2022-2023学年福建省宁德市福鼎第六中学高二下学期6月月考数学试题含答案

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2022-2023学年福建省宁德市福鼎第六中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题
1．设函数的导数为，且，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】可先求函数的导数，令求出即可.
【详解】由，
令得，
解得.
故选：B.
2．下列说法正确的是（    ）
A．若向量、共线，则向量、所在的直线平行；
B．若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线；
C．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则l；
D．若、、是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使.
【答案】B
【分析】根据空间直线与直线和直线与平面的位置关系和空间向量基本定理依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，若向量、共线，则向量、所在的直线平行或重合，故A错误.
对选项B，因为向量、所在的直线是异面直线，所以向量、一定不共线，
故B正确.
对选项C，因为无法判断直线是否在平面内，故C错误.
对选项D，只有、、三个向量不共面时，才有，故D错误.
故选：B
3．如表为今年某商家1月份至6月份的盈利（万元）与时间（月份）的关系，其中，其对应的回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

1
2
3
4
5
6

0.3

2.2


4.5
A．与负相关
B．
C．回归直线可能不经过点
D．今年10月份的盈利大约为6.8万元
【答案】D
【分析】，与正相关，A错误，计算中心点带入计算得到B错误，回归直线一定经过中心点，C错误，带入数据计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：回归方程为，，与正相关，错误；
对选项B：，，故，解得，错误；
对选项C：回归直线一定经过点，错误；
对选项D：，当时，，正确.
故选：D
4．北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（    ）
A．0.45 B．0.14 C．0.75 D．0.8
【答案】C
【分析】根据题意，由全概率公式，代入计算即可得到结果.
【详解】设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，则，且与互斥，
根据题意得：，，，
由全概率公式得，
故选：C．
5．已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意，表示出两点坐标和，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.
【详解】  
由题意，， ，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故选：B．
6．如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.
【详解】设，，，
因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，
结合，，，，，
所以=0，，，
则，，
可得
，
，

，
所以，
又因为异面直线所成角的范围是，
所以与所成角的余弦值为.
故选：B.
7．已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用导数研究单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.
【详解】因为当时，，
则，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，
当时，，
则在上单调递增，
，当时，，
综上，的图象如图所示，
  
因为，
所以或，
又因为恰有4个不等的实根，且，
所以恰有3个不等的实根，
即恰有3个不同的交点，
所以由图象可知，.
故选：A.
8．已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（    ）
A．45 B．53 C．54 D．90
【答案】B
【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，
所以，，.
设，
则，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值.

二、多选题
9．下列命题正确的是（    ）
A．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
B．在回归直线方程中，变量与x正相关
C．变量x，y的样本相关系数越大，表示它们的线性相关性越强
D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好
【答案】BC
【分析】根据变量之间相关关系的有关概念，回归直线的特征，回归分析中相关系数和线性相关性的关系，残差平方和和模型的拟合效果的关系即可判断．
【详解】对于A，回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，A错误；
对于B，在回归直线方程中，，所以变量与x正相关，B正确；
对于C，变量x，y的样本相关系数越大，越靠近，表示它们的线性相关性越强，C正确；
对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．
故选：BC．
10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A． B．的最大值是
C．有两个不等实根 D．
【答案】AC
【分析】对于选项A，先求，再把代入即可计算；对于选项B，由导数讨论的单调性，即可知在处有最大值；对于选项C，把方程变形为，构造函数，讨论的单调性和最值，从而得到有两个不等实根；对于选项D，把转化为，即,再由函数的单调性得，从而得到结论.
【详解】对于选项A，因为，所以,所以
故选项A正确.
对于选项B，因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以在处有最大值，
故选项B错误.
对于选项C，由得，易知.
方程化为，即，即，
即，即，
令，则，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以在处有最大值，所以存在，使.
又因为，
所以存在，使.
所以方程有两个不等实根.
故选项C正确.
对于选项D，因为在单调递减，
所以，即，所以
故选项D错误.
故选：AC
11．已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（    ）
A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件
C． D．
【答案】ACD
【分析】假设次品为件，由求得次品及次品率，再分别求的，即可得出结果.
【详解】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件，
，则次品数为2件，B错误；
这10件产品的次品率为，A正确；
10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2，
；
则，C正确；
，D正确.
故选：ACD.
12．如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）．

A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得
C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
【答案】ABD
【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断选项A，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B，C，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.
【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高为，
底面积，所以，
所以三棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，，
，，
若，则，
即，取，此时点与点重合，满足题意，
所以存在点，使得，B正确；

对于C，，若，
，即，
所以点的轨迹就是线段，
轨迹长为，C错误；
对于D，如图取中点，连接，
由题可得，平面，
连接，因为，平面，
则，，又，    
平面，则平面，
又取中点为，则，
有四点共面，则平面即为平面，
又由两平面平行性质可知，，，，
又都是中点，故是中点，是中点，
则平面截正方体的截面为正六边形，
又正方体棱长为，则，
故截面面积为，D正确.
故选：ABD


三、填空题
13．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量.
【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，

