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    2023年高考数学考前20天终极冲刺之直线与圆心、圆锥曲线 试卷

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    2023年高考数学考前20天终极冲刺之直线与圆心、圆锥曲线

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    这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之直线与圆心、圆锥曲线,共40页。
    2023年高考数学考前20天终极冲刺之直线与圆心、圆锥曲线
    一.选择题(共8小题)
    1.(2023•香坊区校级一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆第一象限上的点,PF1的延长线交椭圆于另一个点Q,,且PF2⊥F1F2,则椭圆的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    2.(2023•自贡模拟)过直线l:x+y﹣5=0上的点作圆C:(x﹣1)2+(y+2)2=6的切线,则切线段长的最小值为(  )
    A. B. C. D.
    3.(2023•常德模拟)已知椭圆E,直线与椭圆E相切,则椭圆E的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    4.(2023•河东区一模)已知双曲线的实轴为4,抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线的左顶点,抛物线与双曲线的一个交点为P(4,m),则双曲线的渐近线方程为(  )
    A. B. C. D.
    5.(2023•西宁二模)已知点P是抛物线C:y2=8x上的一点,点Q是圆E:(x﹣2)2+y2=1上的一点,O为坐标原点,则的最大值为(  )
    A. B. C. D.
    6.(2023•陕西模拟)已知圆C:x2+y2﹣4x+8y=0关于直线3x﹣2ay﹣22=0对称,则圆C中以为中点的弦长为(  )
    A. B. C. D.
    7.(2023•河南模拟)F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,O是坐标原点,直线y=x与双曲线的左、右两支分别交于P,Q两点,且|FO|=|PF|,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    8.(2023•大通县二模)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若,则C的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    二.多选题(共4小题)
    (多选)9.(2023•沙坪坝区校级模拟)已知抛物线C:x2=4y,过焦点F的直线l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x1>2,E与F关于原点对称,直线AB和直线AE的倾斜角分别是α,β,则(  )
    A.cosα•tanβ>1 B.∠AEF=∠BEF
    C.∠AEB>90° D.
    (多选)10.(2023•岳阳模拟)已知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,过点F的动直线l与抛物线C交于A,B两点,以A,B为切点的抛物线的两条切线的交点为P,则下列结论正确的是(  )
    A.p=2
    B.当l与M相切时,l的斜率是
    C.点P在定直线上
    D.以AB为直径的圆与直线y=﹣1相切
    (多选)11.(2023•广东一模)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是(  )
    A.若BF为△ACF的中线,则|AF|=2|BF|
    B.若BF为∠AFC的角平分线,则|AF|=6
    C.存在直线l,使得
    D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF|
    (多选)12.(2022秋•怀化期末)设双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且不与C的顶点重合.则下列命题中正确的是(  )
    A.双曲线C的两条渐近线的方程是
    B.双曲线C的离心率等于
    C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积等于4
    D.若|PF1|=2|PF2|,则
    三.填空题(共5小题)
    13.(2023•大通县二模)已知函数y=loga(3x﹣2)+2(a>0且a≠1)的图像过定点A,若抛物线y2=2px也过点A,则抛物线的准线方程为    .
    14.(2023•柳州三模)在平面直角坐标系中,抛物线y2=﹣8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过点P作PA⊥l,交准线l于点A.若|PF|=|AF|,则OP的长为    .
    15.(2023•陕西模拟)点A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上的两点,F是抛物线C的焦点,若∠AFB=120°,AB中点D到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为    .
    16.(2023•广东一模)已知动圆N经过点A(﹣6,0)及原点O,点P是圆N与圆M:x2+(y﹣4)2=4的一个公共点,则当∠OPA最小时,圆N的半径为    .
    17.(2023春•沙坪坝区校级月考)已知双曲线﹣=1(b>0),过原点的直线l与双曲线交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB,AC的斜率之积为,则b=   ;若∠BFC=120°,则△BFC的面积为    .
    四.解答题(共5小题)
    18.(2023•常德模拟)已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为,虚轴长为2,过双曲线C的右焦点F作直线MN(不与x轴重合)与双曲线C相交于M,N两点,过点M作直线l:x=t(﹣a<t<a)的垂线ME,E为垂足.
    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)是否存在实数t,使得直线EN过x轴上的定点P,若存在,求t的值及定点P的坐标;若不存在,说明理由.
    19.(2023•西宁二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点,直线l:y=x+t与C交于M,N两点,且线段MN的中点为H,O为坐标原点,直线OH的斜率为﹣.
    (1)求C的标准方程;
    (2)已知直线y=kx+2与C有两个不同的交点A,B,P为x轴上一点.是否存在实数k,使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    20.(2023•河东区一模)已知椭圆的离心率为,右焦点为F(2,0).
    (1)求椭圆方程;
    (2)过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C,△ABC为等边三角形,求直线l的方程.
    21.(2023•河南模拟)圆(x+)2+y2=16,圆心为A,点B(,0),作圆上任意一点M与B点连线的中垂线,交AM于N.
    (1)求N的轨迹C的方程;
    (2)设P为曲线C上任意一点,直线PA,PB分别交曲线C于Q,R两点,=λ,=μ,求λ+μ的值.
    22.(2023•沙坪坝区校级模拟)如图,平面直角坐标系xOy中,直线l与y轴的正半轴及x轴的负半轴分别相交于P,Q两点,与椭圆相交于A,M两点(其中M在第一象限),且与M关于x轴对称,延长NP交㮋圆于点B.
    (1)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:为定值;
    (2)求直线AB的斜率的最小值.


