2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高三下学期4月月考数学（理）试题含答案

这是一份2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高三下学期4月月考数学（理）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学高三下学期4月月考数学（理）试题 一、单选题1．设集合，则集合中的元素个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】解集合A中的二次不等式即可求解.【详解】，故=，故选：A.2．已知（为虚数单位），则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】按照复数运算法则，以及复数相等的原理即可.【详解】 ，所以 ；故选：D.3．若向量，满足，，，则，的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，设，的夹角为，由向量数量积的定义计算可得的值，结合的范围即可求解.【详解】因为，所以，即，设，的夹角为，则，将，代入可得，所以，因为，所以，故选：A.4．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（    ）A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值【答案】A【解析】利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值.【详解】由数列为等差数列，且，得，故数列为递增数列，且，所以有最小值，无最大值，故选：A.5．已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：抛物线：的准线方程为，由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于.故选：B6．执行如图所示的程序框图, 如果输入的是, 那么输出的是A．1 B．24 C．120 D．720【答案】C【分析】根据程序框图依次计算即可得出答案.【详解】；，，；，，；，，；，，；，，；故选：C.7．如图，一长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝3，E∈ AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，G∈A1B1，则G到平面D1EF的距离是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题现将G到平面D1EF的距离转化为A1到平面D1EF的距离，再在图形中确定A1到平面D1EF的距离为，最后在中求解即可.【详解】解：∵ E∈AA1，F∈BB1，AE＝BF＝1，∴ ，∵G∈A1B1∴ G到平面D1EF的距离即是A1到平面D1EF的距离在平面A1ADD1中，过点A1作交 于点，如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵ 平面，∴ ,又∵ ,∴∴ A1到平面D1EF的距离为，在中，∵， ，∴ ,∴ G到平面D1EF的距离为：故选：A.【点睛】本题考查点到平面的距离，也可用等体积法解题，是基础题.8．已知数列是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，且成等差数列，则（　　）A． B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】设等比数列的公比为，且不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．【详解】数列是公比不为l的等比数列，满足，即且成等差数列，得，即，解得，则．故选C．【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．已知点在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得，从而可得球心在过中点与面垂直的直线上，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，由四面体体积的最大值为10，求出，再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表面积【详解】解：由，可得，所以，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面积为，故选：B．【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球； ③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.10．某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为(　　)A． B． C． D．【答案】B【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥,从而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故选B.点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解为四个互斥事件, P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).11．对于函数，给出如下四个结论：（1）这个函数的值域为； （2）这个函数在区间上单调递减；（3）这个函数图象具有中心对称性； （4）这个函数至少存在两个零点.其中正确结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】求导根据导数小于零得到（2）正确，计算得到（3）正确，计算，，，得到（4）正确，再计算值域得到（1）正确，得到答案.【详解】，，当时，，函数单调递减，（2）正确；，，故函数关于点中心对称，（3）正确；，，故函数在上有零点，同理，，故函数在上有零点，故（4）正确；当时，，当时，，且函数有零点，故（1）正确；故选：.【点睛】本题考查了函数值域，对称中心，单调性，零点问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.12．关于函数，下列判断正确的是（    ）①是的极大值点②函数有且只有1个零点    ③存在正实数，使得成立    ④对任意两个正实数，且，若，则A．①④ B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.【详解】解：对于①，由，求导得，令，解得，可得下表： 极小值则为函数的极小值点，故①错误；对于②，由，求导得：，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，故函数有且只有1个零点，故②正确；对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，令，求导得，令，则，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，，，在上单调递减，无最小值，不存在正实数，使得恒成立，故③错误；对于④，令，则，，令，则，在上单调递减，则，即，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，显然成立，故④正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度. 二、填空题13．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为          ．(结果用数值表示)【答案】55【分析】先计算所有的情况，排除不满足的情况得到答案.【详解】总共有种情况，排除全是男生的1种情况，共有种情况故答案为：【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.14．