中考数学二轮复习重难点题型突破新定义型（含解析）

这是一份中考数学二轮复习重难点题型突破新定义型（含解析），共10页。试卷主要包含了有这样一个问题，问题呈现，定义等内容，欢迎下载使用。
类型一 新定义型例1、对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6．（1）计算：F(243)，F(617);（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6．∵F(t)＋F(s)＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴或或，∴或或，∴k＝＝或k＝＝1或k＝＝∴k的最大值为．例2、如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合）（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系． 【解答】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE(ASA);(2)△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）作AG⊥BD于G，如图所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝＝在Rt△ABG中＝∴＝．例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y＝与y＝≠0）的图象性质．小明根据学习函数的经验，对函数y＝与y＝当k＞0时的图象性质进行了探究．下面是小明的探究过程：（1）如图所示，设函数y＝与y＝图象的交点为A，B，已知A点的坐标为(－k，－1)，则B点的坐标为________；（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM＝PN．证明过程如下：设直线PA的解析式为y＝ax＋b(a≠0）．则 ，解得 ________∴直线PA的解析式为________请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．②当P点坐标为(1，k)(k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积． 【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，∵A点的坐标为(－k，－1)，∴B点的坐标为(k，1)．故答案为：(k，1)．（2）①证明过程如下，设直线PA的解析式为y＝ax＋b(a≠0）．则，解得：，∴直线PA的解析式为y＝．当y＝0时，x＝m－k，∴M点的坐标为(m－k，0)．过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，∵P点坐标为∴H点的坐标为(m，0)，∴MH＝＝m－(m－k)＝k．同理可得：HN＝k．∴MH＝HN，∴PM＝PN．故答案为：；y＝．②由①可知，在△PMN中，PM＝PN，∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k．当P点坐标为(1，k)时，PH＝k，∴MH＝HN＝PH，∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°，∴△PAB为直角三角形．当k＞1时，如图1，＝＝＝＝当0＜k＜1时，如图2，＝＝＝＝．例4、问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD．（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点、、、得到矩形．如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG＞AE)，经过探索，发现：2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形．如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG＜AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝求EG的长．（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值． 【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝DG，∴四边形AEGD是矩形，∴＝S四边形EFGH，同理＝S矩形BEGC，∴S四边形EFGH＝＝S矩形ABCD． 实验探究：结论：2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形．理由：∵ =， =， =， =，∴S四边形EFGH=+++﹣，∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形． 迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形，∴S矩形=25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=．（2）∵2 S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形．∴四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大．①如图5－1中，当G与C重合时，四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形面积＝＝②如图5－2中，当G与D重合时，四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形面积＝2﹒1＝2，∵∴四边形EFGH的面积最大值＝．例5、定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是点N的坐标是时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是点N的坐标是(2，0)时，求△MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．  【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD＝＝∴∠MON＝60°，∵当点M的坐标是点N的坐标是∴∠MNO＝90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝∴OD＝OPcos60°＝＝＝OP﹒sin60°＝＝∴（2）作MH⊥x轴于H，如图3所示：∵点M的坐标是点N的坐标是(2，0)，∴OM＝＝直线OM的解析式为y＝＝2，∠MOH＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO＝PN，OQ＝＝1，∵P的横坐标为1，∴y＝＝∴②如图4所示：由勾股定理得：MN＝＝2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴＝即＝解得：PN＝即P的纵坐标为代入y＝得：＝解得：x＝2，∴综上所述：△MON的自相似点的坐标为或（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点理由如下：∵∴OM＝＝ON，∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△MON的内部，∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．