中考数学二轮复习解答题培优专题02 等腰三角形的存在性问题(含解析)

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专题二 等腰三角形的存在性问题
【考题研究】
近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么 ；③如图3，如果CA＝CB，那么 ．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
【解题类型及其思路】
解题类型：
动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题
背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景
解题思路：
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
【典例指引】
类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】
典例指引1．
抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D的坐标；
（3）直线 (﹣3＜＜﹣1)与x轴相交于点H．与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形.
【解析】试题分析：（1）把B、C的坐标代入，解方程组即可得到结论；
（2）令y=0，求出A、B的坐标，设直线AD交y轴于点N，求出求直线AN的解析式， 与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D的坐标；
（3）求出直线AM、AC的解析式，当x=t时，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，由HE+EF﹣FP=＞0， 得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．
试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B、C，∴ ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）令y=0，得： ，解得： ， ，∴A（﹣3，0），B（1，0），
设直线AD交y轴于点N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），
可求直线AN的解析式为y=x+3，
联立，解得： 或，∴D的坐标为（2，5）；
（3）M（﹣1，﹣4），
可求直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
∵当x=t时，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）
∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，
∵HE+EF﹣FP=＞0，
∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．
【名师点睛】
本题是二次函数的综合题，难度较大．解答第（2）问的关键是：利用∠DAB=45°，找出直线AN与y轴交点的坐标；解答第（3）问的关键是：用含t的代数式表示出HE，HF，HP，EF的长．
【举一反三】
（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时，点E坐标为（-，）．
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，
∴
解得：.
∴所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3；
(2)∵抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，
∴其对称轴为，
∴设P点坐标为(−1,a)，当x=0时，y=3，
∴C(0,3),M(−1,0)
∴当CP=PM时,(−1)2+(3−a)2=a2,解得a=，
∴P点坐标为：；
∴当CM=PM时,(−1)2+32=a2,解得，
∴P点坐标为：或；
∴当CM=CP时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6，
∴P点坐标为：P4 (−1,6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(−1,6)或；
(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,−a2−2a+3)(−3
∴EF=−a2−2a+3，BF=a+3，OF=−a
∴


∴当a=时,S四边形BOCE最大,且最大值为.
此时,点E坐标为.
类型二 【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】
典例指引2．
（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.
（l）求抛物线的表达式；
（2）如图l，若点为第二象限抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标；
（3）如图2，在轴上是否存在一点使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）最大值为，点坐标为；（3）存在符合条件的点，其坐标为或，或或
【解析】
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入解析式即可得到答案；
（2）设，过点作轴于点，利用求出解析式即得到面积的最大值及点E的坐标；
（3）存在，分以点C、A为顶点及线段AC为底边三种情况，分别求出点D的坐标即可.
【详解】
解：（1）由题知：
，解得：
∴所求抛物线表达式为
（2）过点作轴于点
设
∴，，，
∴



