详解】
,
故选：C.
76．（2023·高三单元测试）若集合，，则______．
【答案】
【分析】根据函数的定义域、值域、并集等知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以
故答案为：
77．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
（2）配方法
78．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
79．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范围，再利用二次函数的单调性与对称轴求出给定区间的函数值域.
【详解】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
80．（2023秋·河南平顶山·高三校联考期中）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解
【详解】，，
故，故函数值域为.
故选：B
81．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【分析】根据题意可得，可求出结果.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：.
82．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：；
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解.
【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为；
（2） 当时，此时显然；
当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．
因为当时，．
即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．
综上，．
83．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________
【答案】
【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
84．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域．
【详解】由有意义可得，所以，
的定义域为，
，
设，则，，则.
故答案为：．
（3）图象法
85．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____
【答案】
【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果.
【详解】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
86．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．
【答案】
【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案.
【详解】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.
由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
87．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.
【答案】
【分析】根据两点间距离公式将函数转化为两距离和，再根据几何意义求值域.
【详解】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
故答案为：
（4）分离常数法
88．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.
【详解】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
90．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
91．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________
【答案】
【解析】化简函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，所以，则，可得，
故函数的值域是.
【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
（5）反解法
92．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域.
【详解】，
故，即，解得：或，
故值域为
故答案为：
93．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决.
【详解】解法一：
因为，所以
∴或，∴或
故的值域为
解法二：由，得，易知，
所以，则，解得或
故的值域为．
故选：B．
（6）换元法
94．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）函数的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
【详解】令，则，
可得：，
∵函数的对称轴为，
∴当时，函数取到最大值，
即函数的最大值为，故函数的值域为.
故答案为：.
95．（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________
【答案】
【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.
【详解】设
则，
，
故函数的值域为.
故答案为：
96．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，设，求出的值域，再求出的值域即可得解.
【详解】由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.
故选：C
97．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.
【答案】
【分析】首先利用换元，将函数转化为，，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】设，
即，函数在区间单调递增，
所以.
故答案为：
（7）判别式法
98．（2023秋·江苏南通·高三启东中学校考开学考试）将函数的解析式变形为yx2－(y＋2)x＋y＝0，试求出函数y的最大值、最小值．
【答案】最大值为2，最小值为－
【分析】对y进行讨论，当y≠0时，利用判别式Δ≥0和y≠0，求出y的最值.
【详解】当y＝0时，x＝0；
当y≠0时，关于x的一元二次方程yx2－(y＋2)x＋y＝0，
由于x是实数，所以其判别式Δ≥0一定成立．由y≠0以及Δ＝(y＋2)2－4y2≥0，解得－≤y≤2且y≠0.
综上所述：函数y的最大值、最小值分别是2和－.
【点睛】本题考查函数最值的知识点，涉及到判别式法求最值，属于基础题型.
99．（2023·江苏·高三专题练习）求函数y＝的值域．
【答案】
【分析】将函数化为二次函数的形式，根据判别式求出函数的值域．
【详解】(判别式法)
由，
得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0．
因为当y＝1时，以上方程不成立，
所以y≠1．
又x∈R，
所以Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
解得．
故函数的值域为．
（8）单调性法
100．（2022秋·高三单元测试）当时，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
故选：C．
101．（2023秋·四川内江·高三统考期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是____________.
【答案】
【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可
【详解】因为函数,设,则
因为定义域为,
当时, .当时,
所以,又因为单调递增,
即得,函数的值域为
故答案为:
102．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【答案】/
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
103．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数和函数，对任意，总存在使成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】恒成立等价于的值域包含的值域.
【详解】因为，所以．
因为在上单调递增，所以．
由题意得，所以，故实数a的取值范围是．
故答案为：.
（9）基本不等式法
104．【多选】（2022秋·四川广安·高三统考期末）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A项，方法1：举反例，方法2：运用单调性性质分析；对于B项，换元法后使用基本不等式分析；对于C项，运用指数函数的值域分析；对于D项，运用二次函数的单调性分析其值域.
【详解】对于选项A，方法1：当时，，所以2不是的最小值，故A项错误；
方法2：因为在，上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；
对于选项B，因为定义域为R，令，则，所以，
又因为，当且仅当时取等号，故的最小值为2，所以值域为，故B项正确；
对于选项C，因为， 所以，所以值域为，故C项错误；
对于选项D，因为对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以值域为，故D项正确.
故选：BD.
105．（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______；当时，值域为______.
【答案】
【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可.
【详解】由题知，函数，，
当时，，
此时，
当且仅当，即时取等号，
当时，，此时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，值域为；
当时，
因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以当时，.
故答案为：；.
106．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.
【答案】
【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
因为，所以，则有，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为，所以，则函数的值域为，
故答案为：.
107．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值.
(1)的最大值.
(2)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）面对分式函数，采用分离常数项法，再结合基本不等式，可得答案；
（2）面对根号，利用整体还原的思想，再结合基本不等式，可得答案；.
【详解】（1）
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（2）设，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故的最大值为.
（10）导数法
108．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分与，利用换元法，导函数，求出的值域，从而得到答案.
【详解】当时，；当时，设，则，
从而．
令，，则，
令得：或，令得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以的值域为，
所以的值域为．
综上，的值域为．
故选：C
109．（2022·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原式整理化简为，可构造函数，使用函数的单调性求解.
