中考数学二轮复习第07讲 一元二次方程（易错点梳理+微练习）（含解析）

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第07讲  一元二次方程易错点梳理 易错点01  忽略一元二次方程中这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。易错点02  利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。易错点03  利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定，然后再代入公式。易错点04  根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定。易错点05  列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。考向01  一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（    ）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【思路分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；【解析】解：将x=-2代入原方程得到：，解关于k的一元二次方程得：k=0或4，故选：B．【点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选：【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.考向02  一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将两边开平方，得，则则另一个一元一次方程是．故选D．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程，配方后可形为（    ）A． B．C． D．【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：x2-8x=2，x2-8x+16=18，（x-4）2=18．故选：A．【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03  一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【答案】A【思路分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，∴，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】B【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m是一元二次方程的实数根，∴，∴，∴，∵m、n是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：B．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．考向04  列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，60（1-x）2=48.6，解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，解得a≥，∵a为整数，∴a的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为．根据题意，得．解得，（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（    ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ）A．0 B．±3 C．3 D．－3【答案】D【分析】解：∵，∴，由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，解得：m＝－3，故选：D．3．（2021·广西玉林·一模）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】解方程,分解因式，得 将代入，得．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】解：∵∴∵方程的一个根是，设另一个根为，则有： 解得， ，故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若，为方程的两根，则的值为（    ）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】解：，为方程的两根，．故选D．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣2【答案】A【分析】解：A、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A选项符合题意；B、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：A．7．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（    ）A．3 B．2 C．2或 D．2或3【答案】D【分析】解：由题意得，当抛物线与y轴有1个交点，与x轴只有1个交点时，则解得当图象过原点并和x轴有2个交点时，则
0= a−2故选：D．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线经过第一、三、四象限，则关于的方程实数解的个数是（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能【答案】C【分析】解：直线经过第一、三、四象限，∴a＜0，∴△，方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（    ）A．0.2% B．－2.2% C．20% D．220%【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x，由题意得2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝20%，x2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设每人每轮平均感染人，由题意得，x（x+1）+x+1=81，即．故答案为：．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（    ）A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元【答案】A【分析】解：设售价定为元时，每天赚取利润8000元，由已知得：，整理得：，解得：或∵尽量减少库存，∴，故选：A．12．（2021·河北桥东·二模）若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（    ）A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值C．有两个不相等的的值 D．无法确定【答案】C【分析】解：由题意，得，整理得，∵，∴方程有两个不相等的实数根，即，，故选C．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知是一元二次方程的解，则的值是___________．【答案】-2【分析】解：把x=1代入方程x2+x+c=0，可得1+1+c=0，解得c=-2．故答案是：-2．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a为一元二次方程的一个实数根，则______．【答案】6065【分析】解：∵a为一元二次方程的一个实数根，∴，∴，∴故答案为：6065．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知是方程的解，求_____________．【答案】2【分析】解：====∵是方程的解，∴，∴，解得：a=2或a=-3，∵a≠2，∴当a=-3时，原式=-（-3）-1=2，故答案为：2．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x2＝x的解为 ___．【答案】或【分析】，，，或；故答案是：或．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．【答案】或1【分析】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，又由题意得：，∴解得：∴，∴，，∴由求根公式得：，则原方程所有的解为： 或1，故答案为：或1．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．【答案】2【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：，∴或，解得：或，∵方程两个实数根都是整数且整数，∴为．∴最大值为2.故答案为：2．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）．    （2）．【答案】（1）x1=3，x2=（2）x1=，x2=1．【分析】（1）．    ∴x-3=0或2x-7=0解得x1=3，x2=（2）∴2x-3=0或x-1=0解得x1=，x2=1．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x(x﹣3)+x=3【答案】x1=3，x2=﹣【分析】解：移项，得2x（x-3）+（x-3）=0，提公因式，得（x-3）（2x+1）=0，解得x1=3，x2=-．21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：【答案】或【分析】∵∴ ∴ ∴或．22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x2﹣2x，请按照下列要求分别求值：（1）当x＝1时，代数式的值．（2）当5x2﹣2x＝0时，求x的值．【答案】（1）3；（2）0或．【分析】解：（1）当x＝1时，5x2﹣2x＝5﹣2＝3；（2）5x2﹣2x＝0，分解因式得：x（5x﹣2）＝0，可得x＝0或5x﹣2＝0，解得：x＝0或x＝．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）取，用配方法解这个一元二次方程．【答案】（１）且；（２），．【分析】解：（1）∵有实数根，∴；∴，解得：，∵，∴，∴的取值范围为且；（2）把代入，得，移项得：，系数化为1得：，配方得：，解得：，∴，．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了%，黄冠梨的进价减少了%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求的值．【答案】（1）8元；(2)50【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x元，黄冠梨每千克的进价为（x+2）元，所以5000x+2000（x+2）≤60000，解得：x≤8，答：黄花梨每千克进价最多为8元；（2）由（1）得： ，解得：=50，（舍去）答：得值为50.25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为（元），日销售量为（个）．（1）求与之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）销售单价应定为元；（3）销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元【分析】解：（1）根据题意，得：，即，∴y与x之间的函数关系式为；（2），，解，得，（不合题意，舍去），答：销售单价应定为元；（3）设日销售利润为元，根据题意，得     ，∵＜0，∴抛物线开口向下，有最大值，由已知，∴≤≤， ∴时，随的增大而增大，∴时，有最大值，，答：销售单价定为元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是元．