的三个顶点的坐标分别是，则的外接圆的标准方程是    ．【答案】【分析】设出圆的一般方程为，利用待定系数法，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，从而得出圆的一般方程，再根据圆的一般方程和标准方程的互化，即可得出答案.【详解】解：设所求圆的一般方程为：，则圆经过三点，，解得：，则所求圆的一般方程为：，所以的外接圆的标准方程是：.故答案为：.15．函数的最小正周期为     ．【答案】【分析】利用的最小正周期，即可得出结论．【详解】函数的最小正周期为，故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．的最小正周期为.16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是      ．【答案】【分析】将零点问题转化为函数的与的交点个数问题，画出两函数的图象，利用导函数求出当直线与相切时的的值，数形结合求出实数的取值范围.【详解】作出函数的与图象如图：当时，，则，当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，故当时，函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；当为的切线时，即，解得，即切点为，代入得，令当过原点时，，所以由图象可知：当时，满足函数与恰有三个交点，故恰有三个零点；综上的取值范围是．故答案为： 三、解答题17．在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）当时，求的面积【答案】（1）     （2）【分析】（1）根据正弦定理，化简等式可得关于角的关系式，结合正弦和角公式求解．（2）根据三角形面积公式，代入即可求得三角形面积．【详解】（1），由正弦定理得：，，即，在中， ，∴，∴ ，；（2）因为当，且，所以由三角形面积得.18．已知如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面，为上一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明出平面，可得出，利用余弦定理结合勾股定理可证得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，则.因为平面，平面，所以.又，所以平面，平面，所以.因为，，所以.因为平面，平面，则，因为四边形为正方形，则，，所以平面.因为平面，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以.又，所以平面；（2）以为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，则点、、、，，，，.设平面的法向量为，则由，令，得.设平面的法向量为，则由，取，得.，由图易知二面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.19．某校高一年级新入学360名学生，其中200名男生，160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：5.06.07.07.58.08.44.03.54.54.35.04.03.02.54.01.66.06.55.55.73.15.24.45.06.43.57.04.03.03.46.94.85.65.05.66.53.06.07.06.6     （1）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居中地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；（2）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值. 【答案】（1）能住宿；（2）.【解析】（1）因为200名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生样本中有2名男生能住宿．样本数据中距离为8.4km和8km的男生可以住宿，距离为7.5km以下的男生不可以住宿，从而男生甲能住宿；（2）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人．由此能求出所有样本数据平均值．【详解】（l）能住宿.因为200名男生中有10名男生住校，所以抽取的40名男生中约有2名男生住校.由样本数据可知，距离为和的男生住校，距离为以下的男生不住校，由于，所以男生甲住宿.（2）根据分层随机抽样的原则，应抽取32名女生.因为男生样本数据的平均数为，女生样本数据的平均数为，所以所有样本数据的平均数为.所以可估计总体数据的平均数为.【点睛】本题考查样本数据的平均值，考查运算求解能力，是基础题．20．设椭圆过点，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹与无关．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据点在椭圆上和离心率，分别建立方程，然后解出，即可；（2）根据，，，四点共线和点，都在椭圆上建立方程，通过化简后得到关于点的轨迹为，即点的轨迹与无关.【详解】（1）由题意解可得：解得：，故椭圆方程为：（2）设点，，，，，由题设．又，，，四点共线，可得：，则有：  （1） （2）由于，，，在椭圆上，将（1），（2）分别代入的方程，整理得：（3）（4）由（4）（3）可得：又，则有：故有：点总在定直线上即点的轨迹与无关21．已知函数，．(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论关于x的方程的实根个数．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）由a＝2，利用导数的几何意义求解；（2）由得到，令，利用导数法求解.【详解】（1）当a＝2时，，，则切线的斜率为，又，所以曲线在处的切线方程是，即．（2）即为，化简得，令，则，令，则，令，得．当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减．①当时，，即，所以在R上单调递减．又，所以有唯一零点0；②当时，，，所以存在，，又，令，，所以在上单调递减，，即，所以存在，，xnm－0＋ －单调递减 单调递增 单调递减则，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点（方程的根），一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题（方程的根）转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线相切于点(点位于第一象限)，且与直线相交于点，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）消去参数，得到直角坐标方程，将代入直角坐标方程可求解；（2）联立射线与曲线的极坐标方程，只有一个解，故得到从而求出射线方程和，再与直线方程联立求出，从而求得.【详解】解:（1）消去可得将代入该方程，可得直线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为（2）在极坐标系中，联立'可得因为射线与曲线相切，所以，即，又点位于第一象限，即所以联立解得，即所以【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23．已知a，b，c是正数，求证：对任意R，不等式恒成立．【答案】证明见解析【分析】利用基本不等式求得的最小值；再利用绝对值三角不等式求得的最大值，即可证明.【详解】对于正数a，b，c，由均值不等式得，当且仅当a＝b＝c时取“＝”，任意，由绝对值不等式得当且仅当x≤﹣1时取“＝”，∴对任意，都有不等式成立．当且时取得等号.即证.【点睛】本题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属基础题．