    2023年高考数学考前20天终极冲刺之直线与圆心、圆锥曲线
    参考答案与试题解析
    一.选择题(共8小题)
    1.(2023•香坊区校级一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆第一象限上的点,PF1的延长线交椭圆于另一个点Q,,且PF2⊥F1F2,则椭圆的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】椭圆的性质.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】根据已知条件求得点Q的坐标,再代入椭圆方程,整理即可求解结论.
    【解答】解:由椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆第一象限上的点,PF1的延长线交椭圆于另一个点Q,且PF2⊥F1F2,
    可得P(c,),F1(﹣c,0);
    设Q(x,y),
    则=(﹣2c,﹣),=(x+c,y),
    由,可得,即Q(﹣2c,﹣),
    代入椭圆方程=1可得:+=1,可得e2=,
    即e=.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查椭圆的基本性质和计算能力,属于基础题.
    2.(2023•自贡模拟)过直线l:x+y﹣5=0上的点作圆C:(x﹣1)2+(y+2)2=6的切线,则切线段长的最小值为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】圆的切线方程.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;转化法;直线与圆;数学运算.
    【分析】根据几何关系表示出切线段长度,根据几何关系即可求出其最小值.
    【解答】解:设直线上任意一点为P,过P作圆的切线,切点为M,圆C圆心C为(1,﹣2),半径,
    则,
    要使|MP|最小,则|PC|最小,易知|PC|最小值为圆心C到直线l的距离,

