中考数学二轮复习压轴题专题06 一次函数问题（含解析）

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专题 06一次函数的应用问题

【典例分析】
【考点1】行程问题
【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为(分)，图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)在图2中，画出当时关于的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

【答案】(1)甲步行的速度是80 米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800 米；(2)乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是700 米；(3)图象如图所示见解析.
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x=18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．
【详解】
(1)由题意，得：甲步行的速度是 (米/分)，
∴乙出发时甲离开小区的路程是 (米).
(2)设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:.
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是 (米/分).
∵乙骑自行车的时间为 (分)，
∴乙骑自行车的路程为 (米).
当时，甲走过的路程是 (米)，
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是 (米).
(3)乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与小王的行驶时间之间的函数关系．
请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？
（2）求线段所表示的与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）小王和小李的速度分别是、；（2）．
【解析】根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；
根据中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）由图可得，
小王的速度为：，
小李的速度为：，
答：小王和小李的速度分别是、；
（2）小李从乙地到甲地用的时间为：，
当小李到达甲地时，两人之间的距离为：，
∴点的坐标为，
设线段所表示的与之间的函数解析式为，
，解得，
即线段所表示的与之间的函数解析式是．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确坐标轴中xy所表示的对象量，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离S(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF所示.
（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？
（2）求E点坐标，并解释点的实际意义.

【答案】（1），；（2）E(,).
【解析】(1)观察图1可知小丽骑行36千米用了2.25小时，根据速度=路程÷时间可求出小丽的速度，观察图2可知小丽与小明1小时机遇，由此即可求得小明的速度；
(2)观察图2，结合两人的速度可知点E为小明到达甲地，根据相关数据求出坐标即可.
【详解】
(1)V小丽=36÷2.25=16(km/h)，
V小明=36÷1-16=20(km/h)；
(2)36÷20=(h)，
16×=(km)，
所以点E的坐标为(，)，
实际意义是小明到达了甲地.
【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，弄清题意，正确分析图象，得出有用的信息是解题的关键.
【考点2】方案选择问题
【例2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg
30
50
150
…
甲批发店花费/元

300

…
乙批发店花费/元

350

…
（Ⅱ）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．
【答案】（Ⅰ）180，900，210，850；（Ⅱ）；当时，；当时，．（Ⅲ）①100；②乙；③甲．
【解析】（Ⅰ）根据在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．可以分别把表一和表二补充完整；
（Ⅱ）根据所花费用=每千克的价格一次购买数量，可得出关于x的函数关系式，注意进行分段；
（Ⅲ）①根据得出x的值即可；②把x=120分别代入和的解析式，并比较和的大小即可；③分别求出当和时x的值，并比较大小即可．
【详解】
解：（Ⅰ）当x=30时，，
当x=150时，，
故答案为：180，900，210，850．
（Ⅱ）．
当时，；
当时，，即．
（Ⅲ）①∵ ∴6x
∴当时，即6x=5x+100
∴x=100
故答案为：100
②∵x=120 ，
∴；
∴乙批发店购买花费少；
故答案为：乙
③∵当x=50时乙批发店的花费是：350
∵一次购买苹果花费了360元，∴x50
∴当时，6x=360，∴x=60
∴当时，5x+100=360, ∴x=52
∴甲批发店购买数量多．
故答案为：甲
【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).
(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.
【答案】(1)；(2)当时选择方式一比方式二省钱.
【解析】(1)根据题意列出函数关系式即可；
(2)根据题意，列出关于x的不等式进行解答即可.
【详解】
(1)，
；
(2)由得：，
解得：，
∴当时选择方式一比方式2省钱，
即一年内来此游泳馆的次数超过20次时先择方式一比方式二省钱.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答.
【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

【答案】（1）， （2）见解析
【解析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【详解】
（1）设，根据题意得，
解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴；

（2）①，即，解得，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
【考点3】最大利润问题
【例3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【解析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．
【详解】
解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．
【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；（2）水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，求出甲、乙两种水果的单价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润和购买甲种水果数量之间的关系，再根据甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，可以求得甲种水果数量的取值范围，最后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+260；（2）销售单价为80元；（3）销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【详解】
（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）
将点（50，160），（80，100）代入得

解得
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000
化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100
∵x≤50×（1+90%）＝95
∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得
w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000
＝﹣2（x﹣90）2+3200
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时， w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
【考点4】几何问题
【例4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点的直线与直线：相交于点.
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形的面积.

