2023届吉林省长春外国语学校高三上学期开学数学试题含答案

2023届吉林省长春外国语学校高三上学期开学数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.

【详解】因为，所以，则，

又因为，则，所以，

所以.

故选：B.

2．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得曲线在点处的切线的斜率为，即，求导后再代值计算即可.

【详解】解：因为直线的斜率为，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

即，

又因为，

所以，解得.

故选：A.

3．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（    ）

A． B．2 C．0 D．5

【答案】D

【分析】由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和，可求得结果.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以，

所以的周期为6，

所以

，

故选：D

4．下列命题正确的是（     ）

A．“” 的否定为假命题

B．若，则

C．若“”为真命题，则

D．的必要不充分条件是

【答案】B

【分析】A选项，先写出存在性命题的否定命题，然后得到，A正确；B选项，由基本不等式得到；C选项，考虑与，结合根的判别式得到答案；D选项，举出反例得到充分性不成立，由推出，必要性成立，

【详解】A选项，“” 的否定是“”，

因为，所以，为真命题，A错误；

B选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，

即，解得或（舍去），

故，B正确；

C选项，若“”为真命题，当时，，不对任意恒成立，不合要求，

当时，则，解得，

综上所述，，C错误；

D选项，，若，则不能得到，充分性不成立，

若，则，故，必要性成立，D正确.

故选：B

5．甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，由此求出密码被译出的概率

【详解】依题意，设乙单独破译密码的概率为，

因为密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，

所以，则.

故选：A

6．已知函数，则（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数的图象关于直线对称

C．若，但，则 D．函数有且仅有两个零点

【答案】A

【分析】画出的图象，数形结合得到ABD选项，不妨设，从而得到，计算出.

【详解】，

画出的图象如下，

A选项，函数在区间上单调递减，A正确；

B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；

C选项，若，但，不妨设，

则，即，

由于在上单调递增，

故，即，C错误；

D选项，由图象可知，函数有且仅有一个零点，D错误.

故选：A

7．随机变量服从正态分布，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，

则，，

，且，，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

故选：D.

8．已知函数与都在区间上有意义，若函数在上至少有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则可取的值是（    ）

A． B．0 C． D．1

【答案】C

【分析】根据新定义，将与在上是“关联函数”，转化为与在上至少有两个不同的交点，作出两个函数的图象，数形结合判断即可.

【详解】根据新定义，将与在上是“关联函数”，转化为与在上至少有两个不同的交点.

在上，，

当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象没有交点，故A错误；

当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有1个交点，故B错误；

当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有2个交点，故C正确；

当时，，又 ，作出这两个函数在上的图象，

由图可知，两个函数在上的图象有1个交点，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】令可判断选项A；由二项式的通项可求出而可判断选项B；令，可判断选项C，D.

【详解】令，可得，A正确.

，所以，B正确.

令，可得①，则，C正确.

令，可得②，①－②可得，

所以，D错误.

故选：ABC.

10．已知函数，则（    ）

A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称

C．函数的值域为 D．函数是减函数

【答案】AC

【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D.

【详解】的定义域为，，则，

所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；

，因为,所以,，

所以,故的值域为,C正确；

设,则

,

因为，所以，

所以,即，

所以函数是增函数，故D错误，

故选:AC.

11．下列命题中正确是（    ）

A．在回归分析中，可用相关系数的值判断模型拟合效果，越趋近于0，模型的拟合效果越好

B．已知随机变量，若，则

C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少0.3个单位

D．已知采用分层抽样得到的高三年级100名男生､50名女生的身高情况为：男生样本平均数173，女生样本平均数164，则总体样本平均数为170

【答案】CD

【分析】根据相关指数的定义判断A，根据二项分布的方差公式及方差的性质判断B，根据回归方程的定义判断C，根据平均数公式判断D.

【详解】对于A：在回归分析中，可用相关指数的值判断模型拟合效果，越趋近于，模型的拟合效果越好，故A错误；

对于B：因为，所以，则，解得，故B错误；

对于C：在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，

响应变量将平均减少个单位，故C正确；

对于D：分层抽样的平均数，故D正确；

故选：CD.

