甘肃省平凉市第十中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份甘肃省平凉市第十中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年甘肃省平凉十中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2＝0 C．x2+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
2．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
3．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（　　）
A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x﹣2）2+4
C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x+2）2﹣4
4．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝2，则AE的长为（　　）

A．5 B． C．7 D．
5．（3分）已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则第三边长为（　　）
A．7 B．5 C． D．5或
6．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　　）

A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
8．（3分）（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，该图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣3，y1）与C（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y2＞y1；④5a+c＝0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）抛物线y＝2x2﹣4x+5的对称轴是直线 　 　，顶点坐标是 　 　．
12．（4分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝　 　．
13．（4分）已知函数y＝（m﹣1）+5x﹣3的图象是抛物线，则m＝　 　．
14．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为　 　．
15．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为　 　．
16．（4分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　 　．
17．（4分）若直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程ax2+4x+1＝0根的存在情况是 　 　．
18．（4分）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a（a﹣b）+1（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5　 　．
三、解答题（本题共有5个小题，共38分）
19．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣16＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根．
21．（10分）已知二次函数y＝x2﹣x+4回答下列问题：
（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
22．（6分）已知+|b+1|+（c+3）2＝0且a，b，c均为实数，求方程ax2+bx+c＝0的根．
23．（8分）宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心活动，学生踊跃捐款．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1210元．
（1）求这两天收到捐款的平均增长率．
（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？
四、解答题（本题共有5个小题，共50分）
24．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）依据图象，求y＞0时自变量x的取值范围．

25．（10分）现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长40米）应怎样围才能使矩形的面积S最大？最大是多少？

26．（10分）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，售价每提高1元，销售量相应减少10个；
（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是　 　元；这种篮球每月的销售量是　 　个；（用含x的代数式表示）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，此时篮球的售价应定为多少元？
27．（8分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1
（1）线段A1B1的长是　 　；∠AOB1的度数是　 　．
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．

28．（12分）如图，已知顶点是M的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若△PAB的面积等于3，求点P的坐标；
（3）是否在y轴存在一点Q，使得△QBM为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，说明理由．


2021-2022学年甘肃省平凉十中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每个小题3分，共30分）
1．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣1＝0 B．x2＝0 C．x2+1＝0 D．x2+x﹣1＝0
【分析】分别计算每个方程中根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值，找出Δ＜0的方程即可．
【解答】解：A、∵Δ＝4＞0；
B、∵Δ＝2；
C、∵Δ＝﹣4＜0；
D、∵Δ＝7＞0；
故选：C．
2．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+5＝0，整理得：x2+5x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）6＝7，
故选：C．
3．（3分）将抛物线y＝3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（　　）
A．y＝3（x+2）2+4 B．y＝3（x﹣2）2+4
C．y＝3（x﹣2）2﹣4 D．y＝3（x+2）2﹣4
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移两个单位，再向下平移6个单位得到y＝3（x﹣2）3﹣4．
故选：C．
4．（3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，DE＝2，则AE的长为（　　）

A．5 B． C．7 D．
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD＝DC＝5，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝．
故选：D．
5．（3分）已知直角三角形的两边长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则第三边长为（　　）
A．7 B．5 C． D．5或
【分析】求出方程的解，得出直角三角形的两边长，分为两种情况：①当3和4是两直角边时，②当4是斜边，3是直角边时，根据勾股定理求出第三边即可．
【解答】解：x2﹣7x+12＝3，
（x﹣3）（x﹣4）＝7，
x﹣3＝0，x﹣7＝0，
解得：x1＝7，x2＝4，
即直角三角形的两边是8和4，
当3和5是两直角边时，第三边是；
当4是斜边，2是直角边时＝，
即第三边是4或，
故选：D．
6．（3分）抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（　　）