【详解】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
（二）已知函数值域求参数
110．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．
【答案】
【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案.
【详解】，
故，解得．
故答案为：
111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
112．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
113．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
【分析】根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．
【详解】设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
114．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：
【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域.
（三）定义域和值域的综合
115．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
116．【多选】（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）下列函数中，与的定义域和值域都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】依次判断各个选项中的函数的定义域和值域与已知函数是否相同即可.
【详解】由得：，则的定义域为，值域为；
对于A，的定义域为，值域为，A正确；
对于B，的定义域为，值域为，B正确；
对于C，的定义域为，值域为，C错误；
对于D，的定义域为，值域为，D错误.
故选：AB.
117．（2023春·北京海淀·高三校考开学考试）设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称轴和定义域求出值域即可得解.
【详解】
所以的对称轴为：，
所以在单调递增，
，
，
的值域为，
则函数的值域中含有整数的个数为18.
故选：B.
118．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考期中）函数的定义域为，则函数的值域为______．
【答案】
【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.
【详解】由题意可知，要有意义，则需，即，
即函数定义域为，
又，对称轴方程为，
所以当时，，当时，，
所以函数值域为，
故答案为：
119．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
【答案】
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
（四）函数值域新定义问题
120．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________.
【答案】，（或或等，答案不唯一）
【分析】构造出，分别计算与的定义域和值域，使得其满足定义即可.
【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为，
，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为，
所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”.
故答案为：（答案不唯一）.
121．（2023秋·广西钦州·高三统考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.
【详解】，
所以，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以==,
又,,
所以的值域为.
故选：B.
122．【多选】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）若函数的定义域与值域的交集为，则称为“交汇函数”，下列函数是交汇函数的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出每个选项中函数的值域和定义域，再求值域和定义域的交集来判断即可.
【详解】因为，，
所以的值域为，的定义域与值域的交集为，A正确.
的定义域为，值域为，定义域与值域的交集为，B正确.
的定义域为，因为，所以，
即值域为
所以的定义域与值域的交集为，C错误.
因为方程无解，故的定义域为，
当时，，
当时，，因为，所以，
所以的值域为，的定义域与值域的交集为，D正确.
故选：ABD.
考点七 分段函数及其应用
（一）求分段函数的函数值
（1）已知自变量的值求函数值
123．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则______.
【答案】/.
【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解.
【详解】
，
故答案为：.
124．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.
【详解】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
125．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.
【答案】/
【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，，
由，则.
故答案为：.
（2）已知函数值求自变量的值
126．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
127．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义求值.
【详解】，．
故选：D．
128．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,若，则_____，函数的值域为____．
【答案】 2
【分析】根据可解得的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可.
【详解】由得，即，即函数,
当时，；当时，．故函数的值域为．
故答案为：2；.
129．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】由题意知，
，
又，所以，
所以，
解得.
故选：C
130．（2023·青海西宁·统考二模）已知，若，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
【答案】B
【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.
【详解】由题意，，，即.
当，即时，，解得，满足题意；
当，即时，，解得，满足题意.
所以或.
故选：B.
131．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则______；若，则______.
【答案】 16
【分析】根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知， ，故，则，再解方程得出的值.
【详解】由该分段函数的解析式可得：
则；
由函数解析式可知，当时，，
则由知，
且，
所以，
则，解得.
故答案为：；.
132．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）设，若，则______.
【答案】/
【分析】根据题意，有函数的解析式分析函数在区间和，上的单调性，进而可得，结合函数的解析式可得，变形可得的值，将的值代入，由解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，，
则区间上，，是增函数，在区间，上，，也是增函数，
若，必有或，
当时，，不能成立，
则必有，则有，
变形可得：，解可得，
则（e），
故答案为：．
133．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解.
【详解】根据题意，当时，，不符合题意；
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:B．
（二）分段函数与不等式
134．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示，
满足可得或.
解得.
故答案为：.
135．（2023·陕西·统考二模）已知函数，则的解集为________．
【答案】
【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式，即得答案.
【详解】因为当时，，当时，，
所以等价于，此时，即，解得，
所以的解集为,
故答案为：
136．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，
由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
故选：D.
137．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】对分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当，即，解得；
当，即，解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：
138．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义和指数的运算性质即可得到结果
【详解】，
所以即
故答案为：
139．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】讨论与0、1的大小关系，写出的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.
【详解】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
故选：D.
（三）分段函数图象及其应用
140．（2023·河北·高三学业考试）函数的图象如图所示，则______ .
【答案】1
【解析】因为函数过点，分别求出直线方程与对数函数方程，从而求得，相乘即可.
【详解】因为函数过点，则直线方程为即，
所以，
因为函数过点，所以，解得，所以.
故答案为：1
【点睛】本题考查分段函数图像与解析式的求法，属于基础题.
141．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.
【详解】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
142．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
（四）求分段函数的值域或最值
143．（2023·高三课时练习）若函数,则函数的值域为______．
【答案】
【分析】分别求出分段函数时和时的函数值的取值范围，取并集可得答案.