    即,
    ∴.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查圆的切线方程,属于基础题.
    3.(2023•常德模拟)已知椭圆E,直线与椭圆E相切,则椭圆E的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】直线与椭圆的综合;椭圆的性质.菁优网版权所有
    【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】由椭圆E和直线相切,联立椭圆E和直线的方程,消y得到,令Δ=0,化简得到,即可求解.
    【解答】解:由题意,联立椭圆E和直线的方程得:,
    整理得:,
    因为椭圆E和直线相切,
    则,
    化简得:,
    则椭圆E的离心率,
    故选:B.
    【点评】本题考查椭圆的性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.
    4.(2023•河东区一模)已知双曲线的实轴为4,抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线的左顶点,抛物线与双曲线的一个交点为P(4,m),则双曲线的渐近线方程为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】双曲线的性质.菁优网版权所有
    【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】求出a=2,p=4,将P(4,m)代入双曲线和抛物线,求出m2=8p=32,,进而求出渐近线方程.
    【解答】解:由题意得2a=4,a=2,故双曲线左顶点坐标为(﹣a,0),
    抛物线的准线为,故,解得p=4,
    点P(4,m)为抛物线与双曲线的一个交点,故m2=8p=32,,
    即,解得,解得,
    故双曲线的渐近线方程为.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查双曲线与抛物线的综合,考查方程思想与运算求解能力,属于中档题.
    5.(2023•西宁二模)已知点P是抛物线C:y2=8x上的一点,点Q是圆E:(x﹣2)2+y2=1上的一点,O为坐标原点,则的最大值为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】抛物线的性质;圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
    【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】由圆方程可得E(2,0),易得E(2,0)为C的焦点.设P(x0,y0)(x0≥0),根据抛物线定义和圆的性质可得|PQ|≥|PE|﹣1=x0+2﹣1=x0+1,又,将的最大值的问题转化为函数最值问题,利用二次函数求解即可.
    【解答】解:因为圆E:(x﹣2)2+y2=1,所以E(2,0),易得E(2,0)为C的焦点,
    设P(x0,y0)(x0≥0),
    因为点P是抛物线C:y2=8x上的一点,点Q是圆E:(x﹣2)2+y2=1上的一点,
    则|PQ|≥|PE|﹣1=x0+2﹣1=x0+1,又,
    所以,
    令t=x0+1,
    则,
    所以当,即时,取得最大值,最大值为.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查抛物线的性质,圆与圆锥曲线的综合,考查运算求解能力,属于中档题.
    6.(2023•陕西模拟)已知圆C:x2+y2﹣4x+8y=0关于直线3x﹣2ay﹣22=0对称,则圆C中以为中点的弦长为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】关于点、直线对称的圆的方程.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;转化法;直线与圆;数学运算.
    【分析】圆C:x2+y2﹣4x+8y=0关于直线3x﹣2ay﹣22=0对称,即说明直线过圆心C(2,﹣4),可求出a=2,再由垂径定理即可求出弦长.
    【解答】解:圆方程配方得(x﹣2)2+(y+4)2=20,圆心C(2,﹣4),,
    ∵圆C:x2+y2﹣4x+8y=0关于直线3x﹣2ay﹣22=0对称,
    ∴可知直线过圆心C(2,﹣4),即3×2+8a﹣22=0,解得a=2,
    故,
    则圆心与点(1,﹣1)的距离为10,
    则圆C中以(1,﹣1)为中点的弦长为.
    故选:D.
    【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查转化能力,属于中档题.
    7.(2023•河南模拟)F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,O是坐标原点,直线y=x与双曲线的左、右两支分别交于P,Q两点,且|FO|=|PF|,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】双曲线的性质.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】根据题意易得△POF为底角为30°的等腰三角形,从而可得点P为(,),将P代入双曲线方程中建立方程,再化归转化,即可求解.
    【解答】解:∵直线方程为y=x,∴可得∠FOP=30°,
    又|FO|=|PF|=c,∴可得△POF为底角为30°的等腰三角形,
    ∴易得点P为(,),将P代入双曲线方程中可得:
    ,又b2=c2﹣a2,
    ∴,
    ∴,
    ∴9e4﹣16e2+4=0,又e>1,
    ∴,∴,
    故选:C.
    【点评】本题考查双曲线的几何性质,方程思想,化归转化思想,属中档题.
    8.(2023•大通县二模)设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若,则C的离心率为(  )
    A. B. C. D.
    【考点】双曲线的性质.菁优网版权所有
    【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程,由题意求出F2P的方程,与渐近线联立求出P的坐标,进而求出|PF1|的值,由点到直线的距离公式,求|PF2|的值,由求出a,c的关系,进而求出离心率.
    【解答】解:由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程:bx±ay=0,右焦点F2(c,0),
    F2到渐近线的距离,
    由渐近线的对称性,设渐近线为bx﹣ay=0①,
    则直线PF2方程为:②,
    由①②可得,,则,
    左焦点F1(﹣c,0),所以,
    由,有,得3a2+c2=6b2=6(c2﹣a2),
    即9a2=5c2,,则C的离心率为.
    故选:C.
    【点评】本题主要考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于中档题.
    二.多选题(共4小题)
    (多选)9.(2023•沙坪坝区校级模拟)已知抛物线C:x2=4y,过焦点F的直线l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,x1>2,E与F关于原点对称,直线AB和直线AE的倾斜角分别是α,β,则(  )
    A.cosα•tanβ>1 B.∠AEF=∠BEF
    C.∠AEB>90° D.
    【考点】抛物线的性质;直线与抛物线的综合.菁优网版权所有
    【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】作AD⊥y轴于D,作BC⊥y轴于C,则α=∠DAF,β=∠DAE,可设直线l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线可得交点坐标关系,结合倾斜角与斜率的坐标关系逐项判断即可得答案.
    【解答】解:作AD⊥y轴于D,作BC⊥y轴于C,则α=∠DAF,β=∠DAE,

    由A(x1,y1),B(x2,y2),则D(0,y1),B(0,y2),
    抛物线C:x2=4y的焦点F(0,1),因为x1>2,所以y1>1,即0°<α<90°,
    所以直线l的斜率存在设为k,可得直线l的方程为y=kx+1,
    与抛物线方程联立,整理得x2﹣4kx﹣4=0,所以Δ=16k2+16>0,
    则x1+x2=4k,x1x2=﹣4,=4y1,

