2024大理白族自治州民族中学高一上学期开学考试数学试题含解析

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高一数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果，那么下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
2. 如图，直线∥，直线分别交，于点，，的平分线交于点，，则（ ）

A. 70°B. 110°C. 120°D. 140°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质，角平分线的性质结合已知条件直接求解
【详解】因为直线∥，直线分别交，于点，，
所以，，
因为，所以，
因为的平分线交于点，
所以，
所以，
故选：B
3. 已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，则m＋n的值为（ ）
A. －2B. 2C. ±2D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理得到，，且，，利用，代入原式可得结果.
【详解】因为m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，
所以，，所以，，
所以m＋n.
故选：A.
【点睛】本题考查了韦达定理，属于基础题.
4. 某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，
依题意可得.
故选：B．
5. 已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，设正多边形的边长为，则其边心距为，可得，由此可判断出是等边三角形，解决问题.
【详解】由题意，设正多边形的边长为，则其边心距为，
因为，，
所以，
所以，又，所以是等边三角形，
所以，则，
所以此正多边形为正6边形.
故选：C
6. 在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（ ）
A. 众数是6B. 平均数是8C. 方差是6D. 中位数是8
【答案】C
【解析】
【分析】由公式得到样本数据为，即可得样本的数据特征，判断各项正误.
【详解】由公式知：样本数据为，
所以众数为6，平均数为，
方差为，中位数为8.
故选：C
7. 某商场将彩电的售价先按进价提高，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折扣的定义，结合利润公式进行求解即可.
【详解】设进价为元，得，解得，
故选：C
8. 已知，则（ ）
A. -22B. -1C. 7D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】解方程求，由此可求.
【详解】因为，
所以，又，
所以，
所以或，
当时，，故，
当时，，故，
故选：B.
9. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，点是轴上的一个动点，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】表示出点的横纵坐标，利用面积公式可求答案.
【详解】设，则，因为轴于点，所以，
的面积为，
故选：A.
10. 若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论，结合判别式求解即可.
【详解】当，即时，不等式为，对一切恒成立．
当时，则，
即，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：C
11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据已知直线的倾斜角求出所求直线的倾斜角，进一步求出斜率，再根据平移法则求出直线的函数表达式.
【详解】因为直线的倾斜角为，
所以将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后得到直线的倾斜角为，
此时直线的斜率为，直线方程为，
所以将函数向上平移1个单位长度所得直线函数表达式为.
故选：D
12. 如图，平行四边形的面积为，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ）

A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设条件我们会较易发现四边形为菱形且点是菱形的中心，那么无论点P在菱形哪条边，的最小值都一样,假设点P在其中具体一边上即可针对性处理.
【详解】因为平行四边形中，与交于点,
所以平行四边形为矩形，,
又因为,所以四边形为菱形，
又点是的中点，所以点是菱形的中心，
故点到各边的距离的最小值一致，
不妨设点P在上，则当时取得最小值,
过D作，

可得此时，又为中点，，
矩形中面积为，，
可知,继而在直角三角形中由等积法可知，
取得最小值时，
故选：A.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
13. 计算：______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据特殊角的正切值，结合二次根式的性质、负指数幂公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
14. 引发春季传染病的某种病毒的直径是0.000000025，将0.000000025用科学记数法表示为______________；
【答案】
【解析】
【分析】直接根据科学记数法即可得出答案.
【详解】解：0.000000025.
故答案为：.
15. 因式分解：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法则，进行分解.
【详解】解：，
故答案为：
16. 关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题得到韦达定理，结合已知得，解方程，再检验即得解.
【详解】由题得，（）
所以，且，
所以.
所以，
整理得，
当时，不满足，所以舍去
当时，. 满足（）.
故答案为：5
17. 现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；
【答案】##0.5
【解析】
【分析】用列举法，结合概率的计算公式直接求解即可.
【详解】用符号表示两次的结果，可能结果如下：
共12种，
其中数字m，n都为奇数的有6种情况，
所以字m，n都为奇数的概率为，
故答案为：
18. 设表示中最大的一个，例如，则.方程的解是__________.
【答案】或3
【解析】
【分析】根据最大值函数计算检验即可得解.
【详解】因为，故或者
当，解得，或者-1，经检验符合要求；
当，解得，或者1，经检验符合要求，
所以或者3
故答案为：-1或3.
19. 如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于______．