【详解】当时， ，
当时，，
故函数的值域为，
故答案为：
144．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值为，
当时，函数在上单调递增，
所以，
综上，当时，函数有最小值为1.
故选：C
145．（2022秋·重庆·高三校联考期末）已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单调性求值域;
当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产生,列出满足的条件;
当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.
【详解】时，，当时, ，当时，，故值域为；
若，由上知此时只有一个零点；
当且时，当时有两个零点，，
其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，
而时，此时需要有一个零点，只需，
∴，
当时，当时，对称轴为，在上为增函数，
∴，
由，知在上无零点，
而时，在上单调，∴不可能有两个零点.
综上实数的取值范围是.
故答案为: ;
（五）已知分段函数的值域（最值）求参数
146．（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；
当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.
i.若，则二次函数的最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
综上所述：实数t的取值范围是.
故答案为：
147．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.
【详解】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
148．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
149．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
150．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.
【详解】由题可知解得．
故选：B.
151．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知函数
①若的最大值为，则a的一个取值为_________．
②记函数的最大值为，则的值域为_________．
【答案】
【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案.
【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立；
，两函数如下图所示：
由图可知，当时，的最大值为，
当时，的最大值为在区间的最大值，即为，
当时，的最大值为；
①若满足，当时，，不符题意；
当时，，解得或（舍去）
当时，，不符题意；
②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为.
故答案为：①；②
152．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得．
【详解】易知在上单调递增，所以当时，；
在上单调递增，所以当时，.
所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.
故选：C.
考点06 函数的概念及其表示7种常见考法归类
考点一 函数的概念
考点二 同一函数的判断
考点三 求函数值
考点四 求函数的定义域
（一）求具体函数的定义域
（二）求抽象函数的定义域
（三）逆用函数的定义域
（四）实际问题中的定义域
考点五 求函数的解析式
（一）待定系数法
（二）配凑法
（三）换元法
（四）利用函数的奇偶性求解析式
（五）利用函数的周期性求解析式
（六）构造方程组法
（七）赋值法
考点六 求函数的值域
（一）求函数的值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)图象法
(4)分离常数法
(5)反解法
(6)换元法
(7)判别式法
(8)单调性法
(9)基本不等式法
(10)导数法
（二）已知函数值域求参数
（三）定义域和值域的综合
（四）函数值域新定义问题
考点七 分段函数及其应用
（一）求分段函数的函数值
（1）已知自变量的值求函数值
（2）已知函数值求自变量的值
（二）分段函数与不等式
（三）分段函数图象及其应用
（四）求分段函数的值域或最值
（五）已知分段函数的值域(最值)求参数
1、判断所给的对应关系是否为函数的方法
(1)先观察两个数集A，B是否非空；
(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同
2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
4、教材中的几个重要函数
定义
图象
绝对值函数
y＝|x|＝
“双勾”函数
y＝ax＋
(ab＞0)
取整函数
y＝[x]，
其中[x]表示不超
过x的最大整数
符号函数
y＝sgnx＝
5、求函数的定义域
函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.
（1）求具体函数的定义域
求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）
①分式：分母不能为零；
②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
③零次幂：中底数；
④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则
⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义
注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。
（2）求抽象函数的定义域
谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围
同一个下括号内的范围是一样的
①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a
（3）逆用函数的定义域
①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决．
②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，； 不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．
6、求函数的解析式的常用方法
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）
若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。
（2） 配凑法：
已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
（3） 换元法：
已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
（4） 利用函数的奇偶性求解析式：
一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
（5） 构造方程组法：
若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
①互为倒数：；
②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。
（6） 赋值法：
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
7、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
8、求函数的值域
（1）观察法(有界函数）——“拼图”
第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
（2）配方法
以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题
第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）
(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）
（3） 图象法
通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。
（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：
主要的分式函数有：等
解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。
第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
（5）换元法
第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
如：函数，可以令，得到，函数
可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（6）判别式法
第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．
（7）单调性法
第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
（8）基本不等式法
第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”
（9）导数法
先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
9、分段函数的应用
（1）一般分段函数求值有以下四种：
①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；
②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；
③分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
④分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.
注意：
①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
（二） 求分段函数的值域或最值
已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.
考点一 函数的概念
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【答案】③
【分析】根据函数的定义，即可判断.
【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数，
对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．
故答案为：③
2．（2023·高三课时练习）下列曲线能作为函数图像的是______．（写出所有满足要求的图像序号）
【答案】①
【分析】根据函数的概念可得答案.
【详解】根据函数的概念，垂直于轴的直线与函数的图象最多一个公共点，
在②③中，直线与图象有两个公共点，不符合题意，而①符合题意，
所以满足的只有①.
故答案为：①
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.
【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
考点二 同一函数的判断
4．（2023·全国·高三专题练习）与函数有相同图象的一个函数是（ ）
A． B．
C．，其中 D．，其中
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.
【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；
选项B：，图象上无原点.判断错误；
选项C：，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：，与函数有相同图象.判断正确.
故选：D
5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
6．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.
【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；
对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，
故选：.
7．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四组函数：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
其中相同的函数有________（请在横线内填序号）．
【答案】（3）（4）
【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.
【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为，
两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
（2）中，，，
两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；
（3）中，，，易知两函数是相同函数；
（4）中，，
易知两函数是相同函数.