    对于A:cosα=cos∠DAF==,tanβ=tan∠DAE==,所以cosα•tanβ=1,故A错误;
    对于B:因为kAE=,kBE=,所以kAE+kBE=+==2k+=0,
    所以直线AE与BE的倾斜角互补,即∠AEF=∠BEF,故B正确;
    对于C:因为tanβ=tan∠DAE===>=1,所以β>,即∠AED<,
    因为∠AEF=∠BEF,所以∠AEB<,故C错误;
    对于D:因为2β>,<α+<π,所以tan2β===﹣,
    tanα=tan∠DAF==,tan(α+)=﹣=﹣,
    所以tan(α+)﹣tan2β=﹣+=>0,
    所以tan(α+)>tan2β,α+>2β,即2β﹣α<,故D正确.
    故选:BD.
    【点评】本题考查抛物线的几何性质,抛物线与直线的位置关系,化归转化思想,属中档题.
    (多选)10.(2023•岳阳模拟)已知拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,过点F的动直线l与抛物线C交于A,B两点,以A,B为切点的抛物线的两条切线的交点为P,则下列结论正确的是(  )
    A.p=2
    B.当l与M相切时,l的斜率是
    C.点P在定直线上
    D.以AB为直径的圆与直线y=﹣1相切
    【考点】圆与圆锥曲线的综合;抛物线的性质.菁优网版权所有
    【专题】整体思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】根据题意求出p的值,判断A;根据直线和圆相切求出直线的斜率,判断B;设直线方程,联立抛物线方程,可得根与系数的关系,求出以A,B为切点的抛物线的两条切线的方程,结合根与系数的关系求得点P坐标,判断C;求出弦AB的长以及弦AB的中点到抛物线准线的距离,即可判断D.
    【解答】解:对于A,由题意拋物线C:x2=2py(p>0)的焦点F与圆M:x2+(y+2)2=1上点的距离的最小值为2,
    即F与圆上的点(0,﹣1)的距离为2,则|OF|=1,∴p=2,A正确;
    对于B,过点F(0,1)的动直线l与M相切时,斜率必存在,设l的方程为y=kx+1,
    则,解得,B错误;
    对于C,设A(x1,y1),B(x2,y2)由x2=4y可得,
    联立消掉x得x2﹣4kx﹣4=0,Δ=16(k2+1)>0,
    所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
    设在点A,B的切线斜率分别为k1,k2,则,
    所以抛物线在点A点的切线方程为,即①,
    同理可得在点B的切线方程为 ②,
    由①②可得,将代入①得,
    所以P点坐标为,即点P在定直线y=﹣1上,C正确;
    对于D,由题意知|AB|=x1+x2+p=4k+2,AB的中点的横坐标为,
    可得AB的中点到抛物线准线y=﹣1的距离为,
    则以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,故D正确,
    故选:ACD.

    【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用,属于中档题.
    (多选)11.(2023•广东一模)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,点F与点C关于原点对称,过点C的直线l与抛物线E交于A,B两点(点A和点C在点B的两侧),则下列命题正确的是(  )
    A.若BF为△ACF的中线,则|AF|=2|BF|
    B.若BF为∠AFC的角平分线,则|AF|=6
    C.存在直线l,使得
    D.对于任意直线l,都有|AF|+|BF|>2|CF|
    【考点】抛物线的性质.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题;数学运算.
    【分析】设l:x=ky﹣2,不妨令A(x1,y1),B(x2,y2)都在第一象限,C(﹣2,0),F(2,0),联立抛物线,根据已知及韦达定理得k2>1、y1+y2=8k,y1y2=16,则,再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.
    【解答】解:由题意,不妨令A(x1,y1),B(x2,y2)都在第一象限,
    又C(﹣2,0),F(2,0),设l:x=ky﹣2,
    联立E:y2=8x,可得y2﹣8ky+16=0,
    则Δ=64(k2﹣1)>0,即k2>1,
    ∴y1+y2=8k,y1y2=16,
    ∴,如图所示,
    A:若BF为△ACF的中线,则,
    ∴,所以x1=4,故,
    ∴,则|AF|=2|BF|=6,故A正确;
    B:若BF为∠AFC的角平分线,则,
    作AD,BE垂直准线x=﹣2于D,E,则|AF|=|AD|且,
    ∴,∴,
    ∴,将代入整理得:
    ,∴x1=6,
    ∴|AF|=x1+2=8,故B错误;
    C:若,即,即△ACD为等腰直角三角形,
    此时|CD|=|AD|,即A(y1﹣2,y1),∴,
    ∴,∴y1=4,∴y2=4,则此时A,B为同一点,不合题设,故C错误;
    D:,又2|CF|=8,
    结合k2>1,可得8k2>8,即|AF|+|BF|>2|CF|恒成立,故D正确.
    故选:AD.

    【点评】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,韦达定理的应用,属中档题.
    (多选)12.(2022秋•怀化期末)设双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且不与C的顶点重合.则下列命题中正确的是(  )
    A.双曲线C的两条渐近线的方程是
    B.双曲线C的离心率等于
    C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积等于4
    D.若|PF1|=2|PF2|,则
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    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】本题根据双曲线的渐近线和离心率、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.
    【解答】解:由双曲线标准方程知a=3,b=2,
    ∴,,
    A选项:知双曲线的渐近线方程为,故A错误;
    B选项:双曲线的离心率,故B正确;
    C选项:由双曲线定义知|PF1|﹣|PF2|=6,
    若PF1⊥PF2,则,
    即,
    即36+2|PF1|⋅|PF2|=52,得|PF1|⋅|PF2|=8,
    所以,故C正确;
    D选项:若|PF1|=2|PF2|,则|PF2|=6,|PF1|=12.
    在△F1PF2中,由余弦定理得:
    ,故D正确.
    故选:BCD.
    【点评】本题考查双曲线的几何性质,勾股定理的应用,余弦定理的应用,三角形面积公式的应用,属中档题.
    三.填空题(共5小题)
    13.(2023•大通县二模)已知函数y=loga(3x﹣2)+2(a>0且a≠1)的图像过定点A,若抛物线y2=2px也过点A,则抛物线的准线方程为  x=﹣1 .
    【考点】抛物线的性质.菁优网版权所有
    【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】先求出A点的坐标,再求出p即可.
    【解答】解:因为函数y=logax经过定点(1,0),
    所以函数y=loga(3x﹣2)+2经过定点A(1,2),
    将它代入抛物线方程得22=2p×1,解得p=2,
    所以其准线方程为x=﹣1;
    故答案为:x=﹣1.
    【点评】本题主要考查抛物线的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
    14.(2023•柳州三模)在平面直角坐标系中,抛物线y2=﹣8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过点P作PA⊥l,交准线l于点A.若|PF|=|AF|,则OP的长为   .
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    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】由抛物线的定义得出△PAF是等边三角形,再由定义得出点P坐标,进而由距离公式求解.
    【解答】解:不妨设点P在第二象限,由抛物线定义可得:
    |PF|=|PA|,又|PF|=|AF|,
    ∴△PAF是等边三角形,∴∠AFO=60°,∴,
    ∴xP=﹣8+2=﹣6,,
    ∴.
    故答案为:.