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.
（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由可求得四边形的面积
【详解】

解：（1）∵点P是两直线的交点，
将点P（1，a）代入
得，即
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
那么，
解得： .
的解析式为：.
（2）直线与轴相交于点，直线与x轴相交于点A
的坐标为，点的坐标为
则，
而，

【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积.
【变式4-1】
（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点.
(1)如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；
(2)如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆.
①当点与点重合时，求证: 直线与相切；
②设与直线相交于两点， 连结. 问:是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1) 的直径长为；(2) ①见解析；②存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.
【解析】（1）连接BC，证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；
（2）过点作于点，证明CE=ACsin45°=4×=2 =圆的半径，即可求解；
（3）假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况，分别求解即可．
【详解】
（1）如图3，连接BC，

∵∠BOC=90°，
∴点P在BC上，
∵⊙P与直线l1相切于点B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
则⊙P的直径长=BC=AB=3
(2)如图4过点作于点，

图4
将代入，得，
∴点的坐标为.
∴，
∵，
∴.
∵点与点重合，
又的半径为，
∴直线与相切.
②假设存在这样的点，使得是等腰直角三角形，
∵直线经过点，
∴的函数解析式为.
记直线与的交点为，
情况一：
如图5，当点在线段上时，
由题意，得.
如图，延长交轴于点，

图5
∵，
∴，
即轴，
∴点与有相同的横坐标，
设，则，
∴.
∵的半径为，
∴，
解得，
∴，
∴的坐标为.
情况二：
当点在线段的延长线上时，同理可得，的坐标为.
∴存在这样的点和，使得是等腰直角三角形.
【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中（2），关键要确定圆的位置，分类求解，避免遗漏．
【变式4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接．

（1）求线段长度的取值范围；
（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）为定值，=30°；（3）， ，，
【解析】（1）作，由点在的图像上知：，求出AH，即可得解；
（2）①当点在第三象限时，②当点在第一象的线段上时，③当点在第一象限的线段的延长线上时，分别证明、、、四点共圆，即可求得=30°；
（3）分，，三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）作，则
∵点在的图像上
∴，
∵，
∴
∴
（2）①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆，
∴
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆，
∴，又此时
∴
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得，
∴、、、四点共圆，
∴
（3）设，则：
∵，∴
∴：
∴
∴，

①当时，则
整理得： 解得：
∴，
②当时，则
整理得：
解得：或
当时，点与重合，舍去，
∴，∴
③当时，
则
整理得：
解得：
∴


【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【达标训练】
1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①两村相距10；②出发1.25后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8；④相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】根据题意结合一次函数的图像与性质即可一一判断.
【详解】
解：
由图象可知村、村相离10，故①正确，
当1.25时，甲、乙相距为0，故在此时相遇，故②正确，
当时，易得一次函数的解析式为，故甲的速度比乙的速度快8．故③正确
当时，函数图象经过点设一次函数的解析式为
代入得，解得
∴
当时．得，解得
由
同理当时，设函数解析式为
将点代入得
，解得
∴
当时，得，解得
由
故相遇后，乙又骑行了15或65时两人相距2，④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与应用.
2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，则点的坐标是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长交轴于点，利用反射定律，可得，利用ASA可证，已知点坐标，从而得点坐标，利用，两点坐标，求出直线的解析式，即可求得点坐标．
【详解】
如图所示，延长交轴于点．设
∵这束光线从点出发，经轴上的点反射后经过点，
∴由反射定律可知，，
∵∠1=∠OCD，
∴，
∵于，
∴=90°，
在和中，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴将点，点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点坐标为．

