江西省九江市2022-2023学年高二数学下学期期末调研试题（Word版附解析）

2022-2023学年江西省高二下学期期末调研测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则集合的子集个数为（    ）

A 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合A，再求得其子集即可

【详解】由已知可得，其子集为，子集个数为4个

故选：C.

2. 已知命题，则的否定是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定即可得到结果.

【详解】先变量词，再否结论，而“”的否定是“”，

故的否定是：.

故选:C.

3. 函数的零点所在区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.

【详解】在上单调递增，

，

所以的零点在区间.

故选：B

4. 函数的部分图象大致为（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.

【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；

根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.

故选：A.

5. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第11月营收贯数为（    ）

A. 64 B. 65 C. 68 D. 70

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式及前n项和公式，列出方程求解作答.

【详解】依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列，其前项和为，有，

设的公差为d，因此，解得，

所以该人第11月营收贯数，

故选：B.

6. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的性质比较大小即可.

【详解】，即，

而，所以，

故选：D.

7. 已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得在区间上单调递减，进而得到在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，只需，进而求解即可.

【详解】当时，恒有，

可得在区间上单调递减，

则在区间上恒成立.

因为，所以在区间上恒成立，

而函数在区间上单调递减，

所以当时，，

所以，即，

所以的取值范围是.

故选：B.

8. 北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙､邓清明､张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可.

【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，且，得，

则火箭发射时的声强约为，

将其代入中，得，

故火箭发射时的声强级约为，

故选:C.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不等式性质判断各个选项即可.

【详解】因为，所以正确；

由不等式的倒数法则可知，两边同乘以，得，C错误；

由，得，D正确，

故选：ABD.

10. 已知幂函数，则（    ）

A.

B. 的定义域为

C.

D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像

【答案】BC

【解析】

【分析】由幂函数的系数为可求得、,则A选项可判定;由解析式可求定义域，则B选项可判定; 由的奇偶性可判定是否满足，则C选项可判定;把中的用代可得向左平移个单位长度后函数，则D选项可判定.

【详解】由幂函数的定义可知，所以，所以，故A选项错误；

由可知其定义域为，故B选项正确；

为奇函数，所以，故C选项正确；

将的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，故D选项错误；

故选：BC.

11. 已知函数，则（    ）

A. 恰有2个极值点 B. 在上单调递增

C.  D. 的值域为

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数判断出单调性，可得极值点、最值的情况可判断选项.

【详解】，令，得，

当时，，此时单调递减，

当时，，此时单调递增，

故恰有一个极小值点1，无极大值点，故A错误，B正确；

由在上单调递减，可知，故C正确；

由于，而当趋近于时，趋近于，

故的值域为，故D正确.

故选：BCD.

12. 提丢斯-波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一个经验公式来表示，即数列：，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位为单位）.现将数列的各项乘以10后再减4，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（    ）

A. 数列的通项公式为

B. 数列的第20项为

C. 数列的前10项和为157.3

D. 数列的前项和

【答案】CD

【解析】

【分析】由题意先求出，即可判断选项A；由和的关系，求出，求出，即可判断选项B；由的通项公式，由分组求和结合等差数列和等比数列的求和公式求解，从而判断选项C，利用错位相减法求出，即可判断选项D．

【详解】数列各项乘以10后再减4得到数列，

故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以，故A错误；

从而，所以，故B错误；

数列的前10项和为

，C正确；

因为，

所以当时，，

当时，，

，

所以

，

所以，又当时，也满足上式，

所以，故D正确.

故选：CD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数，则的图像在点处的切线的斜率为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】求出函数的导函数，代入计算即可；

【详解】解：因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为；

故答案为：

14. 已知，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数运算和对数运算化简求解即可.

【详解】因为，

所以

.

故答案：

15. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为，则该矩形周长的最大值为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由基本不等式的结论可求的范围，进而可求．

【详解】解法一：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，而，即，当且仅当时取等号，所以，即该矩形周长的最大值为8.

解法二：设矩形的一组邻边长为，则该矩形的周长为，且，由不等式得，当且仅当时取等号，所以，所以，即该矩形周长的最大值为8.

故答案为：8.

16. 长征五号运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成，某学校航天兴趣小组制作整流罩模型，模型近似看作一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为，则当圆锥的高为___________时，该模型的体积取得最大值，且最大值为___________.

【答案】    ①. 2    ②. ##

【解析】

【分析】设圆锥的高为，根据题意将该模型的体积表示为的函数，利用导数求最值得答案.

【详解】设圆锥的高为，则圆柱的高为，底面圆半径为，

则该模型的体积，

令，则，

当时，当时，

则在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，.

故答案为：2；.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为，.

（1）求的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设等差数列公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合等差数列的通项公式可求得的通项公式；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【小问1详解】

解：设等差数列的公差为，由已知得，解得，

故.

【小问2详解】

解：，

所以.

18. 已知定义在上的函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）求函数在其定义域上的最值.

【答案】（1），   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域求解可得，根据偶函数的定义可得的值；

（2）由（1）得函数解析式及定义域结合函数图象可得函数的最值.

【小问1详解】

是偶函数，的定义域关于原点对称，

又的定义域为，

，解得.

又，

，可得；

【小问2详解】

由（1）得，定义域为，

其图象是开口方向朝上，对称轴为直线的抛物线的一部分，

当时，，

当时，

19. 已知集合，.

（1）若，求及;

（2）若“"是""成立的     ，求实数m的取值范围.

从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线上并进行作答.注:如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1），   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）先求出集合，再由交、并、补集的定义求解即可；

（2）若选①，则A是B的真子集，从而建立不等式组求解即可；若选②，B是A的真子集，从而建立不等式组求解即可.

【小问1详解】

由已知得，，

当时，，

所以，

.

【小问2详解】

若选①：“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.

所以

解得，

所以实数m的取值范围是.

若选②:因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集,

所以

解得，

所以实数m的取值范围是.

20. 已知函数.

（1）求的极大值与极小值之差；

（2）若函数在区间上恰有2个零点，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数研究函数单调性，进而确定函数的极值，即可求极值之差；

（2）由（1）确定给定区间的单调性，根据零点的个数及函数端点值、最值列不等式组求参数范围.

【小问1详解】

，令，解得或.

当或时，单调递增；

当时，单调递减.

所以的极大值为，极小值为.

所以的极大值与极小值之差为.

【小问2详解】

由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，

因为函数在上恰有2个不同的零点，

所以，即，解得，

即实数的取值范围为.

21. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，

（1）证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;

（2）设，，求数列的前10项和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）436

【解析】

【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；

（2）求出表达式，再分段求前10项和即可.

【小问1详解】

点在函数的图象上，

，，

数列是“平方递推数列”，

因为，

对两边同时取对数得，

数列是以1为首项、2为公比的等比数列；

【小问2详解】

由（1）知，

所以

所以.

22. 已知函数.

（1）当时，证明：；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）最小值为3

【解析】

【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得，根据其正负即可得函数的单调区间,再根据最值证明即可；

（2）构造函数 在区间 内恒成立，再求出的最大值为，

结合函数单调性，即求得整数的最小值．

【小问1详解】

当时，，

，

令，得，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，

所以，

所以，

而，

所以.

【小问2详解】

令.

则.

当时，因为，所以，所以在上单调递增，

又因为.

所以关于的不等式不能恒成立；

当时，.

令，得，所以当时，；

当时，.

因此函数在上单调递增，在上单调递减.

故函数的最大值为.

令，

因为，

又因为在上单调递减，所以当时，.

所以整数的最小值为3.