(人教版)中考数学一轮复习知识点梳理+单元达标卷25 概率初步（含解析）

专题25 概率初步

知识点1：确定事件和随机事件

（1）必然事件和不可能事件统称确定性事件。

必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。

不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。

（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

随机事件发生的可能性：

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

知识点2：概率

(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。

(2)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率。

（3）事件和概率的表示方法：

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

知识点3：确定事件和随机事件的概率之间的关系

（1）确定事件概率

当A是必然发生的事件时，P（A）=1

当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0                          1概率的值

不可能发生                      必然发生

事件发生的可能性越来越大

知识点4：求概率的方法

1.列表法求概率

（1）列表法。用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

（2）列表法的应用场合。当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

2.树状图法求概率

（1）树状图法。就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

（2）运用树状图法求概率的条件。当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

知识点5：利用频率估计概率

1.利用频率估计概率。在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3.随机数。在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

 本章内容要求学生了解事件的可能性，在探究交流中学习体验概率在生活中的乐趣和实用性，学会计算概率。记忆并理解本章思维导图。

【例题1】（浙江丽水）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据概率公式直接求解即可．

∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，

∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是＝。

【例题2】（浙江湖州）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两次摸球的所有可能的结果如表所示，

则两次摸出的球都是红球的概率是　　．

【答案】．

【解析】根据图表可知共有9种等可能的结果，再找出两次摸出的球都是红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为。

【例题3】（•泰州）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是　　．（精确到0.01），由此估出红球有　　个．

（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．

【答案】见解析。

【解析】（1）观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．

故答案为：0.33，2；

（2）画树状图为：

由图可知，共有9种等可能的结果数，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果数为4，

所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．

《概率初步》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（•武汉）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

根据题意画图如下：

共用12种等情况数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有2种，

则恰好选中甲、乙两位选手的概率是

2．（•北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．

列表如下：

由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，

所以两次记录的数字之和为3的概率为

3．（•襄阳）下列说法正确的是（　　）

A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 

B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件 

C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨 

D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定

【答案】D

【解析】根据随机时间的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

A.“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；

B.汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；

C.襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；

D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确.

4．（•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　）

A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 

B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 

C．第一次摸出的球是红球的概率是 

D．两次摸出的球都是红球的概率是

【答案】A

【解析】根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．

A.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；

B.第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；

C.∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；

D.共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确.

5．（•临沂）从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出恰好抽到马鸣和杨豪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

根据题意画图如下：

共有12种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有2种，

则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是

6．（•达州）下列说法正确的是（　　）

A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 

B．确定事件一定会发生 

C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98             

D．数据6、5、8、7、2的中位数是6

【答案】D

【解析】根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求解可得．

A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；

B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；

C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；

D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确.

7．（•株洲）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．

根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，

故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：．

8.（浙江温州）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可．

从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=．

二、填空题（每空3分，共42分）

9．（•宜昌）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为　　．（结果要求保留两位小数）

【答案】0.99

【解析】根据抽检某一产品件，发现产品合格的频率已达到0.9911，所以估计合格件数的概率为0.99，问题得解．

∵抽检某一产品件，发现产品合格的频率已达到0.9911，

∴依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，

10．（•张家界）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是　  　．

【答案】．

【解析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．

全班共有学生30+24＝54（人），

其中男生30人，

则这班选中一名男生当值日班长的概率是．

11．（•随州）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为　  　．

【答案】．

【解析】利用三角形中位线定理得出S△PMNS△DEFS△ABC，根据米粒落在图中阴影部分的概率即为阴影部分与三角形的面积比即可得．

∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，

∴S△DEFS△ABC，

又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，

∴S△PMNS△DEFS△ABC，

∴米粒落在图中阴影部分的概率为

12．（•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是　   　．

【答案】．

【解析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．

利用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，

∴P（小聪和小慧）

13．（•福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　  　．

【答案】．

【解析】直接利用概率公式求解可得．

∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，

∴甲被选到的概率为

14．（•黑龙江）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为　  　．

【答案】．

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．

画树状图如图所示：

∵共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，

∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为

15．（•武威）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有　　个．

【答案】17

【解析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．

通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，

∵假设有x个红球，

∴0.85，

解得：x＝17，

经检验x＝17是分式方程的解，

∴口袋中有红球约有17个．

16．（•天津）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　   　．

【答案】．

【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，

∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．

17．（•襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为　　   ．

【答案】．

【解析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，

∴这一卦中恰有2根和1根的概率为

18．（•贵阳）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是　　．

【答案】．

【解析】随着试验次数的增多，变化趋势接近于理论上的概率．

在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是．

19．（•滨州）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为　　．

【答案】．

【解析】利用完全列举法展示所有可能的结果数，再利用三角形三边的关系得到组成三角形的结果数，然后根据概率公式计算．

3，5，8，10，13，从中任取三根，所有情况为：3、5、8；3、5、10；3、5、13；3、8、10；3、8、13；3，10，13；5、8、10；5、8、13；5、10、13；8、10、13；

共有10种等可能的结果数，其中可以组成三角形的结果数为4，所以可以组成三角形的概率．

20．（•黑龙江）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为　　．

【答案】．

【解析】直接利用概率公式计算可得．

∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，

∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为

21．（•河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．

【答案】．

【解析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．

自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：

共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，

∴P（两次颜色相同）

22．（•聊城）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　　．

【答案】．

【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．

画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，

所以抽到同一类书籍的概率为

三、解答题（6个小题，每题9分，共54分）

23.（浙江台州）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）．

（1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．

（2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？

（3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？

【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人

【解析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断；

（2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；

（3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．

解：（1）“直播”教学方式学生参与度更高：

理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数，

∴“直播”教学方式学生的参与度更高；[来源:Z|xx|k.Com]

（2）12÷40=0.3=30%，

答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%；

（3）“录播”总学生数为800×=200（人），

“直播”总学生数为800×=600（人），

∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人），

“直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人），

∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）．

【点拨】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键．

24．（•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．

（1）小红的爸爸被分到B组的概率是　　；

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

【答案】见解析。

【解析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，

∴P（他与小红爸爸在同一组）．

25．（•淮安）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．

（1）第一次摸到字母A的概率为　　；

（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．

【答案】见解析。

【解析】（1）共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，

因此第1次摸到A的概率为，

故答案为：；

（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中从左到右能构成“OK”的只有1种，

∴P（组成OK）．

26．（•扬州）防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．

（1）小明从A测温通道通过的概率是　　；

（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．

【答案】见解析。

【解析】（1）小明从A测温通道通过的概率是，

故答案为：；

（2）列表格如下：

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，

所以小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为．

27．（•南京）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点中随机选择2个景点游览．

（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率；

（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是　　．

【答案】见解析。

【解析】甲选择的2个景点所有可能出现的结果如下：

（1）共有6种可能出现的结果，其中选择A、B的有2种，

∴P（A、B）；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，

∴P（景点相同）．

故答案为：．

28．（•连云港）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．

（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是　　；

（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率．

【答案】见解析。

【解析】（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物的概率为；

故答案为：；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中选中“化学”“生物”的有2种，

∴P（化学生物）．