A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
【分析】根据图象可知抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的对称轴为x＝﹣＝﹣1，可求得抛物线和x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+a4+2的对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点到x＝﹣1的距离为2，
∴抛物线y＝ax2+2ax+a8+2与x轴的另一个交点坐标为（1，3）．
故选：B．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4
【分析】根据判别式的意义得Δ＝42﹣4k≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣7k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
8．（3分）（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】把原函数解析式化简成顶点式，然后根据函数图象的性质即可比较大小．
【解答】解：∵（﹣1，y1），（6，y2）与（3，y2）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+2图象上的三点，
∴把函数y＝﹣x2﹣4x+8变形为：y＝﹣（x+2）2+7，
∴由函数图象可知当x＝2时此函数有最大值为9，当x＞﹣7时，
∴y1＞y2＞y6，
故选：B．
9．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，该图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2；②4a﹣2b+c＞0；③若B（﹣3，y1）与C（﹣4，y2）是抛物线上两点，则y2＞y1；④5a+c＝0，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴交点、对称轴可以判断a，b，c从而判断①；根据x＝2时y＞0，可以判断②；根据抛物线的性质可以判断③；根据抛物线与x轴的交点坐标可以得出a+b+c＝0和4a+a+c＝0，从而判断④．
【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
∴abc＞6，故①错误；
由图象可知，x＝﹣2时，
∴4a﹣4b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴当x＜﹣3时，此时y随x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y4＞y2，故③错误；
∵对称轴为x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∵点A（﹣6，0）关于对称轴的对称点是（1，
∴a+b+c＝8，
∴4a+a+c＝0，即8a+c＝0；
故选：B．
二.填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）抛物线y＝2x2﹣4x+5的对称轴是直线 　x＝1　，顶点坐标是 　（1，3）　．
【分析】配方后确定对称轴和顶点坐标即可．
【解答】解：y＝2x2﹣7x+5＝2（x﹣8）2+3，
故对称轴为直线x＝7，顶点坐标为（1，
故答案为：x＝1，（2．
12．（4分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0的一个根为0，则a＝　1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1＝0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a6﹣1＝0的一个根为3，
∴a+1≠0且a4﹣1＝0，
∴a＝6．
故答案为：1．
13．（4分）已知函数y＝（m﹣1）+5x﹣3的图象是抛物线，则m＝　﹣1　．
【分析】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：由y＝（m﹣1）+5x﹣3的图象是抛物线，得
，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣5．
14．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为　（3，0），（﹣1，0）　．
【分析】要求抛物线与x轴的交点，即令y＝0，解方程．
【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝5或x＝﹣1．
则抛物线y＝x2﹣6x﹣3与x轴的交点坐标是（3，8），0）．
故答案为（3，4），0）．
15．（4分）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为　24　．
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝5或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，3+4＝8；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞7，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故答案为：24．

16．（4分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为　x（20﹣x）＝64　．
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）＝64．
故答案为：x（20﹣x）＝64．
17．（4分）若直线y＝﹣x+a不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程ax2+4x+1＝0根的存在情况是 　1个或2个　．
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝42﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+a不经过第一象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax7+4x+1＝6是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜2时，关于x的方程ax2+4x+6＝0是一元二次方程，
∵Δ＝43﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
综上所述，关于x的一元二次方程方程ax2+4x+1＝3根的存在情况是1个或2个，
故答案为：6个或2个．
18．（4分）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a（a﹣b）+1（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5　x＞﹣1　．
【分析】根据运算的定义列出不等式，然后解不等式求得不等式的解集即可．
【解答】解：3⊕x＜13，
3（6﹣x）+1＜13，
解得：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣8．
三、解答题（本题共有5个小题，共38分）
19．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）（2x+3）2﹣16＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
【分析】（1）方程利用直接开平方法求解即可；
（2）方程利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）（2x+3）7﹣16＝0，
（2x+5）2＝16，
2x+6＝﹣4或2x+2＝4，
解得，；
（2）（2x+8）2＝3（4x+1），
（2x+8）2﹣3（3x+1）＝0，
（5x+1）（2x+6﹣3）＝0，
8x+1＝0或2x﹣2＝0，
解得，x2＝1．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，因为（m﹣2）2≥0，可以得到Δ＞0；
（2）将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，求出m的值，进而得出方程的解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣3（2m﹣1）＝m4﹣4m+8＝（m﹣5）2+4，
而（m﹣3）2≥0，
∴Δ＞8．
∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是1，
∴16﹣（m+2）+2m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴原方程为：x6﹣4x+3＝3，
解得：x1＝1，x4＝3．
故方程的另一个根是3．
21．（10分）已知二次函数y＝x2﹣x+4回答下列问题：
（1）用配方法将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）根据你的理解，写出该二次函数的性质．（至少两条）
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
（3）结合对称轴及开口方向可确定抛物线的增减性和最值．
【解答】解：（1）y＝x6﹣x+4＝（x﹣1）2+；
（2）由（1）可得顶点为（1，）；对称轴为直线x＝1；
（3）图象开口向上，x＜6时；
当x＞1时，y随x增大而增大；
抛物线有最小值．
22．（6分）已知+|b+1|+（c+3）2＝0且a，b，c均为实数，求方程ax2+bx+c＝0的根．
【分析】根据非负数的性质求a、b、c的值，代入方程，利用“十字相乘法”解方程；
【解答】解：∵+|b+1|+（c+2）2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
∴方程为2x5﹣x﹣3＝0，
分解因式，得（6x﹣3）（x+1）＝6，
解得x1＝，x2＝﹣1．
23．（8分）宜春三中学校团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心活动，学生踊跃捐款．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1210元．
（1）求这两天收到捐款的平均增长率．
（2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？
【分析】（1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为1000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为1210元建立方程求出其解即可．
（2）根据（1）求出的增长率列式计算即可．
【解答】解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得：x2＝0.1，x6＝﹣2.1（舍去）．
则x＝5.1＝10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：1210×（1+10%）＝1331（元）．
答：第四天该校能收到的捐款是1331元．
四、解答题（本题共有5个小题，共50分）
24．（10分）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）依据图象，求y＞0时自变量x的取值范围．