    【点评】本题考查抛物线的几何性质,属基础题.
    15.(2023•陕西模拟)点A,B是抛物线C:y2=2px(p>0)上的两点,F是抛物线C的焦点,若∠AFB=120°,AB中点D到抛物线C的准线的距离为d,则的最小值为   .
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    【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】由抛物线几何性质可得,再由余弦定理和基本不等式可得
    【解答】解:在△ABF中,由余弦定理可得:
    |AB|2=|AF|2+|BF|2﹣2|AF|⋅|BF|cos120°
    =(|AF|+|BF|)2﹣|AF|⋅|BF|,
    又,
    易得,当且仅当|AF|=|BF|时等号成立.
    故答案为:.
    【点评】本题考查抛物线的几何性质,余弦定理的应用,基本不等式的应用,属基础题.
    16.(2023•广东一模)已知动圆N经过点A(﹣6,0)及原点O,点P是圆N与圆M:x2+(y﹣4)2=4的一个公共点,则当∠OPA最小时,圆N的半径为  5 .
    【考点】直线与圆的位置关系.菁优网版权所有
    【专题】转化思想;转化法;直线与圆;数学运算.
    【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时∠OPA最小,根据位置关系可得圆N的半径.
    【解答】解:如图:

    记圆N半径为R,∠OPA=θ,则∠ANO=2θ,∠BNO=θ,
    所以,
    当∠OPA最小时,R最大,此时两圆内切.
    由已知设动圆N的圆心为N(﹣3,t),
    又圆心M(0,4)可得R﹣2=|MN|,
    即,
    解得t=4,所以R=5,即圆N的半径为5.
    故答案为:5.
    【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查转化能力,属于中档题.
    17.(2023春•沙坪坝区校级月考)已知双曲线﹣=1(b>0),过原点的直线l与双曲线交于B,C两点,A为双曲线的右顶点,F为双曲线的左焦点,直线AB,AC的斜率之积为,则b=  ;若∠BFC=120°,则△BFC的面积为  2 .
    【考点】双曲线的性质.菁优网版权所有
    【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】设B(x1,y1),则C(﹣x1,﹣y1),A(2,0),由题意可得=,可求b,利用S△BFC=S△BFF′,求得S△BFF,可求△BFC的面积.
    【解答】解:设B(x1,y1),则C(﹣x1,﹣y1),A(2,0),
    ∴kAB•kAC==①,
    又﹣=1②,
    联立①②可得b2=2,∴b=,
    令双曲线右焦点为F′,如图所示,则BC关于原点对称,易证S△BFC=S△BFF′,

