中考数学二轮精品专题复习 专题15 导数中同构与放缩的应用(原卷版)

专题15　导数中同构与放缩的应用

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．

当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，

考点一　部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）

【方法总结】

在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有

再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)

(3)，

(4)，

(6)，

再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论

(7)，．

，．

(8)，

，

(9)，

，

【例题选讲】

[例1]　(1)已知，则函数的最大值为________．

(2)函数的最小值是________．

(3)函数的最小值是________．

[例2]　(1)不等式恒成立，则实数a的最大值是________．

(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．

(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．

(4)已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．

(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．

[例3]　(2020届太原二模)已知函数.

(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

【对点精练】

1．函数的最小值为________．

2．函数的最小值为________．

3．函数的最大值是________．

4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

7．已知a，b分别满足，则ab＝________．

8．已知x0是函数的零点，则________．

考点二　整体同构携手脱衣法

【方法总结】

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．

1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）

(1) >k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数；

(2) <(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)＋y＝f(x)＋为减函数；

含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）

2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）

(1)积型：

如，，后面的转化同(1)

说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．

(2)商型：

(3)和差：

如；．

3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）

(1)；

(2)

；

(3)．

【例题选讲】

[例4]　(1)若，则

A．　B．　C．　D．

(2)若，都有成立，则a的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e

(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．

[例5]　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

[例6]　(1)已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

(2)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

(3)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．

(4)已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

(5)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．

(6)已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

[例7]　已知函数.

(1)判断在上的单调性；

(2)若，证明：．

[例8]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

【对点精练】

1．已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有

成立，则实数m的取值范围是________．

2．已知函数，，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a

的取值范围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

3．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

4．对方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

5．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为________．

7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围

是________．

8．已知对任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为________．

9．已知，不等式，对任意的实数恒成立，则实数a的最小值是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

10．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．