∴当时，最大，且最大值为.
当时，
此时，点坐标为

（3）连接
①当点为顶点，时，此时为底边的垂直平分线，
满足条件的点，与点关于轴对称，
∴点坐标为
②当点为顶点，时，在中，
∵，，由勾股定理得：，
以点为圆心，的长为半径作弧，交轴于两点，即为满足条件的点，
此时它们的坐标分别为，
③当为底边时，线段的垂直平分线与轴的交点，即为满足条件的点，
设垂直的垂直平分线交轴于点，过中点，
∵，
∴
∴
∴，，
，，，
点的坐标为
综上所述存在符合条件的点，其坐标为或，或或
【名师点睛】
此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，最值问题的确定需将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案；（3）是图形中存在等腰三角形问题，此类问题需分三种情况进行讨论，依次求出点的坐标.
【举一反三】
（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；（3）点Q有坐标为（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
【解析】
【分析】
（1）将A，B，C的坐标代入函数y＝ax2+bx+c即可；
（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；
（3）此问要分BQ＝BF，QB＝QF，FB＝FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．
【详解】
（1）将A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函数y＝ax2+bx+c，
得，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x﹣8；
（2）如图1中，
作FN∥y轴交BC于N，
将B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，
得，k＝﹣1，
∴yBC＝﹣x﹣8，
设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC
＝FN×8
＝4FN
＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]
＝﹣2m2﹣16m
＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∴点F的坐标是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2﹣1，
当BQ＝BF时，
由题意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，
解得，m1＝，m2＝
∴Q1（0，），Q2（0，）；
②如图2﹣2，
当QB＝QF时，
由题意可列，82+m2＝（m+12）2+42，
解题，m＝﹣4，
∴Q3（0，﹣4）；
③如图2﹣3，
当FB＝FQ时，
由题意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，
解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
设直线BF的解析式为y＝kx+b，
将B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）代入，
得，
解得，k＝﹣3，b＝﹣24，
∴yBF＝﹣3x﹣24，
当x＝0时，y＝﹣24，
∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴点Q有坐标为（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．
类型三 【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】
典例指引3．
（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．
【解析】
【分析】
（1）设平移后抛物线的解析式y=x2+bx，将点A（8，0）代入，根据待定系数法即可求得平移后抛物线的解析式，再根据割补法由三角形面积公式即可求解；
（2）作NQ垂直于x轴于点Q，
①分当MN=AN时，当AM=AN时，当MN=MA时，三种情况讨论可得△MAN为等腰三角形时t的值；
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，得xN的最小值为6，此时t=3，PN取最小值为．
【详解】
（1）设平移后抛物线的解析式，
将点A（8，,0）代入，得=，
所以顶点B（4,3），
所以S阴影=OC•CB=12；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得
，解得：，
所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，
解得：
t＝12（舍去）；
当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,
故；
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，
由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，
又因为0＜xN＜8，
所以xN的最小值为6，此时t=3，
当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．
【名师点睛】
本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、等腰三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数学结合的数学思想方法.
【举一反三】
如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？
（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）点D为OC的中点时，线段EF最长（3）当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）由于已知抛物线与x轴交点坐标，则设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再设E（t，-t+3），接着表示出D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的长，再利用二次函数的性质确定EF最大时的t的值，从而判断点D是否为OC的中点；
（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F（t，-t2+2t+3）和利用两点间的距离公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分类讨论：当CD=CF或FC=FD或DC=DF时得到关于t的方程，接着分别解关于t的方程即可．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；
（2）他猜想正确．理由如下：
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得，则直线BC的解析式为y=﹣x+3，
设E（t，﹣t+3），则D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），
所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，
当t=时，EF最大，最大值为，
此时D点坐标为（0，），
所以点D为OC的中点时，线段EF最长；
（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F（t，﹣t2+2t+3），
∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2 ， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2 ， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2 ，
当CD=CF时，即t2=t2+（﹣t2+2t）2 ， 解得t1=0，t2=2；
当FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=；
当DC=DF时，即t2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=3；
综上所述，当t=2或或3时，△CDF为等腰三角形．
 
【新题训练】
1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．

（1）线段OA所在直线的函数解析式是　 ；
（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．
（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x；（2）当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)
【详解】
解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，
所以直线OA的解析式为y=2x；
故答案为y=2x；
（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），
∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，
当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，
∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），
∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1
∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；
（3）存在，理由如下：
当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），
∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，
当OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此时Q点坐标为（0，5﹣2）；
当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；
当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=﹣m，
∵OQ∥AB，
∴∠QOF=∠BAO，
∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，
∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣2）或（0，﹣8）．


2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.
【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．
【详解】
（1）当中y=0时，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）．
当中x=0时，则y=3，∴C（0，3）．
∵=，∴顶点D（﹣1，4）．
（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示．
∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．
设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）．
（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3．
假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：
①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）；
②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0）
∵点P在抛物线上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）；
③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）．
综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝x2＋bx＋c交于第四象限的F点．

（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过
点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．
【答案】（1）y＝x2＋2x＋3，F(6，-3) （2） ①有，t=3；②，，1，
【详解】
（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C

∴∴∴y＝x2＋2x＋3
设直线AD的解析式为
∵A(4，0)、D(2，3) ∴∴
∴
∵F点在第四象限，∴F(6，-3)
（2）∵E(0，6) ∴CE=CO
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时， EP+PH+HF的值最小.
设直线CF的解析式为
∵C(0，3)、F(6，-3) ∴∴∴
当y=0时，x=3，∴H′(3，0) ∴CP=3 ∴t=3
如图1，过M作MN⊥OA交OA于N
∵△AMN∽△AEO，∴
∴∴AN=t，MN=
I．如图1，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=PH ∴MN=∴t=1
II．如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，
，，
（舍去），
III．如图3．如图4，当PH=PM时，PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，
，25t2-100t+64=0，
∴，，1，