故选B．
【点睛】本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性较强，难度略大．
3．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为、、…．则可表示为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线与轴的成角，可得，…，，，…，；根据等腰三角形的性质可知，，，…，；根据勾股定理可得，，…，，再由面积公式即可求解；
【详解】
解：∵、…都是等边三角形，
∴，，、…都是等边三角形，
∵直线与轴的成角，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，…，，
∴，，…，，
易得，…，，
∴，，…，，
∴，，…，；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
4．（2019·广西中考真题）如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k。
【详解】
解：由，
∴，
∴四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
∴直线与该直线的交点为，
直线与轴的交点为，
∴，
∴或，
∴，
∴直线解析式为；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（ ）

A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
【答案】B
【解析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【详解】
设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，
∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
6．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．

【答案】6000
【解析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程.
【详解】
解：由题意可得，甲的速度为：4000÷（12-2-2）=500米/分，
乙的速度为： =1000米/分，
乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，
则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×（12-2）-500×2+500×4=6000（米），
故答案为6000.
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h．

【答案】10
【解析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由B地到A地所用的时间．
【详解】
解：由图可得，
甲的速度为：36÷6=6(km/h)，
则乙的速度为：=3.6(km/h)，
则乙由B地到A地用时：36÷3.6=10(h)，
故答案为：10．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．

【答案】210．
【解析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】
设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为：210．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为_____．

【答案】y＝﹣2x+8
【解析】根据正方形的性质得到点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接PA，PD，则此时，PD+AP的值最小，求得直线CD的解析式为y＝﹣x+4，由于直线OB的解析式为y＝x，解方程组得到P（，），由待定系数法即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCO是正方形，
∴点A，C关于直线OB对称，
连接CD交OB于P，连接PA，PD，

则此时，PD+AP的值最小，
∵OC＝OA＝AB＝4，
∴C（0，4），A（4，0），
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
∴D（4，2），
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴，
解得：x＝y＝，
∴P（，），
设直线AP的解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，
故答案为：y＝﹣2x+8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确的找出点P的位置是解题的关键．
10．（2019·湖南中考真题）已知点到直线的距离可表示为，例如：点到直线的距离．据此进一步可得两条平行线和之间的距离为_______．
【答案】
【解析】利用两平行线间的距离定义，在直线y=x上任意取一点，然后计算这个点到直线y=x-4的距离即可．
【详解】
解：当时，，即点在直线上，
因为点到直线的距离为：，
因为直线和平行，
所以这两条平行线之间的距离为．
故答案为．
【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，弄清题中求点到直线的距离方法是解本题的关键．考查了学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力．
11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：）与行走时（单位：）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间x（单位:）的函数图象，则_____．

【答案】
【解析】从图1，可见甲的速度为，从图2可以看出，当x= 时，二人相遇，即： =120，解得：乙的速度=80，已的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
【详解】
解：从图1，可见甲的速度为，
从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：
乙的速度：，
∵乙的速度快，从图2看出已用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，
.
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．
12．（2019·四川中考真题）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______.

【答案】3
【解析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3.
【详解】

∵交x轴为B点，交y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令PQ与x轴的交点为E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为2
∴当△OEQ面积最大时△的面积最大
设Q（a, ）
则S△OEQ= ×a×（）==
当a=2时S△OEQ最大为1
即当Q为AB中点时△OEQ为1
故△面积的最大值是是3.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
【答案】（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.
【解析】（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．
（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大．
【详解】
（1）.
（2）由题意得：，解得.
又因为，所以.
由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小.
所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）.
答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.
【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．
14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地，甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示．
⑴________，________；
⑵求乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
⑶当甲车到达地时，求乙车距地的路程