故答案为：（3）（4）
8．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.
【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；
故选：C
考点三 求函数值
9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】整体代换，令求得后代入已知式可求值．
【详解】令，得，则
故选：B．
10．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．
【答案】/2.5
【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.
【详解】由题意得，，
令，由，得，
∴．
故答案为：.
11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则____________．
【答案】－2
【分析】通过计算的值可得答案.
【详解】，
．
故答案为：－2.
12．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】，
所以，
.
故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________
【答案】
【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以
故答案为：
14．（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】将和分别代入，联立即可求解.
【详解】代入可得①，
代入可得②
联立①②解得，
故选：B
15．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
考点四 求函数的定义域
（一）求具体函数的定义域
16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）设全集，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合，根据交集的定义求.
【详解】因为或，
，
.
故选：C.
17．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.
【答案】
【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.
【详解】由已知得，解得且，
即函数的定义域为.
故答案为：.
18．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】根据函数解析式，得到，由指数函数的性质解不等式，即可得出结果.
【详解】要使函数有意义，必须，
即，由指数函数的单调性可得，解得.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，考查由指数函数单调性解不等式，属于基础题型.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案.
【详解】由，得，且，
所以函数的定义域是.
故选：A.
20．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________．
【答案】
【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.
【详解】由函数解析式，知：，解得且.
故答案为：.
21．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数的定义域为______．
【答案】
【分析】直接根据题意列出不等式即可.
【详解】由题意得，则定义域为，
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数结构，构建不等式组即可得到结果.
【详解】要使函数有意义，则
，解得，
∴函数的定义域是，
故选：D
23．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别讨论分子和分母的定义域，即可得到函数的定义域.
【详解】由题意，
在中，
，
解得：或，
∴函数的定义域为，
故选：B.
（二）求抽象函数的定义域
24．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可.
【详解】由题可知：且
所以函数定义域为且
令且，所以且
所以，所以的定义域为
故选：C
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
26．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由的定义域为得，进而，求得即可.
【详解】∵的定义域为，∴，∴，
在中，解得，
所以函数的定义域为．
故选：B
27．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为______．
【答案】
【分析】求出的范围，然后由都在此范围内得定义域．
【详解】∵的定义域为，
∴，∴解得
∴，故函数的定义域为．
故答案为：．
28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.
【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足
，解得.
故选：B.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为.
故选：C
31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，，
故对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为，
故选：C.
（三）逆用函数的定义域
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
33．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．
【详解】因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．
34．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化
为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.
【详解】由题意可知，函数的定义域为，
所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，
所以不等式在上恒成立显然不成立，
当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由在上恒成立，分和结合二次函数性质求解即可..
【详解】由题意得：在上恒成立.
即时，恒成立，符合题意，
时，只需，
解得：，
综上：，
故选：C.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】根据题意可知，的解集为，由即可求出．
【详解】依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．
【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，
∴ax＞0恒成立，
∴ax恒成立，
设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．
38．（2023·高三课时练习）若函数f(x) =的定义域为R，则的取值范围为_______.
【答案】
【详解】恒成立，恒成立，
39．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．
【答案】
【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.
【详解】的定义域满足：，解集为，
故且，解得.
故答案为：
40．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________
【答案】3
【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.
【详解】由题意，函数有意义，
满足，即，
又由函数的定义域为，，
解得．
故答案为：3.
【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.
（四）实际问题中的定义域
41．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.
【详解】由题设有，
由得，故选A.
【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.
42．（2022·高一课时练习）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解.
【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为，
由得，故这个函数的定义城是.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的定义域，函数的定义域使表达式有意义或满足实际生活中的自变量的取值范围，属于基础题.
43．（2022·全国·高一专题练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
【答案】(1)()
(2)定义域为，值域为
(3)作图见解析
【分析】(1)根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
(2)由水深h的范围即可求出的值域.
(3)结合二次函数图象特征即可作出函数的图象.
【详解】（1）依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm，
于是得水的面积为(m2)，
所以，()．
（2）由(1)知，函数的定义域是，
显然在上A(h)随h增大而增大，，，
所以函数的定义域为，值域为．
（3）由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而，
于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示.
44．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．
(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；
(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．
【答案】(1)，定义域为；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得，，，，利用化简求解即可；
（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
，
所以
，
由题意，解得，所以的定义域为；
（2）因为的对称轴为，
若，则在单调递增，在上单调递减，
所以；
若，则在单调递增，所以；
综上，当时，，；
当时，，.
考点五 求函数的解析式
（一）待定系数法
45．（2023·全国·高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可.
【详解】设一次函数，
则，
即，所以解得，
所以，
故选:C.
46．（2023·全国·高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可．
【详解】由题意，设.
∵，
即，
可得：.
又∵
即
∴，
∴的解析式为．
故选：A．
47．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
【分析】设，求出的表达式，根据已知条件列方程，由对应系数相等列方程组即可求得和的值即可求解.
【详解】因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案为：或.
48．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
49．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.
【答案】
【分析】由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式.
【详解】根据题意可知，
又恒相等，
化简得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，一般地如果知晓函数的类型，则可以用待定系数法来解析式，本题属于基础题.
（二）配凑法
50．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.
【详解】因为，
所以．
故选：A
51．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案.
