山东省青岛市2024届高三上学期期初调研检测数学试题

2023年高三年级期初调研检测

数学试题

2023.08

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则（    ）

A.2 B.4 C.8 D.16

3.设，，若，则（    ）

A.5 B. C.20 D.25

4.已知某设备的使用年限（年）与年维护费用（千元）的对应数据如下表：

由所给数据分析可知：与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为，则（    ）

A. B. C. D.

5.记为等比数列的前项和，且，，，成等比数列，则（    ）

A.256 B.254 C.128 D.126

6.若函数为奇函数，则（    ）

A. B.0 C.1 D.

7.设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，则（    ）

A.1 B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数据的（    ）

A.众数是19 B.平均数是16 C.中位数是15 D.方差是44

10.已知的展开式的各二项式系数的和为256，则（    ）

A.  B.展开式中的系数为

C.展开式中常数项为16  D.展开式中所有项的系数和为1

11.正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为，则（    ）

A.正四棱锥的体积为 B.侧棱与底面所成角为

C.其外接球的半径为 D.其内切球的半径为

12.已知函数，则（    ）

A.是的极大值点

B.有且只有1个零点

C.存在正实数，使得对于任意成立

D.若，，则

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.函数的最小正周期为，则__________.

14.已知圆：，直线过.若直线与圆相交于，两点，且，写出满足上面条件的一条直线的方程__________.

15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为__________海里.

16.椭圆：与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连结这四个点，所得的四边形的面积为，且的离心率为，则的长轴长为__________；直线：与交于，两点，若以为直径的圆过点，则的值为__________.（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）

中，已知内角，，所对的边分别为，，，.

（1）求的大小；

（2）若，，求的面积.

18.（12分）

在长方体中，，，与交于点，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.

19.（12分）

已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点为第一象限，且纵坐䏡为，求的面积.

20.（12分）

已知数列中，，，数列是公差为1的等差数列.

（1）求的通项公式：

（2）若，求数列的行前项和.

21.（12分）

某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.

（1）求；

（2）当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；

（3）当时，证明：.

22.（12分）

已知，函数.

（1）若，求在点处的切线方程；

（2）求证：；

（3）若为的极值点.点在国上.求.

2023年高三年级期初调研检测

数学参考答案及评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

C　B　A　B　　D　C　A　C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.AB　　10.ABD　　11.BCD　　12.BD

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.1 14.写出或中的一个即可

15. 16.（1）；（2）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步驟.

17.（10分）

解：（1）因为，

所以，

因为，所以

所以，

（2）因为，，，

又

由正弦定理

所以

18.（12分）

解：（1）证明：因为平面，平面，所以

因为为正方形，所以，

因为，，平面

所以平面

（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，；

，，，

设平面的法向量为，则，取

设平面的法向量为，则

，取

所以，平面与平面的夹角的余弦值为

19.（12分）

解：（1）设点的坐标为，

因为，，所以，

化简得：

所以的方程为：

（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，

与联立得：，

因为，且，

解得：且，

因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，

所以，

解得或（舍去），

所以直线为

所以，

所以

点到直线的距离

所以

20.（12分）

解：（1）因为数列是公差为1的等差数列，

因为，，所以

所以

所以，，，……，

所以

所以

所以

因为适合上式，

所以

（2）因为

所以

21.（12分）

解：（1）乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后，事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为，

（2）由题意知，的可能取值为1，2，3，

，，

，

的分布列如下：

（3）证明：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为；

其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为.

所以，当时，

所以

22.（12分）

解：（1），，

因为，，

因为，即切点为

在点处的切线方程为：

（2）证明：因为（，），

设函数，则（，），

所以在上单调递增

又因为，，所以存在，使得，

即，

所以，当时，，在上单单递减；

当时，，在上单调递增；

所以

令，，

则，

所以，在上单调递减，在上单调递增；

所以，，

所以，的图象在的上方，且与唯一交点为，

所以，

（3）因为直线为圆的切线，切点为

显然，圆在直线的下方

又因为，且点在圆上，

所以，