    ∠F′BF=180°﹣∠BFC=60°,
    又S△BFF′==b2=2,∴S△BFC=2.
    故答案为:;2.
    【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查转化思想,考查运算求解能力,属中档题.
    四.解答题(共5小题)
    18.(2023•常德模拟)已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为,虚轴长为2,过双曲线C的右焦点F作直线MN(不与x轴重合)与双曲线C相交于M,N两点,过点M作直线l:x=t(﹣a<t<a)的垂线ME,E为垂足.
    (1)求双曲线C的标准方程;
    (2)是否存在实数t,使得直线EN过x轴上的定点P,若存在,求t的值及定点P的坐标;若不存在,说明理由.
    【考点】直线与双曲线的综合;双曲线的性质.菁优网版权所有
    【专题】整体思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】(1)根据题意得到,,再解方程即可得到答案.
    (2)假设存在实数t(﹣1<t<1),使得直线EN过定点P,设直线MN:x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),则E(t,y1),与椭圆联立得到,,得到直线EN:,从而得到,即可得到答案.
    【解答】解:(1)由题可知虚轴长为,所以,
    右顶点(a,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离,
    由①②解得a=1,
    所以双曲线C的标准方程为.
    (2)假设存在实数t(﹣1<t<1),使得直线EN过定点P,
    设直线MN:x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2),则E(t,y1),
    联立,消x得(3m2﹣1)y2+12my+9=0.
    则,.
    直线EN:,令y=0,得,
    又,
    ∴.
    ∴.
    当,即时,x1为定值
    所以存在实数,使得直线EN过定点.
    【点评】本题主要考查了双曲线的性质,还考查了直线与双曲线位置关系的应用,属于中档题.
    19.(2023•西宁二模)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点,直线l:y=x+t与C交于M,N两点,且线段MN的中点为H,O为坐标原点,直线OH的斜率为﹣.
    (1)求C的标准方程;
    (2)已知直线y=kx+2与C有两个不同的交点A,B,P为x轴上一点.是否存在实数k,使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出k的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由.
    【考点】直线与椭圆的综合;直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
    【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】(1)根据中点弦点差法得,再根据,得a2=2b2,再结合椭圆C过点解方程即可得答案;
    (2)设AB中点G(x0,y0),假设存在k和点P(m,0),使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,进而将问题转化为kPG⋅kAB=﹣1,,再联立,结合韦达定理讨论kPG⋅kAB=﹣1,同时成立的情况.
    【解答】解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,
    则.
    又,
    则两式相减得,即,
    又,
    所以,即a2=2b2.
    又,解得a2=4,b2=2,
    所以椭圆C的标准方程为.
    (2)联立,消y整理得:(2k2+1)x2+8kx+4=0.
    因为直线与椭圆交于A,B两点,故Δ>0,解得.
    设A(x3,y3),B(x4,y4),则.
    设AB中点G(x0,y0),
    则,故.
    假设存在k和点P(m,0),使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,则PG⊥AB,故kPG⋅kAB=﹣1,
    所以,解得,故.
    又因为,所以,
    所以(x3﹣m,y3)⋅(x4﹣m,y4)=0,即(x3﹣m)(x4﹣m)+y3y4=0,
    整理得.
    所以,
    代入,整理得k4=1,即k2=1,
    所以k=1或k=﹣1,即存在k使得△PAB是以P为顶点的等腰直角三角形.
    当k=﹣1时,P点坐标为;当k=1时,P点坐标为.
    此时,△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形.
    【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质,考查直线与椭圆的综合运用,考查运算求解能力,属于中档题.
    20.(2023•河东区一模)已知椭圆的离心率为,右焦点为F(2,0).
    (1)求椭圆方程;
    (2)过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与直线x=3交于点C,△ABC为等边三角形,求直线l的方程.
    【考点】直线与椭圆的综合;椭圆的标准方程;椭圆的性质.菁优网版权所有
    【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】(1)根据离心率和焦点坐标可求出,再根据b2=a2﹣c2,可求得b2=2,即可求解;
    (2)讨论直线AB的斜率存在还是不存在,当斜率存在且k≠0时,直线代入椭圆可得,,可求出AB的中点为,通过弦长公式和两点距离求出|AB|,|CD|,利用即可求解.
    【解答】解:(1)由题意可得,c=2,解得,
    由b2=a2﹣c2,∴b2=2,则椭圆C的方程为.
    (2)当直线AB为x轴时,易得线段AB的垂直平分线与直线x=3没有交点,故不满足题意;
    当AB所在直线的斜率存在且不为x轴时,设该直线方程为y=k(x﹣2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
    联立,消去y可得(3k2+1)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,
    Δ=144k4﹣4(3k2+1)(12k2﹣6)=24(k2+1)>0,
    所以,,