12．用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件A表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（    ）

A．每100人必有1人患有新冠

B．若某人没患新冠，则其核算检测为阴性的概率为

C．若，某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为

D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为

【答案】BD

【分析】根据条件概率，对立事件的概率的性质逐个分析判断

【详解】对于A，由，可知每100人中可能有2人患有新冠，所以A错误，

对于B，因为，所以若某人没患新冠，则其核算检测为阴性的概率为，所以B正确，

对于C，由，知若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，所以C错误，

对于D，因为，，所以若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，所以D正确，

故选：BD

三、填空题

13．不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解.

【详解】不等式等价于，即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：.

14．设随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差          .

【答案】

【分析】由分布列的性质以及等差中项，结合均值的计算即可求解，由方差公式即可求解.

【详解】成等差数列，,由变量的分布列，

知：，解得，

.

故答案为：

15．为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有             .

【答案】36

【分析】根据已知对四位同学分3组，根据分组分配方法求解即可．

【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学选，，三门德育校本课程，

每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，则三组人数为1、1、2，此时有种.

故答案为：．

16．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为      .

【答案】

【分析】根据事件的全概率公式求解.

【详解】该运动员担当中锋，不输球的概率为，

该运动员担当边锋，不输球的概率为，

该运动员担当前腰，不输球的概率为，

所以该球队某场比赛不输球的概率为，

故答案为:.

四、解答题

17．函数对任意的都有,并且时，恒有.

(1).求证：在R上是增函数；

(2).若解不等式

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】（1）利用函数的单调性的定义，结合已知条件转化，证明f（x）在R上是增函数；

（2）利用已知条件通过f（3）＝4，求出2＝f（1），然后利用函数的单调性解不等式f（a2+a﹣5）＜2．

【详解】(1).设,且,则,所以

即,所以是R上的增函数.

(2).因为,不妨设,所以,即，，所以.

，因为在R上为增函数，所以得到,

即.

【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性证明以及函数的单调性的应用，考查计算能力．

18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．

(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．

（参考公式，）

(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少百万?

【答案】(1)

(2)8百万

【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和回归直线方程的公式，即可求解.

（2）将代入回归直线方程中，即可求解.

【详解】（1）由表中的数据可得，，

，

，

，

故利润额y对销售额x的回归直线方程为；

（2）∵该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，即0.8千万，

∴，解得，故预计销售额需要达到8百万．

19．已知函数.

(1)若在处的切线过原点，求切线的方程；

(2)令，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义，利用导数以及直线的点斜式方程求解.

（2）对函数进行求导，通过导数的正负确定函数的单调性，从而求出函数的最值，证明不等式即可.

【详解】（1）∵，∴在处的切线的斜率为.

又在曲线上，在处的切线过原点，

∴，解得.

∴切线的方程为，即.

（2）证明：∵，

∴，

由有：，由有：，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的最大值为，

∴.

20．第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；

(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1求出的值，再由频数=频率×概率得出“普法王者”的人数；

（2）由题意得的取值为0，1，2，3，求出对应概率，可得的分布列.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，

解得，成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，

则“普法王者”的频率为，

则该校参赛人数达20000人中“普法王者”人数为.

（2）随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，

则的取值为0，1，2，3，

由（1）知，从中任取一人是“普法王者”的概率为，不是“普法王者”的概率为，

则，，

，；

故的分布列为：

21．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为，，，且每次抽奖的结果相互独立.

(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期望.

(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人.

完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”.

附：，.

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关

【分析】（1）由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的分布列，从而求得数学期望；

（2）由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可.

【详解】（1）由题意可得的所有可能取值为，

，

，

，

，

，

则X的分布列为

故.

（2）由题意可得列联表如下：

所有，

查表可得，

因为，

所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.

22．已知函数（e是自然对数的底数）.

(1)当时，求的极值点；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值点为，无极大值点.

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）求导即可得函数单调性进而可求极值点，

（2）根据和两种情况，即可根据导数正负求解单调性，

（3）将式子变形为有两个零点，构造函数，求导即可结合零点存在性定理求解.

【详解】（1）当时，,则.

当时，，此时函数递减，当时，，此时函数递增，

所以极小值点为，无极大值点.

（2）求导

①当时，，在上递增

②当时，

当时，，在上递减，

当时，，此时函数在上递增.

（3）等价于有两个零点，

令，则在时恒成立，所以在时单调递增，故，

所以有两个零点，等价于有两个零点.

因为 ，

①当时，，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意舍去，

②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，

所以.

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点.

若，得，因为，，，

所以在，上各存在一个零点，符合题意，

综上，的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：

(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；

(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.