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
52．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
（三）换元法
53．（2023·全国·高三专题练习）已知求的解析式
【答案】
【分析】令，运用换元法进行求解即可.
【详解】令，则，代入，
得，
即
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______
【答案】
【分析】令，则，且，将已知条件转化为关于的表达式，再将换成即可求解.
【详解】令，则，且，
所以，
所以，
故答案为：.
55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.
【详解】令，则，所以，则，故C错误；
，故A正确；，故B错误；
（且），故D正确．
故选：AD．
56．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.
【详解】因为，所以令，则，
所以，所以，
因为，所以，
故选：B.
57．（2023·全国·高三专题练习）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.
【详解】由，
令，则，
所以，对于，即.
故选：A
58．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.
【答案】
【分析】根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.
【详解】根据题意，对，有
又是定义在R上的单调增函数
R上存在常数a使得
，，解得
故答案为：.
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．
【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，
则为常数，设，则，
则有，解可得，则，故；
故选：A.
（四）利用函数的奇偶性求解析式
60．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，
又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；
由得：，；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于CD，，C正确，D错误.
故选：AC.
61．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解.
【详解】由可得，
又分别为奇，偶函数，
所以，
由解得，
故选：C
（五）利用函数的周期性求解析式
62．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.
【答案】
【分析】根据任意实数都满足,由函数的性质可得和,即函数的周期,当则,代入,即可求得上的表达式, 当则,将代入,即可求得上的表达式.
【详解】 即可改写为:
设 得:
可得: 则函数的周期,即可改写为:
设得:
由于时，，
任取则，
所以.
任取，则，
而 (可将中变为即可得到此式)
所以函数解析式为.
故答案为.
【点睛】本题考查周期性,先利用周期性将自变量变换到较小的数,再根据题目函数性质,将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解.
63．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
【答案】，.
【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.
【详解】当，即，所以，
又为偶函数，所以，所以，
又是以为周期的周期函数，
于是当，即时，有，
所以，，
，.
64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
（六）构造方程组法
65．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得，解方程组求即可.
【详解】由可得，
所以由解得，
故选：A
66．（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】将换成，建立方程组，即可得出的解析式.
【详解】把①中的换成，得②
由①②得.
故选：D
【点睛】本题主要考查求函数的解析式，属于中档题.
67．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
68．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
【答案】f(x)=2x
【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出．
【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
69．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值.
【详解】由①，得②，
①得③，
②-③得，
因为，所以．
当时，；
当时，；
当时，（当且仅当时，等号成立）．
综上所述，的最大值为.
故选：B
70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
【答案】
【分析】由题可知，在函数满足的条件中，用代替上式中的，采用解方程的可得函数的解析式，而二次函数的解析式用待定系数法可解.
【详解】解：（1）①，用代替上式中的，得②，联立①②，可得；设，所以，即，
所以，解得，，又，得，所以.
故答案为：，
（七）赋值法
71．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．
【答案】
【分析】方法一：赋值,得到,再赋值,得到解析式；
方法二：赋值,得到的解析式,再令,即可得到解析式
【详解】方法一：对任意实数,都成立,
令,得,
再令,
得,
方法二：在已知式子中,令,
得,
,
,
令,得
【点睛】本题考查赋值法求函数解析式,如何赋值要根据题目特征来确定,由赋值法求出解析式后,应注意函数的定义域
72．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．
【答案】
【分析】由题意，把等式中的替换成即可求出．
【详解】是定义在上的函数，且对任意，恒成立，
令，得
，
即，
，
．
故答案为
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属于基础题，准确理解恒等式的含义是解决本题的关键．
73．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数对一切实数都有成立，且.
（1）求的值，及的解析式；
（2）当时，不等式 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）通过对抽象函数赋值，令进行求解，即得；令可消去，再结合的值，即求得解析式；
（2）先讨论时不等式恒成立，时，再通过分离参数法求得的取值范围即可.
【详解】解：（1）令，可得，又由，解得；令，得，又因，解得；
（2）当时，不等式 恒成立，即，
若时不等式即，显然成立；
若时，，故恒成立，只需，
设，设
则是对勾函数，在递减，在递增，故时，即时，故，
综上， 的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1.抽象函数通常利用赋值法求函数值或者求解析式；
2.二次函数含参恒成立的问题，一般是通过分离参数进行求解，当然也可以根据判别式法进行求解，视具体情况而定.
考点六 求函数的值域
（一）求函数的值域
（1）观察法
74．（2023秋·高三课时练习）函数，的值域为________.
【答案】
【分析】依次求出各自变量对应函数值，即得值域.
【详解】因为，
，
，
所以f(x)的值域为．
故答案为：.
75．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合中元素范围，再根据交集的定义求解即可.
【详解】
,
故选：C.
76．（2023·高三单元测试）若集合，，则______．
【答案】
【分析】根据函数的定义域、值域、并集等知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以
故答案为：
77．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.
【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.
故选：B
（2）配方法
78．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性直接求解即可.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
的值域为.
故答案为：.
79．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________
【答案】
【分析】由，可得的取值范围，再利用二次函数的单调性与对称轴求出给定区间的函数值域.
【详解】因为，所以，
又，
所以当时，单调递减，，
所以函数的值域为.
