湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题

大联考长沙市一中2024届高三月考试卷（一）

数学

时量：120分钟 满分：150分

一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ）

A. ，有 B. ，有

C. ，使得 D. ，使得

2. 设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A. 5 B. 15 C. 25 D. 35

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

5. 已知非零向量，则下列命题错误是（    ）

A.

B.

C. 与向量共线的单位向量为

D. 记，则向量在向量上投影向量为

6. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：

甲：；

乙：；

丙：；

丁：

如果只有一个假命题，则该命题（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（    ）

A. 0 B.  C.  D. 2

二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 已知，则（    ）

A. 的展开式中没有常数项

B. 的展开式中系数最大的项是

C. 的展开式的二项式系数之和为128

D. 的展开式中各项的系数之和为1

10. 如图，与分别为圆台上､下底面直径，，若，则（    ）

A. 圆台的全面积为

B. 圆台的体积为

C. 圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为

D. 从点经过圆台的表面到点的最短距离为

11. 如图，直线与半径为1的圆相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，在旋转过程中，交于点，设为（其中），射线扫过的圆内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. 函数的单调递增区间为

C. 函数图象对称中心为

D. 函数在处的瞬时变化率最大

12. 已知数列满足，且对任意的正整数，都有，则下列说法正确的有（    ）

A.  B. 数列是等差数列

C.  D. 当为奇数时，

三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 已知两圆，若圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围为__________.

14. 在等差数列中，若，且数列的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是__________.

15. 已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是__________.

16. 已知函数的图象在轴上的截距为，且在区间上没有最值，则的取值范围为__________.

四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 记内角的对边分别为.已知，点是边的中点，

（1）证明：；

（2）求.

18. 设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前99项和.

19. 如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.

（1）证明：平面；

（2）若，三棱锥的体积是，求直线与平面所成角的大小.

20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．

（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于；

（2）若，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．

21. 已知椭圆左焦点为，点到椭圆上的点的距离最小值是1，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，求的内切圆半径的范围.

22. 已知函数.

（1）若.求证：；

（2）若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值.