【答案】（1）4，120；（2）；（3）乙车距地的路程为.
【解析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把x=3代入（2）的结论即可．
【详解】
解：（1）根据题意可得m=2×2=4，n=280-280÷3.5=120；
故答案为：4；120；
（2）设关于的函数解析式为，
因为图象过，
所以，
解得，
所以关于的函数解析式为，
设关于的函数解析式为，
因为图象过两点，
所以，
解得：，
所以关于的函数解析式为；
（3）当时，，
所以当甲车到达地时，乙车距地的路程为。
【点睛】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．
15. （2019·新疆中考真题）某水果店以每千克8元的价格收购苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果以每千克降价4元销售，全部售完。销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示。请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前苹果的销售单价是 元/千克；
（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x千克之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）该水果店这次销售苹果盈利多少元？

【答案】（1）16；（2）；（3）360元.
【解析】（1）根据图像中的数据即可解答；
（2）先根据图象求出降价后销售的千克数，设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝kx+b，该函数过点（40，640），（50，760），用待定系数法即可解答；
（3）利用总销售额减去成本即可解答.
【详解】
解：（1）由图可得，
降价前苹果的销售单价是：640÷40＝16（元/千克），
故答案为：16；
（2）降价后销售的苹果千克数是：（760﹣640）÷（16﹣4）＝10，
设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝kx+b，该函数过点（40，640），（50，760），
∴，解得 ，
即降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝12x+160（40＜x≤50）；
（3）（元）
该水果店这次销售苹果盈利了360元.
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题关键在于从图像中获取信息并利用待定系数法求解.
16．（2019·江苏中考真题）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米．如图中折线OAEC表示与x之间的函数关系，线段OD表示与x之间的函数关系．

请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的与x之间的函数表达式；
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
【答案】（1）快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；（2）；（3）点F的坐标为，点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度；
（2）根据函数图象中的数据可以求得点E和点C的坐标，从而可以求得与x之间的函数表达式；
（3）根据图象可知，点F表示的是快车与慢车行驶的路程相等，从而以求得点F的坐标，并写出点F的实际意义．
【详解】
（1）快车的速度为：千米/小时，
慢车的速度为：千米/小时，
答：快车的速度为90千米/小时，慢车的速度为60千米/小时；
（2）由题意可得，
点E的横坐标为：，
则点E的坐标为，
快车从点E到点C用的时间为：（小时），
则点C的坐标为，
设线段EC所表示的与x之间的函数表达式是，
，得，
即线段EC所表示的与x之间的函数表达式是；
（3）设点F的横坐标为a，
则，
解得，，
则，
即点F的坐标为，点F代表的实际意义是在4.5小时时，甲车与乙车行驶的路程相等．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出方程
17．（2019·吉林中考真题）已知、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为　 　千米/时，　 　，　 　．
（2）求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

【答案】（1）75；3.6；4.5；（2）；（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【解析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】
解：（1）乙车的速度为：千米/时，
，．
故答案为：75；3.6；4.5；

（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，解得，
∴；
当时，设，
∴；

（3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【点睛】考核知识点：一次函数的应用.把实际问题转化为函数问题是关键.
18．（2019·广西中考真题）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸袋（为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
【答案】（1）每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；（2）购买小红旗袋恰好配套；（3）需要购买国旗图案贴纸和小红旗各48，60袋，总费用元．
【解析】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，解得，检验后即可求解；
（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，解得；
（3）如果没有折扣，，国旗贴纸需要：张，小红旗需要：面，则袋，袋，总费用元.
【详解】
（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，
解得，
经检验是方程的解，
∴每袋小红旗为元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，
解得，
答：购买小红旗袋恰好配套；
（3）如果没有折扣，则，
依题意得，
解得，
当时，则，
即，
国旗贴纸需要：张，
小红旗需要：面，
则袋，袋，
总费用元．
【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键.
19．（2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【解析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
20．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个）与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示．
（1）这批零件一共有　 　个，甲机器每小时加工　 　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　 　个零件；
（2）当时，求与之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？