    设AB的中点为D,则,设C(3,yC),
    由△ABC为等边三角形,,,

    ==,
    所以,解得k2=1,所以k=±1,
    当AB所在直线的斜率不存在时,将x=2代入可得,
    所以,|CD|=1,不满足题意,
    综上所述,直线l的方程为y=x﹣2或y=﹣x+2.
    【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程,直线与椭圆的综合,考查运算求解能力,属于中档题.
    21.(2023•河南模拟)圆(x+)2+y2=16,圆心为A,点B(,0),作圆上任意一点M与B点连线的中垂线,交AM于N.
    (1)求N的轨迹C的方程;
    (2)设P为曲线C上任意一点,直线PA,PB分别交曲线C于Q,R两点,=λ,=μ,求λ+μ的值.
    【考点】直线与圆锥曲线的综合;轨迹方程.菁优网版权所有
    【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】(1)判断点N在以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆上,求出a、b,得到椭圆方程.
    (2)设P(x0,y0),Q(x1,y1),R(x2,y2),求得直线PA的方程与椭圆方程联立可得=﹣[(x0+)2+4],同理可求=﹣[(x0﹣)2+4],又λ=﹣,同理可得μ=﹣,可求λ+μ的值.
    【解答】解:(1)由题,线段BM的垂直平分线交AM于点N,则|NB|=|NM|.
    所以|NA|+|NB|=|NA|+|MN|=|AM|=4>2=|AB|,
    即点N在以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆上,
    所以2a=4,2c=2,b2=a2﹣c2=1,
    故点Q的轨迹方程为:+y2=1.
    (2)设P(x0,y0),Q(x1,y1),R(x2,y2),A(﹣,0),B(,0),
    直线PA的方程为y=(x+),
    ∴x=y﹣,
    与椭圆方程联立可得(y﹣)2+4y2=4,
    ∴y2﹣2×y﹣1=0,
    ∴y0y1=﹣,∴=﹣[(x0+)2+4],
    同理可得=﹣[(x0﹣)2+4],
    由=λ,∴(﹣x0,﹣y0)=λ(x1﹣,y1),
    ∴λ=﹣,同理可得μ=﹣,
    ∴λ+μ=[(x0﹣)2+4]+[(x0﹣)2+4]=2+8+6=2(+4)+6=14.
    【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,属中档题.
    22.(2023•沙坪坝区校级模拟)如图,平面直角坐标系xOy中,直线l与y轴的正半轴及x轴的负半轴分别相交于P,Q两点,与椭圆相交于A,M两点(其中M在第一象限),且与M关于x轴对称,延长NP交㮋圆于点B.
    (1)设直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:为定值;
    (2)求直线AB的斜率的最小值.

    【考点】直线与椭圆的综合.菁优网版权所有
    【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.
    【分析】设P(0,m),M(x0,y0),(x0>0,y0>0),可得M(x0,2m),N(x0,﹣2m),(1)求得AM,BN的斜率分别为k1,k2,可得为定值;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组可得x1=,y1=+m,同理x2=,y2=+m,可得kAB=(12k1+),进而可求最小值.
    【解答】解:设P(0,m),M(x0,y0),(x0>0,y0>0),
    由=可得M(x0,2m),N(x0,﹣2m),
    (1)证明:直线AM的斜率分别为k1==,直线BN的斜率分别为k2==﹣,
    此时=﹣,∴为定值﹣;
    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
    直线AM的方程为y=k1x+m,直线NB的方程为y=﹣3k1x+m,
    联立,可得(3+4)x2+8mk1x+4m2﹣12=0,
    由x0x1=,可得x1=,
    ∴y1=k1x1+m=+m,
    同理x2=,y2=+m,
    ∴x2﹣x1=﹣=,,
    y2﹣y1=+m﹣﹣m=,
    ∴kAB===(12k1+),
    ∵k1>0,∴kAB=(12k1+)≥•2=,当且仅当k1=时取等号,
    ∴直线AB的斜率的最小值为.
    【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查方程思想,考查运算求解能力,属中档题.

    考点卡片
    1.轨迹方程
    【知识点的认识】
    1.曲线的方程和方程的曲线
    在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量x、y存在着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x、y的方程.
    一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
    (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
    (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
    那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.
    2.求曲线方程的一般步骤(直接法)
    (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;
    (2)列式:写出适合条件p的点M的集合{M|p(M)};
    (3)代入:用坐标表示出条件p(M),列出方程f(x,y)=0;
    (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;
    (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

    【常用解法】
    (1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧.
    (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件.
    (3)相关点法:用所求动点P的坐标(x,y)表示已知动点M的坐标(x0,y0),即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再将x0,y0代入M满足的条件F(x0,y0)=0中,即得所求.一般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→代入→化简.
    (4)待定系数法
    (5)参数法
    (6)交轨法.
    2.关于点、直线对称的圆的方程
    【知识点的知识】
    (1)已知圆关于已知的直线对称,则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的,只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可.
    (2)若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆,则这个直线必过某定点,且该定点是圆的圆心坐标.
    3.圆的切线方程
    【知识点的认识】
    圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程,特点是与圆只有一个交点,且过圆心与切点的直线垂直切线.
    圆的切线方程的类型:
    (1)过圆上一点的切线方程:对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率,继而求出直线方程
    (2)过圆外一点的切线方程.这种情况可以先设直线的方程,然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值,进而求出直线方程.
    【实例解析】
    例1:已知圆:(x﹣1)2+y2=2,则过点(2,1)作该圆的切线方程为  .
    解:圆:(x﹣1)2+y2=2,的圆心为C(1,0),半径r=.
    ①当直线l经过点P(2,1)与x轴垂直时,方程为x=2,
    ∵圆心到直线x=2的距离等于1,∴直线l与圆不相切,即x=2不符合题意;
    ②当直线l经过点P(2,1)与x轴不垂直时,设方程为y﹣1=k(x﹣2),即kx﹣y+1﹣2k=0.
    ∵直线l与圆:(x﹣1)2+y2=2相切,
    ∴圆心到直线l的距离等于半径,即d==,解之得k=﹣1,
    因此直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),化简得x+y﹣3=0.
    综上所述,可得所求切线方程为x+y﹣3=0.
    这里讨论第一种情况是因为k不一定存在,所以单独讨论,用的解题思想就是我上面所说,大家可以对照着看就是.
    例2:从点P(4,5)向圆(x﹣2)2+y2=4引切线,则圆的切线方程为  .
    解:由圆(x﹣2)2+y2=4,得到圆心坐标为(2,0),半径r=2,
    当过P的切线斜率不存在时,直线x=4满足题意;
    当过P的切线斜率存在时,设为k,
    由P坐标为(4,5),可得切线方程为y﹣5=k(x﹣4),即kx﹣y+5﹣4k=0,
    ∴圆心到切线的距离d=r,即=2,
    解得:k=,
    此时切线的方程为y﹣5=(x﹣4),即21x﹣20y+16=0,
    综上,圆的切线方程为x=4或21x﹣20y+16=0.
    这个例题用的方法也是前面所说,但告诉我们一个基本性质,即圆外的点是可以做两条切线的,所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种.
    【考点分析】
    本考点也是比较重要的一个知识点,但解题方法很死板,希望大家都能准确的掌握,确保不丢分.
    4.直线与圆的位置关系
    【知识点的认识】
    1.直线与圆的位置关系