由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），
，
设平面CDF的一个法向量为，
则，取x=-1，得，
故答案为：（答案不唯一）
14．一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记2分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为，则的方差 ．
【答案】/
【分析】记4次取到白球的个数为，则，可求得，结合方差的性质即可求得答案.
【详解】由题意得从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球的概率为,
记4次取到白球的个数为，则，则,
故,则,
故答案为：
15．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x（单位：年）与失效费y（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限x（单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费y（单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
由上表数据可知，y与x的相关系数为 .
（精确到0.01，参考公式和数据：，，，）
【答案】0.99
【分析】分别求出，，，再利用参考公式和数据计算即可.
【详解】由题意，知，
，
.
所以.
所以y与x的相关系数近似为0.99.
故答案为：0.99.
16．已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将原不等式化为并构造，依据单调性知恒成立，再构造，利用导数研究单调性求最值，即可求范围.
【详解】由得，即：
令，则．
∵为R上的单调递增函数，
∴，即恒成立．
令，则，
故在上，在上，
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴，故，即.
故答案为：

四、解答题
17．某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生进行消防安全知识测试（满分100分），所得分数统计如表①所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如表②所示.
得分





人数
50
100
200
400
250
表①

男生
女生
得分不低于80分
4a
b
得分低于80分
a
b
表②
(1)估计这次测试学生得分的平均值；（每组数据以所在区间的中点值为代表）
(2)依据小概率值的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？
参考公式：.
参考数据：

0.01
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
【答案】(1)82
(2)能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.

【分析】（1）根据每一组的频率，以及每组的中间值，代入公式求平均数；
（2）根据数据，结合列联表，计算求得的值，再根据参考公式求，和参考数据对比后，即可判断.
【详解】（1）依题意，估计平均值为.
（2）依题意，，解得，
可得列联表：

男生
女生
总计
得分不低于80分
400
250
650
得分低于80分
100
250
350
总计
500
500
1000
则，
故依据的独立性检验，能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，侧面底面ABCD，，且二面角的大小是．

(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据面面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直证明线面垂直，即可得直线与直线的垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角.
【详解】（1）侧面底面ABCD，且交线为,又平面,所以底面ABCD,
由于底面ABCD,故 ,
又,平面,所以平面,
由于平面,因此,
（2）由于， ，所以即为二面角的平面角，所以，故三角形为等腰直角三角形，,
由于两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以
设平面的法向量分别为，
则 ，取 ，则，
，取 ，则，
设二面角的平面角为 ，则
，
所以二面角的正弦值为

19．已知函数．
(1)若，求函数的图像在处的切线方程；
(2)若，是函数的两个极值点，求的取值范围，并证明：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）由有两个极值点，则在有两个不相等的实数根，得出的取值范围，再由根与系数的关系得出，，代入，得出，结合即可证明结论．
【详解】（1）当时，，，
所以，，
所以函数的图像在处的切线方程为，即．
（2）因为，
所以，
由题意知是方程在内的两个不同的实数解，
令，
又，且函数图像的对称轴为直线，
所以只需，
解得，即实数的取值范围为，
由是方程的两根，
得，，
故
，
又，
所以．
20．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的某药品的镇痛效果进行检测．若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．
（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部门要利用2只雌性和2只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，1只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为-1．用随机变量表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为，现对6只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为，求最大时的值．
【答案】（1）答案见解析；；（2）.
【解析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法的计算的公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其期望；
（2）应根据题意，得到，结合导数求得函数单调性，进而得到答案.
【详解】（1）由题意，随机变量的可能取值为，
其中，
，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：

-4
-2
0
2
4






所以．
（2）由题意知，
，
令，即，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，最大．
【点睛】求离散型随机变量的期望与方差的基本方法：
1、已知随机变量的分布列，求其期望与方差，可直接利用公式求解；
2、已知随机变量的期望、方差，求的线性函数的期望与方差，可直接利用的期望与方差的性质求解；
3、若能分析所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布，二项分布等），可直接利用常见分布列的期望与方差的公式求解.
21．如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，是边长为1的等边三角形，为线段三等分点（靠近点），.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点，

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得平面，从而证得；
（2）先证得，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，从而求得与平面的一个法向量，由此可求得直线与平面所成角的正弦值；
（3）假设存在，先利用面面平行的判定定理证得面面，再利用面面平行的性质定理证得，从而由推得点的位置.
【详解】（1）证明：因为为正方形，所以，平面，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）取中点，中点，连接，.
因为是等边三角形，所以，
在正方形中，易得，
又面面，面面，，面，
故平面，平面，进而，即，，两两垂直；
分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
.
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
设直线与平面所成角为，
；
（3）因为且平面，平面，
所以平面，
假设平面，又面，
所以面面，又面面，面面，
所以，
设，，
则，故，
所以，又，
由得，
解得，
所以线段上存在点，使得直线平面，且.
22．已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)，若函数有两个零点，且，求证：.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出的极值作答.
（2）根据函数零点的意义，转化为直线与函数图象有两个交点，求出，再借助零点建立两个方程消去a，构造函数证明即可作答.
【详解】（1）当时，定义域为，
求导得，
令，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，无极小值，
所以的极大值为，无极小值.
（2）依题意，，，因为函数有两个零点，且，
而，则，
因此函数的两个零点分别是直线与函数图象的两个交点横坐标，
，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而，时，恒有，时，，于是，即，
令，显然有，
则有，令，
求导得，即函数在上单调递增，，
即有，从而，又，所以.
【点睛】思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.