故答案为：
80．（2023秋·河南平顶山·高三校联考期中）已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数整理成，然后利用二次函数的性质即可求解
【详解】，，
故，故函数值域为.
故选：B
81．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【分析】根据题意可得，可求出结果.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：.
82．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)证明：；
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解.
【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为；
（2） 当时，此时显然；
当时，必有两点位于函数图像上，且两点关于直线对称．又因为，所以．
因为当时，．
即对恒成立，所以不存在两点关于直线对称．
综上，．
83．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________
【答案】
【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.
【详解】由已知得函数的定义域为，
，
，
又
，
，又，
故答案为：.
84．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.
【答案】
【分析】先求函数的定义域，由于，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域．
【详解】由有意义可得，所以，
的定义域为，
，
设，则，，则.
故答案为：．
（3）图象法
85．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____
【答案】
【分析】将问题转化为圆上的点与点连线的斜率的取值范围的求解，利用直线与圆的位置关系可求得过的圆的切线的斜率，结合图象可确定结果.
【详解】表示点与点连线的斜率，
的轨迹为圆，
表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
故答案为：.
86．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．
【答案】
【分析】化简可得.令，根据几何意义求出的范围，即可得出答案.
【详解】，
设，，则.
由于，则，且.
设，
由该式的几何意义得下面图形，，其中直线为圆的切线，由图知.
由图知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域为．
故答案为：．
87．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.
【答案】
【分析】根据两点间距离公式将函数转化为两距离和，再根据几何意义求值域.
【详解】
，
其中，则，
又，因此，值域为.
故答案为：
（4）分离常数法
88．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________
【答案】
【分析】采用分离常数的方式可直接求得结果.
【详解】，
，，，
即的值域为.
故答案为：.
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可．
【详解】由，
又，则，则，所以，
故函数的值域为．
故答案为：．
90．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；
方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；
【详解】方法一：函数，
因为，所以，
所以.所以.
所以，即.
当时，；
当时，.
故的值域为.
故选：B.
方法二：由，得.
因为，所以，解得.
当时，；
当时，.
所以的值域为.
故选：B.
91．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________
【答案】
【解析】化简函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，所以，则，可得，
故函数的值域是.
【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
（5）反解法
92．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．
【答案】
【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域.
【详解】，
故，即，解得：或，
故值域为
故答案为：
93．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决.
【详解】解法一：
因为，所以
∴或，∴或
故的值域为
解法二：由，得，易知，
所以，则，解得或
故的值域为．
故选：B．
（6）换元法
94．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）函数的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
【详解】令，则，
可得：，
∵函数的对称轴为，
∴当时，函数取到最大值，
即函数的最大值为，故函数的值域为.
故答案为：.
95．（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________
【答案】
【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.
【详解】设
则，
，
故函数的值域为.
故答案为：
96．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，设，求出的值域，再求出的值域即可得解.
【详解】由得，得，
设，则，
所以，即函数的值域是.
故选：C
97．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.
【答案】
【分析】首先利用换元，将函数转化为，，利用函数的单调性，即可求解.
【详解】设，
即，函数在区间单调递增，
所以.
故答案为：
（7）判别式法
98．（2023秋·江苏南通·高三启东中学校考开学考试）将函数的解析式变形为yx2－(y＋2)x＋y＝0，试求出函数y的最大值、最小值．
【答案】最大值为2，最小值为－
【分析】对y进行讨论，当y≠0时，利用判别式Δ≥0和y≠0，求出y的最值.
【详解】当y＝0时，x＝0；
当y≠0时，关于x的一元二次方程yx2－(y＋2)x＋y＝0，
由于x是实数，所以其判别式Δ≥0一定成立．由y≠0以及Δ＝(y＋2)2－4y2≥0，解得－≤y≤2且y≠0.
综上所述：函数y的最大值、最小值分别是2和－.
【点睛】本题考查函数最值的知识点，涉及到判别式法求最值，属于基础题型.
99．（2023·江苏·高三专题练习）求函数y＝的值域．
【答案】
【分析】将函数化为二次函数的形式，根据判别式求出函数的值域．
【详解】(判别式法)
由，
得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0．
因为当y＝1时，以上方程不成立，
所以y≠1．
又x∈R，
所以Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，
解得．
故函数的值域为．
（8）单调性法
100．（2022秋·高三单元测试）当时，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
故选：C．
101．（2023秋·四川内江·高三统考期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是____________.
【答案】
【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可
【详解】因为函数,设,则
因为定义域为,
当时, .当时,
所以,又因为单调递增,
即得,函数的值域为
故答案为:
102．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.
【答案】/
【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
103．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数和函数，对任意，总存在使成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】恒成立等价于的值域包含的值域.
【详解】因为，所以．
因为在上单调递增，所以．
由题意得，所以，故实数a的取值范围是．
故答案为：.
（9）基本不等式法
104．【多选】（2022秋·四川广安·高三统考期末）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】对于A项，方法1：举反例，方法2：运用单调性性质分析；对于B项，换元法后使用基本不等式分析；对于C项，运用指数函数的值域分析；对于D项，运用二次函数的单调性分析其值域.