5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
【详解】
（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【详解】
（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN•AG+PN•BM
=PN•（AG+BM）
=PN•OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）△PDE为等腰直角三角形，
则PE=PD，
点P（m，-m2+2m+6），
函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，
则PE=|2m-4|，
即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，
解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）
故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．
8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．
【详解】
（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形.
【详解】
解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴,
解得,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1， 4）
设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有,
解得,
∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6,
∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）
=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；
（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC为等腰三角形,
CM=，CN=，MN=
①当CM=NC时，，
解得x1=，x2=1（舍去）
此时N（，），
②当CM=MN时，，
解得x1=1+，x2=1-舍去），
此时N（1+，4﹣）.
③当CN=MN时，,
解得x=2，此时N（2，2）．
10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
【详解】
（1）将A，B，C代入函数解析式，
得，解得，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，解得，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，
当n=时，PM最大=；
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，
n2﹣2n﹣3=-3，
P（2，-3）；
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，
n2﹣2n﹣3=2-4，
P（3-，2-4）；
综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）所求抛物线的函数表达式为；（2）的面积有最大值是，此时点坐标为；（3）存在点坐标为或或或.
【详解】
解（1）点在直线上，
，
点坐标为，
点和点在抛物线上，
，
解得，
所求抛物线的函数表达式为；
（2）过点作轴于点，交于点，
设点的横坐标为，
则点的坐标为，
点的坐标为，
点是位于直线上方，
.
的面积

,
抛物线开口向下，又，
当时，
的面积有最大值，
最大值是.
此时点坐标为；

（3）存在点坐标为或或或.
12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，﹣4）；（3）．
【详解】
（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．
令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．
（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．
将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．
13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）P点的坐标为，的最大值为；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．
【详解】
（1）设抛物线的解析式为，
由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
由，令x=2，则y=－3，∴点G为（2，－3），
设直线AG为，∴，解得：，即直线AG为，
设P（x，），则F（x，－x－1），PF．
∵，
∴当时，△APG的面积最大，此时P点的坐标为，
（3）存在．
∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x=1对称，
设点M为（，）且，∴，
当∠QMN=90°，且MN=MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x轴，
∴，即或，
解得，（舍）或，（舍），
∴点M为（，）或（，），∴点Q为（，0）或（，0），
当∠QNM=90°，且MN=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，同理可求点Q为（－，0）或（，0），
当∠NQM=90°，且MQ=NQ时，△MNQ为等腰直角三角形，
过Q作QE⊥MN于点E，则QE=MN，，
∵方程有解，∴由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），
综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．

14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得
解得
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入

解得
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．
∴P（1+，﹣2）
15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；
（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）抛物线的对称轴x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面积为12；（3）点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．
【详解】
（1）对于抛物线y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，
∴B（﹣2，0），A（6，0），
令x＝0，得到y＝6，
∴C（0，6），
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝2，A（6，0）．
（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，
∴抛物线的顶点坐标D（2，8），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得

解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
将x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4
∴F（2，4），
∴DF＝4，
∴＝＝12；
（3）①如图1，过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，

∵A（6，0），C（0，6），
∴OA＝OC＝6，
∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°
∴CP＝AP，△OEP为等腰直角三角形，
∴此时AC为等腰三角形ACP的底边，OE＝PE＝2．
∴P（2，2），
②如图2，过点C作CP⊥DE于点P，

∵OC＝6，DE＝8，
∴PD＝DE﹣PE＝2，
∴PD＝PC，
此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴P（2，6），
③如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，

