河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试理科数学试题（Word版含答案）

河南省名校联盟2021-2022学年上学期高三第一次诊断考试

理科数学试卷

满分150分，时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设是空间中两条不同的直线，是平面，已知，则是的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件   C．充要条件  D．既非充分也非必要条件

3．在等比数列中，，，则（    ）

A．8 B．16 C．-8 D．-16

4．若，则的值为（    ）

A．或        B．        C．         D．或

5．若实数，满足约束条件则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知向量， ，若，则实数m=（    ）

A． 1 B．-1 C． D．5

7．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边

的.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓就是黄金矩形（如下图所示）.则图中的余弦值等于（    ）

A．         B．          

C．         D．

9．已知函数图象上在点处的切线的斜率为，若，则函数在原点附近的图象大致为（    ）

A．        B．

C．          D．
10．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，､分别为圆､圆

上的点，若异面直线，所成的角为，则（    ）

A．     B． C．2或      D．2或

11．已知定义域为函数满足，且在区间上单调递

增，如果，且，则的值（    ）

A．可正可负 B．恒为正 C．可能为0 D．恒为负

12. 已知实数满足：，则（    ）

A．        B．        C． D．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知平面向量，，若，则_______.

14．设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则______.

15．已知下面四种几何体：①圆锥，②圆台，③三棱锥，④四棱锥，如图所示，某几何体的正视图与侧视图均是等腰三角形，则该几何体可能是___________（将符合条件的几何体编号都填上）.

16．将函数的图像向右平移个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，则的解析式_________，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为________．

    B．  C． D．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分。

17．(12分)

正项数列{an}满足：a－(2n－1)an－2n＝0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

18．(12分)

如图，在中，，，，为内一点，．

(1)若，求；

(2)若，求．

19．(12分)

如图，正方形所在平面与等边所在平面互相垂直，设平面与平面相交于直线．

(1)求直线与直线所成角的大小；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

20．(12分)

已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）．当点与椭圆的上顶点重合时，．

(1)求的方程．

(2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

21．(12分)

已知函数．其中

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若对于任意，都有恒成立，求的取值范围．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数）．

(1)求和的直角坐标方程；

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

23.[选修4-5：不等式选讲](10分)

设，，．

(1)证明：；           (2)证明：．

理科数学答案

 1-12  ABDAA   BCCAC   BD 

13.   14．  15．①③④   16．       

17.解：(1)由a－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.

(2)由an＝2n，bn＝，则bn＝＝，

Tn＝＝＝.

18.解：(1)在中，，，．在中，余弦定理得．

(2)设，在中，．在中，由正弦定理得，即，化为．．

19．解：（1）四边形为正方形，，平面，平面，

平面，又平面，且平面平面直线，，

四边形为正方形，，故与所成角的大小是；

（2）分别取、的中点、，连接，

由为等边三角形，可知，由四边形为正方形，知，

平面平面，平面平面，

且平面，平面，

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，0，，，，，，0，，

于是，0，，，，，，0，，

设平面的一个法向量为，，，

由，取，可得，1，；

设平面的一个法向量为；

由，取，可得，2，．

．由图二面角为锐二面角，则其余弦值为．

20．解：(1)点与椭圆的上顶点重合时，，．

又椭圆离心率为，，即可得，椭圆方程为：．

(2)证明：设直线的方程为，联立得，

设，，，，则，

又，，，，

，即为定值．

21．解：(1)当时，，，

在上单调递增，又（1），当时，，

当时，，的单调减区间为，单调增区间为．

(2)设，则，

，

在上单调递减，又（1），

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，（1），

即在上恒成立，当且仅当时取等号．

由(1)可知，，显然当时，取任何数都成立，

当时，，即，恒成

立，恒成立，．所以的取值范围是，．

22．解：（1）由为参数），消去参数，得，

即曲线的直角坐标方程为，由为参数），

当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为．

当时，可得直线的参数方程为；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

整理可得：．①

曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，，

则，故，解得．的斜率为2．

声明：试题

解析23．证明：(1)因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以，即．

(2)由(1)可知，所以

当且仅当时取等号，所以．