【详解】对于选项A，方法1：当时，，所以2不是的最小值，故A项错误；
方法2：因为在，上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；
对于选项B，因为定义域为R，令，则，所以，
又因为，当且仅当时取等号，故的最小值为2，所以值域为，故B项正确；
对于选项C，因为， 所以，所以值域为，故C项错误；
对于选项D，因为对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以值域为，故D项正确.
故选：BD.
105．（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______；当时，值域为______.
【答案】
【分析】空1，分，两种情况，运用基本不等式解决即可；空2，根据对勾函数特点，运用函数单调性解决即可.
【详解】由题知，函数，，
当时，，
此时，
当且仅当，即时取等号，
当时，，此时，
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，值域为；
当时，
因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以当时，.
故答案为：；.
106．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.
【答案】
【分析】将解析式变形为，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，
因为，所以，则有，
当且仅当，即时取等号，
所以，
因为，所以，则函数的值域为，
故答案为：.
107．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值.
(1)的最大值.
(2)的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）面对分式函数，采用分离常数项法，再结合基本不等式，可得答案；
（2）面对根号，利用整体还原的思想，再结合基本不等式，可得答案；.
【详解】（1）
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（2）设，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故的最大值为.
（10）导数法
108．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分与，利用换元法，导函数，求出的值域，从而得到答案.
【详解】当时，；当时，设，则，
从而．
令，，则，
令得：或，令得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以的值域为，
所以的值域为．
综上，的值域为．
故选：C
109．（2022·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】原式整理化简为，可构造函数，使用函数的单调性求解.
【详解】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
（二）已知函数值域求参数
110．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．
【答案】
【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案.
【详解】，
故，解得．
故答案为：
111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
112．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由于函数的值域为，则对数函数的真数要取遍所有正数，对分类讨论解不等式即可求出的范围.
【详解】令，
函数的值域为，
，要取遍所有正数.
当时，，符合题意，故可取；
当时，解得，
综上所述的取值范围是.
故答案为：．
113．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
【答案】（﹣∞，﹣2]
【分析】根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．
【详解】设，
若函数的值域为，，
则等价于，是值域的子集，
，
设，则，
则，
，
当对称轴，即时，不满足条件．
当，即时，则判别式△，
即，则，
即实数的取值范围是，.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．
114．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数性质可确定其最小值为，由可求得，；由此根据值域可确定函数定义域，即可得到的取值范围.
【详解】为开口方向向上，对称轴为的二次函数
令，解得：，
即实数的取值范围为
故选：
【点睛】本题考查根据函数的值域求解函数的定义域的问题，关键是能够确定最值点的位置，根据函数的性质可确定定义域.
（三）定义域和值域的综合
115．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
116．【多选】（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）下列函数中，与的定义域和值域都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】依次判断各个选项中的函数的定义域和值域与已知函数是否相同即可.
【详解】由得：，则的定义域为，值域为；
对于A，的定义域为，值域为，A正确；
对于B，的定义域为，值域为，B正确；
对于C，的定义域为，值域为，C错误；
对于D，的定义域为，值域为，D错误.
故选：AB.
117．（2023春·北京海淀·高三校考开学考试）设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称轴和定义域求出值域即可得解.
【详解】
所以的对称轴为：，
所以在单调递增，
，
，
的值域为，
则函数的值域中含有整数的个数为18.
故选：B.
118．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考期中）函数的定义域为，则函数的值域为______．
【答案】
【分析】由定义域可求出定义域，化简后再由二次函数求出值域即可.
【详解】由题意可知，要有意义，则需，即，
即函数定义域为，
又，对称轴方程为，
所以当时，，当时，，
所以函数值域为，
故答案为：
119．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.
【答案】
【分析】由二次函数的解析式，可知二次函数关于成轴对称，即可得到，从而得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为，对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递增，
又因为定义域和值域均为，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案为：
（四）函数值域新定义问题
120．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________.
【答案】，（或或等，答案不唯一）
【分析】构造出，分别计算与的定义域和值域，使得其满足定义即可.
【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为，
，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为，
所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”.
故答案为：（答案不唯一）.
121．（2023秋·广西钦州·高三统考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.
【详解】，
所以，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以==,
又,,
所以的值域为.
故选：B.
122．【多选】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）若函数的定义域与值域的交集为，则称为“交汇函数”，下列函数是交汇函数的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出每个选项中函数的值域和定义域，再求值域和定义域的交集来判断即可.
【详解】因为，，
所以的值域为，的定义域与值域的交集为，A正确.
的定义域为，值域为，定义域与值域的交集为，B正确.
的定义域为，因为，所以，
即值域为
所以的定义域与值域的交集为，C错误.
因为方程无解，故的定义域为，
当时，，
当时，，因为，所以，
所以的值域为，的定义域与值域的交集为，D正确.
故选：ABD.
考点七 分段函数及其应用
（一）求分段函数的函数值
（1）已知自变量的值求函数值
123．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则______.
【答案】/.
【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解.
【详解】
，
故答案为：.
124．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
【答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值.
【详解】由分段函数知：当时，周期，
所以，
所以．
故选：A
125．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.
【答案】/
【分析】根据奇函数的性质，结合题目中的函数解析式，可得答案.
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，，
由，则.
故答案为：.
（2）已知函数值求自变量的值
126．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
故选：C
127．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的定义求值.