【答案】（1）；（2）；（3）甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【解析】(1)观察图象可得零件总个数，观察AB段可得甲机器的速度，观察BC段结合甲的速度可求得乙的速度；
(2)设当时，与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可；
(3)分乙机器出现故障前与修好故障后两种情况分别进行讨论求解即可.
【详解】
(1)观察图象可知一共加工零件270个，
甲机器每小时加工零件：(90-50)÷(3-1)=20个，
乙机器排除故障后每小时加工零件：(270-90)÷(6-3)-20=40个，
故答案为：270，20，40；
设当时，与之间的函数解析式为
把，，代入解析式，得
解得

设甲加工小时时，甲与乙加工的零件个数相等，
乙机器出现故障时已加工零件50-20=30个，
，
；
乙机器修好后，根据题意则有
，
，
答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，读懂函数图象，理清各量间的关系是解题的关键.
21．（2019·四川中考真题）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）


售价（元/件）
200
100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？
（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为件（），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求出的最小值．
【答案】（1）分别是120元，60元；（2），当a=30件时，=3200元
【解析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解方程即可；
（2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出的最小值．
【详解】
解：（1）依题意可得方程：，
解得，
经检验是方程的根，
∴元，
答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；
（2）∵销售甲种商品为件，
∴销售乙种商品为件，
根据题意得：，
∵，
∴的值随值的增大而增大，
∴当时，（元）．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
22．（2019·黑龙江中考真题）甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______．
（2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米．

【答案】（1）；；（2）（3）货车出发小时或小时后两车相距千米
【解析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【详解】
解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；．
故答案为：；；；
（2）由题意可知：，，，
设直线的解析式为，
，
当时，，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
，
；
（3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得：
或，
解得或．
答：货车出发小时或小时后两车相距千米．
【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究.
23．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【详解】
（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
24．（2019·浙江中考真题）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程 （千米）的函数图象.

（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程，当时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）当时求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量.
【答案】（1）1千瓦时可行驶6千米；（2）当时，函数表达式为，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时.
【解析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
（2）运用待定系数法求出y关于x的函数表达式，再把x=180代入即可求出当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．
【详解】
（1）由图像可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米.
1千瓦时可行驶千米.
（2）设，把点，代入，
得，∴，∴.
当时，.
答：当时，函数表达式为，当汽车行驶180千米时，蓄电池剩余电量为20千瓦时.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
25．（2019·浙江中考真题）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.

（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.
（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间.
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【答案】（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.
【解析】（1）设y=kx+b，运用待定系数法求解即可；
（2）把y=1500代入（1）的结论即可；
（3）设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．
【详解】
（1）解：由题意得，可设函数表达式为：.
把，代入，得，
解得.
∴第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为.
（2）解：把代入，解得，
（分）．
∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第班车.
，解得，
∴小聪最早坐上第5班车.
等班车时间为5分钟，
坐班车所需时间：（分），
∴步行所需时间：（分），
（分）．
∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
26．（2019·四川中考真题）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱，见解析.
【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
，解得，，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯只，费用为w元，



∴当时，w取得最小值，此时
答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
27．（2019·河南中考真题）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少
【解析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解；
【详解】
解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
，
A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，，
，
，
当时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
28．（2019·辽宁中考真题）一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

【答案】（1）当且为整数时， 当且为整数时， ;当且为整数时，；（2）一次批发件时所获利润最大，最大利润是元．
【解析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可；
（2）设所获利润（元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解.
【详解】
解：当且为整数时，
当且为整数时， ;
当且为整数时，；
设所获利润（元），
当且为整数时，
元，
当且为整数时，w=480 ,
∴当且为整数时，




当时，最大，最大值为元．
答：一次批发件时所获利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键.
29．（2019·湖北中考真题）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x千克，付款金额为y元．
（1）求y关于x函数解析式；
（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？
【答案】（1）①当0≤x≤5时，y=20x；②当x>5，y=16x+20；（2）一次购买玉米种子30千克，需付款500元；
【解析】（1）根据题意，得①当0≤x≤5时，y=20x；②当x＞5，y=20×0.8（x-5）+20×5=16x+20；
（2）把x=30代入y=16x+20，即可求解.
【详解】
解：（1）根据题意，得
①当时，；
②当，；
（2）把代入，
；
一次购买玉米种子千克，需付款元.
【点睛】本题考查一次函数的应用；能够根据题意准确列出关系式，利用代入法求函数值是解题的关键．
30．（2019·江苏中考真题）小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果．经了解，一次性批发这种水果不得少于，超过时，所有这种水果的批发单价均为3元．图中折线表示批发单价（元）与质量的函数关系．