【答案】
【解析】
【分析】利用三棱柱平面展开图可3种情况，画出图形利用平面上两点间距离最短，可计算比较得解.
【详解】
如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接，
是中点，和是等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：.
如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，
过点作于点，交于点，则四边形是矩形，，
在中，，
，，
，，
在中，由勾股定理可得，.
如图3，连接,交于点，则，，
在中，，，.
，
小虫爬行的最短路程为.
故答案为：.
20. 观察下列关于自然数的等式：
（1） ①
（2） ②
（3） ③
根据上述规律，写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）：______．
【答案】
【解析】
【分析】观察规律可得答案.
【详解】通过观察，等号左端的被减数是第n个式子即为n，减数的分子是，其分母是，
等号左端是第n个式子即为乘以分子为1分母，
所以第个等式为.
故答案为：.
三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21. （1）计算：.
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）；（2）；.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算及特殊角的函数值计算即可；
（2）对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入即可计算.
【详解】（1）
（2）原式，
当时，原式.
22. 李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，需要至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】（1）批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克
（2）
（3）60千克
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组即可求得结果；
（2）由题意知甲种蔬菜，则乙种蔬菜，根据单价即可求得与的函数关系式；
（3）由（2）可得卖完蔬菜后的利润表达式，解不等式即可求得至少批发甲种蔬菜60千克.
【小问1详解】
设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，
根据题意得；
解得
即批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；
【小问2详解】
根据题意得批发甲种蔬菜，则乙种蔬菜
所以可得，
整理得；
所以与的函数关系式为；
【小问3详解】
设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意得，
，
整理得，
要保证利润不低于176元，即，
解得，
所以至少批发甲种蔬菜60千克.
23. 如图，在中，，以为直径的与交于点，点是的中点，连接，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，点是上一动点，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，由直径得到，进而得到，通过角度之间的关系得到，从而证明出结论；
（2）在（1）基础上结合相似知识得到，由勾股定理列出方程，求出，得到；
（3）变形得到取最大值时，也取最大值，进而得到此时取最大值，求出最值.
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，

∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
由（1）知，，
∵是中点，
∴．
∴，
∵，
∴，
又∵在中，，即，
∴（负值已舍去），
∴
【小问3详解】
过点作⊥于点，
设中边上的高为，则，
由（2）可知，

又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
当取最大值时，也取最大值，
又∵，
当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为，
∴．
∴，
∴，
∴．
综上所述：的最大值为．（用函数或均值不等式处理均可）
24. 如图，抛物线与x轴交于A､B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），.
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D在直线BC下方的抛物线上运动（不含端点B､C），连接DC､DB，当四边形ABDC面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；
（3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE.点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B､E､M､N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标.
【答案】（1）；（2）面积最大值，坐标为（4，-6）；（3），，，，.
【解析】
【分析】（1）根据已知求出两点坐标，代入解析式可求解；
（2）当四边形ABDC面积最大时，转化为的面积最大，表示出面积，再利用二次函数的性质求解；
（3）画出符合题意的图形，利用菱形的性质进行求解.
【详解】（1）.
（2）解：（1）由题意可知，
∵，∴，
故点C为（0，-4），点B为（8，0）
将点A､B､C坐标分别代入，得
，解得
∴抛物线的解析式为
如图，过点D作轴交BC于点G
设直线BC的解析式为，
将点B､C的坐标代入上式，
得，解得
∴直线BC的解析式为.
设点D的坐标为，则点G的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵-1<0，∴开口向下
∴当时，面积最大，此时，点D的坐标为（4，-6）
品名
甲蔬菜
乙蔬菜
批发价/（元）
4.8
4
零售价/（元）
7.2
5.6