2022-2023学年四川省广元中学高二下学期第一次段考数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省广元中学高二下学期第一次段考数学（理）试题

一、单选题

1．（　  ）

A．40 B．56 C．168 D．336

【答案】B

【分析】运用组合数的公式进行求解即可.

【详解】，

故选：B

2．某学校为组建校运动会教师裁判组，将100名教师从1开始编号，依次为1，2，…，100，从这些教师中用系统抽样方法等距抽取10名教师作为裁判．若23号教师被抽到，则下面4名教师中被抽到的是（    ）

A．1号教师 B．32号教师

C．56号教师 D．73号教师

【答案】D

【分析】根据给定条件，系统抽样的定义求出被抽到的编号作答.

【详解】依题意，将100名教师编号后，从1号开始每10个号码一组，分成10组，显然第23号在第3组，

因此其它各组抽到的编号依次为，A，B，C不正确；D正确.

故选：D

3．命题的否定形式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论.

【详解】因为命题的否定形式为：

，

故选：.

4．为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型公式即可求解.

【详解】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为，

则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有共9种，

而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有共3种，

故这两位同学恰好参加同一个社团的概率.

故选：A

5．已知下表所示数据的回归直线方程，则实数的值为（    ）

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】A

【分析】根据表中数据算出，然后利用回归直线方程算出，然后可得答案.

【详解】因为，所以

所以，解得

故选：A

6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的值是（    ）

A．3． B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】按流程图顺序运算可得结果.

所以输出n为4.

故选：B.

7．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.

【详解】因为，则，

因为，则，

即是的充分而不必要条件，

所以，

故选：B

8．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.

【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.

故选：C.

9．的展开式中的常数项为（    ）

A．20 B．20 C．－10 D．10

【答案】D

【分析】根据乘法的运算法则，结合二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】因为，

的展开式的通项公式为，

令,得，

令,得，

所以的展开式中的常数项为：

.

故选：D

10．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若与相交于两点，则 的值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用代入法，结合一元二次方程根与系数关系、的几何意义进行求解即可.

【详解】把代入中，得

，

，，

，

故选：A

11．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（    ）

A．450种 B．360种 C．90种 D．70种

【答案】A

【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.

【详解】由题知，6名航天员安排三舱，

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种：分人数为的三组，共有种；

第二种：分人数为的三组，共有种；

所以不同的安排方法共有种.

故选：A.

12．已知，分别是双曲线:（，）的左、右焦点，直线是的一条渐近线，点关于的对称点为，且，则的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】作出双曲线的图像，点关于的对称点为，交渐近线于，从而可得，再结合条件即可得解.

【详解】如图所示：点关于的对称点为，交渐近线于，

，渐近线

则，，

又、分别为和的中点，

所以，

所以离心率.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求双曲线高心率常见的方法：

①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解；

②根据已知条件得到一个关于，(或，)的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解.

二、填空题

13．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为      .

【答案】8

【解析】假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果.

【详解】设样本容量为，则

高二所抽人数为.

故答案为：8

【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题.

14．鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图，若点C为线段的三等分点且，分别以线段，，为直径且在同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为      .

【答案】.

【解析】分别求出各自的面积，转化为面积比即可．

【详解】设，，则，，

于是阴影部分的面积为：，

于是所求概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.

15．已知，则     .

【答案】/

【分析】利用赋值法进行求解即可.

【详解】在中，

令，则有，

令，则有，

两式相减得，.

故答案为：

16．已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，点在抛物线上，平面上一点满足，则直线斜率的最大值为       .

【答案】

【分析】根据抛物线方程中的几何意义，结合共线向量的坐标表示公式、直线斜率的公式、基本不等式进行求解即可.

【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，

所以，因此该抛物线的方程为，，

设，

因为，

所以有，

设直线斜率为，

则，要想直线斜率有最大值，一定有，

，

当且仅当时取等号，即，舍去，

故答案为：

【点睛】关键点睛：对直线斜率的表达式进行变形，利用基本不等式是解题的关键.

三、解答题

17．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；

（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【详解】（1），

所以，即抛物线C的方程.

（2）设，

由得

所以，

所以

.

【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，

(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．

(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．

18．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘子中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同．

(1)从中有放回地取3次，每次随机取1个，记表示取到的肉粽个数，求；

(2)从中不放回地取3次，每次随机取1个，记表示取到的肉粽个数，求的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为1

【分析】（1）由题意得的可能取值为，则，从而可得出答案；

（2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.

【详解】（1）由题意得的可能取值为，则，

；

（2）由题意得的可能取值为，

，

的分布列为：

数学期望．

19．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)消参可求l的普通方程，利用，可求直角坐标方程；

(2)根据直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求解.

【详解】（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），

∴消去t可得直线l的普通方程为.

∵曲线C的极坐标方程为，

即，

又∵，，

∴曲线C的直角坐标方程为.

（2）将（t为参数）代入，

得，显然，即方程有两个不相等的实根，

设点A，B在直线l的参数方程中对应的参数分别是，，

则，，

∴，

∴.

20．某人准备投资两个新型项目，新型项目A的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）的关系式为，新型项目的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）有如下统计数据表：

(1)求新型项目中关于的线性回归方程；

(2)根据（1）中所求的回归方程，若A，两个项目都投资6万元，试预测哪个项目的收益更好.

参考公式：，．

【答案】(1)

(2)B项目的收益更好

【分析】（1）根据表格数据结合公式求出，从而求出关于的线性回归方程；

（2）分别求出A、B两个项目的利润值，比较即可得出答案.

【详解】（1）由表中数据得，，

，，

所以，，

所以关于的线性回归方程为.

（2）因为新型项目A的投资额（单位：万元）与利润（单位：万元）的关系式为，

所以当A项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.

由（1）知关于的线性回归方程为，

因此当B项目的投资额为6万元时，该企业所得利润的估计值为万元.

显然，所以预测B项目的收益更好.

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据直线与平面、平面与平面垂直的判定定理直接证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出二面角.

【详解】（1）取的中点，连接，

因为底面ABCD为菱形，所以，

又因为分别是的中点，所以，所以，

又因为平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为，为的中点，所以，

又因为平面ABCD，所以平面ABCD，

又因为平面，所以平面平面ABCD.

（2）因为底面ABCD为菱形，，所以为等边三角形，

又为的中点，所以，

由（1）知平面ABCD，又平面ABCD，所以，

所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则

，

所以，，

设平面的法向量为，则，

取，得，所以，

易得平面的一个法向量为，

则，

由图知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

22．已知椭圆 的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.

(1)求椭圆 的方程；

(2)直线 与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.

【答案】(1)

(2)，定值为5

【分析】(1)根据题意列出关于的方程，解方程求得其值，可得答案；

(2)联立，设，可求得根与系数的关系式，从而求得的表达式，由此可得结论.

【详解】（1）由已知，点 的坐标分别为，

又点的坐标为，且，

于是 ，

解得，

所以椭圆 方程为.

（2）联立 ，

消元得，，

方程判别式，

即，

设 ，

则 ，

所以

，

当 为定值时，即与无关，

故 ，得，

所以，恒成立

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.