（1）求图中线段所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【答案】（1）；（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
【解析】（1）设线段所在直线的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；
（2）设小李共批发水果吨，则单价为，根据“单价、数量与总价的关系列方程解答即可”．
【详解】
（1）设线段所在直线的函数表达式为，根据题意得，
，解得，
∴线段所在直线的函数表达式为；
（2）设小李共批发水果吨，则单价为，
根据题意得：，
解得或400，
经检验，，（不合题意，舍去）都是原方程的根．
答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
31．（2019·江苏中考真题）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点．甲从中山路上点出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发时，甲、乙两人与点的距离分别为、．已知、与之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【答案】（1）甲的速度为，乙的速度为．（2）当时，甲、乙两人之间的距离最短．
【解析】(1)设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；
(2)设甲、乙之间距离为，由勾股定理可得，根据二次函数最值即可得出结论．
【详解】
(1)设甲、乙两人的速度分别为，，甲从B到A用时为p分钟，则：
，
，
由图②知： 或时，，
则有，解得： ，
p=1200÷240=5，
答：甲的速度为，乙的速度为；
(2)设甲、乙之间距离为，
则，
当时，的最小值为，即的最小值为，
答：当时，甲、乙两人之间的距离最短．
【点睛】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．
32．（2019·宁夏中考真题）将直角三角板按如图1放置，直角顶点与坐标原点重合，直角边、分别与轴和轴重合，其中．将此三角板沿轴向下平移，当点平移到原点时运动停止．设平移的距离为，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为，关于的函数图象（如图2所示）与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）试确定三角板的面积；
（2）求平移前边所在直线的解析式；
（3）求关于的函数关系式，并写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】与m轴相交于点，可知，；
设AB的解析式，将点，代入即可；
在移动过程中，则，所以，；当时，，即可求
【详解】
解：（1）∵与轴相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
设的解析式，
∴，
∴，
∴；
（3）在移动过程中，则，
∴
当时，，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到是解题的关键．
33．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在的延长线上，轴，垂足为，与反比例函数的图象相交于点，连接，．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点的坐标为，求线段的长．

【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）把点A（3，2）代入反比例函数y=，即可求出函数解析式；
（2）直线OA的关系式可求，由于点C（a，0），可以表示点B、D的坐标，根据
S△ACD=，建立方程可以解出a的值，进而求出BD的长．
【详解】
解：

（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数；
答：反比例函数的关系式为：；
（2）过点作，垂足为，连接，
设直线的关系式为，将代入得，，
∴直线的关系式为，
∵点，把代入，得：，把代入，得：，
∴），即，
，即
∵，
∴，即，解得：，
∴；
答：线段的长为3．
【点睛】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法．
34．（2019·湖北中考真题）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：
有机蔬菜种类
进价（元/ ）
售价（元/ ）
甲

16
乙

18
（1）该超市购进甲种蔬菜10和乙种蔬菜5需要170元；购进甲种蔬菜6和乙种蔬菜10需要200元．求，的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20，且不大于70．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额（元）与购进甲种蔬菜的数量（）之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求的最大值．
【答案】（1）的值是10，的值是14；（2）；（3）的最大值是1.8．
【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值，然后再根据题意，即可得到关于a的不等式，即可求得a的最大值，本题得以解决．
【详解】
（1）由题意可得，
，解得，，
答：的值是10，的值是14；
（2）当时，