【详解】，．
故选：D．
128．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,若，则_____，函数的值域为____．
【答案】 2
【分析】根据可解得的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可.
【详解】由得，即，即函数,
当时，；当时，．故函数的值域为．
故答案为：2；.
129．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.
【详解】由题意知，
，
又，所以，
所以，
解得.
故选：C
130．（2023·青海西宁·统考二模）已知，若，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
【答案】B
【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.
【详解】由题意，，，即.
当，即时，，解得，满足题意；
当，即时，，解得，满足题意.
所以或.
故选：B.
131．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则______；若，则______.
【答案】 16
【分析】根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知， ，故，则，再解方程得出的值.
【详解】由该分段函数的解析式可得：
则；
由函数解析式可知，当时，，
则由知，
且，
所以，
则，解得.
故答案为：；.
132．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）设，若，则______.
【答案】/
【分析】根据题意，有函数的解析式分析函数在区间和，上的单调性，进而可得，结合函数的解析式可得，变形可得的值，将的值代入，由解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，，
则区间上，，是增函数，在区间，上，，也是增函数，
若，必有或，
当时，，不能成立，
则必有，则有，
变形可得：，解可得，
则（e），
故答案为：．
133．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解.
【详解】根据题意，当时，，不符合题意；
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:B．
（二）分段函数与不等式
134．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．
【答案】
【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示，
满足可得或.
解得.
故答案为：.
135．（2023·陕西·统考二模）已知函数，则的解集为________．
【答案】
【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式，即得答案.
【详解】因为当时，，当时，，
所以等价于，此时，即，解得，
所以的解集为,
故答案为：
136．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题.
【详解】令，则即为，
当时，，故 无解，
当时，即为，
在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，
由图可得当且仅当时，，
综上所述，的解为，又，
所以，
当时，，
故，解得：，所以，
当时，，
故，解得：，所以，
综上所述，不等式的解集是.
故选：D.
137．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】对分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当，即，解得；
当，即，解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：
138．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义和指数的运算性质即可得到结果
【详解】，
所以即
故答案为：
139．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】讨论与0、1的大小关系，写出的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.
【详解】因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
故选：D.
（三）分段函数图象及其应用
140．（2023·河北·高三学业考试）函数的图象如图所示，则______ .
【答案】1
【解析】因为函数过点，分别求出直线方程与对数函数方程，从而求得，相乘即可.
【详解】因为函数过点，则直线方程为即，
所以，
因为函数过点，所以，解得，所以.
故答案为：1
【点睛】本题考查分段函数图像与解析式的求法，属于基础题.
141．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．
【答案】6
【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解.
【详解】，的周期，
如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6.
故答案为：6.
142．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 1
【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点；
第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围.
【详解】第一空：当时，可知有一个零点；
当时，有一个零点；
当时，可知有一个零点；
综上函数的零点个数为1个.
第二空：
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
当时，不符题意；
如图所示，当时，若要满足题意需，得；
综上m的取值范围是：
故答案为：1；
（四）求分段函数的值域或最值
143．（2023·高三课时练习）若函数,则函数的值域为______．
【答案】
【分析】分别求出分段函数时和时的函数值的取值范围，取并集可得答案.
【详解】当时， ，
当时，，
故函数的值域为，
故答案为：
144．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值.
【详解】当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数有最小值为，
当时，函数在上单调递增，
所以，
综上，当时，函数有最小值为1.
故选：C
145．（2022秋·重庆·高三校联考期末）已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】时，当时, ，当时，，利用函数的单调性求值域;
当且时,当时求得的两个零点只有一个满足,另一个要在时产生,列出满足的条件;
当时，当时求得没有零点, 时不可能有两个零点.
【详解】时，，当时, ，当时，，故值域为；
若，由上知此时只有一个零点；
当且时，当时有两个零点，，
其中，必是一个大于1，另一个小于1，故此时只有一个零点满足，
而时，此时需要有一个零点，只需，
∴，
当时，当时，对称轴为，在上为增函数，
∴，
由，知在上无零点，
而时，在上单调，∴不可能有两个零点.
综上实数的取值范围是.
故答案为: ;
（五）已知分段函数的值域（最值）求参数
146．（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；
当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.
i.若，则二次函数的最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
综上所述：实数t的取值范围是.
故答案为：
147．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.
【详解】时，，
又的值域为，则时，的值域包含，
，解得：.
故选：B
148．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
149．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
150．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.
【详解】由题可知解得．
故选：B.
151．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知函数
①若的最大值为，则a的一个取值为_________．
②记函数的最大值为，则的值域为_________．
【答案】
【分析】根据解析式可画出函数和的函数图象，图象以为分界，左取图象，右取图象，根据值不同，可得不同图象，以此判断出的最大值变化与不同取值之间的关系，即可得到答案.
【详解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立；
，两函数如下图所示：
由图可知，当时，的最大值为，
当时，的最大值为在区间的最大值，即为，
当时，的最大值为；
①若满足，当时，，不符题意；
当时，，解得或（舍去）
当时，，不符题意；
②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为.
故答案为：①；②
152．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得．
【详解】易知在上单调递增，所以当时，；
在上单调递增，所以当时，.
所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.
故选：C.
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