则PD＝PA，
设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴PE＝8﹣5=3，
∴P（2，3），
综上所述：点P的坐标为（2，2）或（2，6）或（2，3）．
16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；
（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)
【详解】
解：（1）∵二次函数的图象经过原点，
∴设二次函数的解析式为y＝ax2+bx，
将A（4，4），B（5，0）代入，
得，
解得，a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x；
（2）设直线OA的解析式为y＝ax，
将A（4，4）代入，
得，a＝1，
∴yOA＝x，
∵PD⊥x轴，D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m
＝﹣m2+4m
＝﹣（m﹣2）2+4，
根据二次函数的图象及性质可知，当m＝2时，PC有最大值，其最大值为4；
（3）存在，理由如下：
如图，当射线OP平分∠AOy时，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥OA于点N，
则PM＝PN，
∵点C在直线yOA＝x上，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD＝∠PCN＝45°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，
∴PN＝（﹣m2+4m）＝﹣m2+2m，
∵P（m，﹣m2+5m），
∴PM＝m，
∵PM＝PN，
∴m＝﹣m2+2m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
（4）存在，理由如下：
∵∠PCO＝180°﹣∠OCD＝135°，
∴当△PCO为等腰三角形时，只存在PC＝OC一种情况，
由（2）知，PC＝﹣m2+4m，OC＝OD＝m，
∴﹣m2+4m＝m，
解得，m1＝0（舍去），m2＝4﹣，
∴当m＝4﹣时，﹣m2+5m＝2+3，
∴P（4﹣，2+3）．

17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且AD＝CA，连接CD．
（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当△PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；
（2）将过点D的直线绕点D旋转，设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N，当△CMN为等腰三角形时，直接写出CM的长．

【答案】（1）；（2）CM的长为或或．
【详解】
解：（1）当y＝0时，，
解得：x1＝﹣3，x2＝4，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
∵x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
设OD＝m，则AD＝m+3，
在Rt△AOC中，有AC2＝AO2+OC2，
∴（m+3）2＝32+42，
解得：m1＝2，m＝2﹣8
∴D（2，0），
如图1，设点P（m，n），

S△PCD＝S△PCO+S△POD﹣S△COD
＝
=
=
＝；
∵a＝﹣＜0，则面积有最大值，
∴m＝时，有最大值，
∴P（，）；
如图2，过点D作DH⊥CB，△DHB为等腰直角三角形，则DB＝2，

∴DH＝BH＝，
∵BC＝，
∴CH＝，
∴tan∠DCH＝.
过点P作PG⊥CD交BC于Q，则PG＝PQ+CQ，
∴CD直线解析式为：y＝﹣2x+4；
设G（m，﹣2m+4），
作GM⊥CO，PN⊥GM，垂足分别为M、N，可知△CMG∽△PGN，
∴，
∴，
解得：，
∵△CDO∽△GPN，
∴，
∴GP＝，
∴PQ+CQ的最小值为；
（2）如图3，过点M1作M1H⊥AB，

设直线L解析式为y＝kx+b，
将（2，0）代入得：b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k
①当CM1＝CN1
∴ON1＝﹣2k，CN1＝4+2k，AM1＝1﹣2k
∵△AM1H∽△AOC
∴，
∴，
∴AH＝（1﹣2k），M1H＝，
∴M1（，），
代入y＝kx﹣2k得
＝k（）﹣2k
解得k1＝﹣2，k2＝，
∴CM＝4+2k＝；
②当CN2＝MN2时，如图4

过A作AP∥BD，设AP直线解析式为y＝kx+b，
将点A代入，﹣3k+b＝0，
∴b＝3k，
∴AP＝＝，
∴CO＝+3k＝4
∴k＝，
∴DM直线解析式为：，
联立，解得
∴CM＝；
③当M3C＝M3N3时，如图5：

在x正半轴上取点Q（3，0），
∴CQ解析式为，
过点D作DM3∥CQ，
∴DM3的解析式为，
联立，
解得，
∴M3（，），
∴CM3＝；
综上所述：CM的长为：或或．
18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A,B ( A在B的左侧)
(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线 .
①点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， );
②求抛物线的函数表达式;
(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若是等腰直角三角形，求点P的坐标.

【答案】（1）①A（-5,0），B（-1,0）；②；（2）P（1,1）；
【详解】
（1）①∵抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线 ，
∴点A(-5，0)，点B(-1，0)；
②把A(-5，0)，B(-1，0)代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式是：；
（2）∵平移后的抛物线经过点O，
∴设平移后的抛物线的解析式为：，（b>0），
∴点C的坐标是（b，0），点P的坐标是（，），
∵是等腰直角三角形，
∴=，解得：b=2或b=0（舍去），
∴点P的坐标是：（1，1）.