当时，

由上可得，；
（3）当时，，则当时，取得最大值，此时，
当时，，则，
由上可得，当时，取得最大值，此时，
∵在（2）的条件下，超市在获得的利润额（元）取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，且要保证捐款后的盈利率不低于20%，
∴，
解得，，
即的最大值是1.8．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
35．（2019·湖南中考真题）在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．
（1）当x为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．

【答案】（1）当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．
【解析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当x为何值时，两人第一次相遇；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程．
【详解】
（1）甲的速度为：100÷4＝250米/分钟，
令250x＝150（x），
解得，x＝0.75，
答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；
（2）当x＝5时，
乙行驶的路程为：150×（5）＝825＜1000，
∴甲乙第二次相遇的时间为：55（分钟），
则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（55）×250＝1109.375（米），
答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
36．（2019·湖北中考真题）为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机.
（1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元
（2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【答案】（1）今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【解析】(1)直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机，分别得出方程求出答案；
(2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【详解】
(1)设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；
(2)设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套，
由题意可得：，
解得：，
设明年需投入万元，

，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最小值，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．
37．（2019·黑龙江中考真题）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，求有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）购买一个甲种文具元，一个乙种文具元（2）有种购买方案（3）购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元
【解析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得：
，解得，
答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；
（2）根据题意得：
，
解得，
是整数，

有种购买方案；
（3），
，
随的增大而增大，
当时，（元），
．
答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少资金是元．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于列出方程
38．（2019·黑龙江中考真题）小明放学后从学校回家，出发分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程（米）与小强所用时间（分钟）之间的函数图象如图所示．
（1）求函数图象中的值；
（2）求小强的速度；
（3）求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【答案】（1）900（2）60，65（3）
【解析】（1）根据“小明的路程=小明的速度×小明步行的时间”即可求解；
（2）根据a的值可以得出小强步行12分钟的路程，再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；
（3）由（2）可知点B的坐标，再运用待定系数法解答即可．
【详解】
（1）；
（2）小明的速度为：（米/分），
小强的速度为： （米/分）；
（3）由题意得，
设所在的直线的解析式为：，
把、代入得：
，解得，
线段所在的直线的解析式为y．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组
39．（2019·湖北中考真题）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示．已知草莓的产销投入总成本（万元）与产量x（吨）之间满足．
（1）直接写出草莓销售单价（万元）与产量（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润（万元）与产量（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润（万元）不低于万元，产量至少要达到多少吨？

【答案】（1）；（2）；（3）产量至少要达到吨．
【解析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；
（2）利用w＝yx﹣p和（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；
（3）把（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．
【详解】
解：（1）当时，；
当时，设，
把，代入得，解得，
；
当时，；
当时，；
；
当时，；
当时，，当时，的最大值为，不合题意；
当时，，当时，的最大值为，不合题意；
当时，，当时，的最大值为，此时，解得，
所以产量至少要达到吨．
【点睛】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．
40．（2019·湖北中考真题）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过分钟，不收费；超过分钟，不超过分钟，计小时，收费元；超过小时后，超过小时的部分按每小时元收费（不足小时，按小时计）．
（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车小时分钟，应交停车费________元．若李先生也在该停、车场停车，支付停车费元，则停车场按________小时（填整数）计时收费．
（2）当取整数且时，求该停车场停车费（单位：元）关于停车计时（单位：小时）的函数解析式．
【答案】（1）；； （2）
【解析】（1）根据题意可知，停车小时分钟，则超出设计以小时计算；支付停车费元，则超出时间为（小时），所以停车场按小时计时收费；
（2）根据题意即可得出停车场停车费（单位：元）关于停车计时（单位：小时）的函数解析式．
【详解】
（1）若市民张先生某次在该停车场停车小时分钟，应交停车费为：（元）；若李先生也在该停车场停车，支付停车费元，则超出时间为（小时），所以停车场按小时计时收费．
故答案为：；；
（2）当取整数且时，该停车场停车费（单位：元）关于停车计时（单位：小时）的函数解析式为：，
即．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解公共停车场的收费标准分为规定时间的费用+超过规定时间的费用．