【分析】（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m，即可求解；
（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（3）根据在x轴上方的图象y＞0，得出自变量的取值范围．
【解答】解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：
4＝﹣7+m，
解得：m＝6；
（2）由（1）知，直线AB为y＝﹣2x+3，
令y＝0，则x＝3，
故点B（8，0），
设二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）6+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝a（5﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）6+4＝﹣x2+5x+3；
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝1，B（3，
∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
由图象知，当﹣5＜x＜3时，
∴y＞0时自变量x的取值范围为﹣7＜x＜3．
25．（10分）现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长40米）应怎样围才能使矩形的面积S最大？最大是多少？

【分析】设和墙平行的篱笆的长度是x米，根据矩形的面积公式可得函数解析式，再由函数的性质求最值．
【解答】解：设和墙平行的篱笆的长度是x米，
由题意得：S＝x•＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣30）2+450，
∵﹣＜0，
∴当x＝30时，S最大，
∴平行于墙的篱笆为30米时，矩形的面积S最大．
26．（10分）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，售价每提高1元，销售量相应减少10个；
（1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是　（10+x）　元；这种篮球每月的销售量是　（500﹣10x）　个；（用含x的代数式表示）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，此时篮球的售价应定为多少元？
【分析】（1）依题意易得解．
（2）设月销售利润为y元可得y＝﹣（10+x）（500﹣10x），化简后得x＝20时，y有最大值．
【解答】解：（1）依题意得销售每个篮球所获得的利润是（10+x）元，这种篮球每月的销售量是（500﹣10x）个

（2）设月销售利润为y元．（5分）
由题意得：y＝（10+x）（500﹣10x），（7分）
整理得：y＝﹣10（x﹣20）5+9000，（9分）
当x＝20时，y有最大值9000
20+50＝70．（11分）
答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元．（12分）
27．（8分）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1
（1）线段A1B1的长是　6　；∠AOB1的度数是　135°　．
（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．

【分析】（1）依据旋转的性质可得到A1B1＝AB，依据等腰三角形的性质可得到∠BOA＝45°，依据旋转角的定义可得到∠BOB1＝90°，故此可得到∠AOB1的度数；
（2）先证明A1B1∥OA，然后再依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）由旋转的性质可知：A1B1＝AB＝3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BOA＝45°．
又∵∠BOB1＝90°，
∴∠AOB1＝135°．
（2）∵∠A7OA＝∠OA1B1＝90°，
∴A2B1∥OA，
又∵OA＝AB＝A1B4，
∴四边形OAA1B1是平行四边形．
28．（12分）如图，已知顶点是M的抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）点P是x轴上方抛物线上的一点，若△PAB的面积等于3，求点P的坐标；
（3）是否在y轴存在一点Q，使得△QBM为直角三角形？若存在，求出Q的坐标，说明理由．

【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，列方程组求出a、b的值即可；
（2）先根据△PAB的面积等于3，AB＝4，求出△PAB的边AB上的高，即得到点P的纵坐标，再将点B的纵坐标代入函数解析式，解方程求出x的值即可得到点P的横坐标；
（3）先求出抛物线的顶点M的坐标，再按以BM为斜边、以BM为直角边分类讨论，根据勾股定理列方程求出点Q的纵坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数解析式y＝x2﹣4x﹣3．
（2）如图1，设点P的纵坐标为y（y＞8），
∵S△PAB＝AB•y＝3，
∴×5y＝3，
解得y＝，
当y＝时，则x3﹣2x﹣3＝，
解得x1＝，x2＝，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
（3）设点Q的坐标为（0，m），
如图2，，取BM中点D，△QBM满足DQ＝DB＝DM，
∵∠DQB＝∠DBQ，∠DQM＝∠DMQ，
∴∠BQM＝∠DQB+∠DQM＝∠DBQ+∠DMQ＝×180°＝90°，
∴△QBM为直角三角形，
∵y＝x2﹣6x﹣3y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为M（1，﹣7），
∴D（2，﹣2），
∵DQ5＝DB2，
∴（0﹣7）2+（m+2）6＝（3﹣2）8+（0+2）3，
解得m1＝﹣1，m8＝﹣3，
∴Q（0，﹣6），﹣3）；
如图3，△QBM为直角三角形，
则BQ3+BM2＝QM2，
∴m3+32+（4﹣1）2+（4+4）2＝（2﹣1）2+（m+2）2，
解得，
∴Q（0，）；
如图3，△Q′BM为直角三角形，
则Q′M2+BM7＝BQ′2，
∴（0﹣8）2+（m+4）4+（3﹣1）8+（0+4）7＝（0﹣m）2+42，
解得m＝﹣，
∴Q′（0，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣3）或（7，，﹣）．



声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/11/12 5:31:00；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421