    2.判断直线与圆的位置关系的方法
    直线Ax+By+C=0与圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)的位置关系的判断方法:
    (1)几何方法:利用圆心到直线的d和半径r的关系判断.
    圆心到直线的距离d=
    ①相交:d<r
    ②相切:d=r
    ③相离:d>r
    (2)代数方法:联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,用判别式△判断.
    由消元,得到一元二次方程的判别式△
    ①相交:△>0
    ②相切:△=0
    ③相离:△<0.
    5.椭圆的标准方程
    【知识点的认识】
    椭圆标准方程的两种形式:
    (1)(a>b>0),焦点在x轴上,焦点坐标为F(±c,0),焦距|F1F2|=2c;
    (2)(a>b>0),焦点在y轴上,焦点坐标为F(0,±c),焦距|F1F2|=2c.
    两种形式相同点:形状、大小相同;都有a>b>0;a2=b2+c2
    两种形式不同点:位置不同;焦点坐标不同.
    标准方程
    (a>b>0)
    中心在原点,焦点在x轴上
    (a>b>0)
    中心在原点,焦点在y轴上
    图形


    顶点
    A(a,0),A′(﹣a,0)
    B(0,b),B′(0,﹣b)
    A(b,0),A′(﹣b,0)
    B(0,a),B′(0,﹣a)
    对称轴
    x轴、y轴,长轴长2a,短轴长2b
    焦点在长轴长上
    x轴、y轴,长轴长2a,短轴长2b
    焦点在长轴长上
    焦点
    F1(﹣c,0),F2(c,0)
    F1(0,﹣c),F2(0,c)
    焦距
    |F1F2|=2c(c>0)
    c2=a2﹣b2
    |F1F2|=2c(c>0)
    c2=a2﹣b2
    离心率
    e=(0<e<1)
    e=(0<e<1)
    准线
    x=±
    y=±
    6.椭圆的性质
    【知识点的认识】
    1.椭圆的范围

    2.椭圆的对称性

    3.椭圆的顶点
    顶点:椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.
    顶点坐标(如上图):A1(﹣a,0),A2(a,0),B1(0,﹣b),B2(0,b)
    其中,线段A1A2,B1B2分别为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
    4.椭圆的离心率
    ①离心率:椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即:e=,且0<e<1.
    ②离心率的意义:刻画椭圆的扁平程度,如下面两个椭圆的扁平程度不一样:

    e越大越接近1,椭圆越扁平,相反,e越小越接近0,椭圆越圆.当且仅当a=b时,c=0,椭圆变为圆,方程为x2+y2=a2.
    5.椭圆中的关系:a2=b2+c2.
    7.直线与椭圆的综合
    v.
    8.抛物线的性质
    【知识点的知识】
    抛物线的简单性质:

    9.直线与抛物线的综合
    v.
    10.双曲线的性质
    【知识点的知识】
    双曲线的标准方程及几何性质
    标准方程
    (a>0,b>0)
    (a>0,b>0)
    图形















    焦点
    F1(﹣c,0),F2( c,0)
    F1(0,﹣c),F2(0,c)
    焦距
    |F1F2|=2c
    |F1F2|=2c
    范围
    |x|≥a,y∈R
    |y|≥a,x∈R
    对称
    关于x轴,y轴和原点对称
    顶点
    (﹣a,0).(a,0)
    (0,﹣a)(0,a)

    实轴长2a,虚轴长2b
    离心率
    e=(e>1)
    准线
    x=±
    y=±
    渐近线
    ±=0
    ±=0
    11.直线与双曲线的综合
    v.
    12.直线与圆锥曲线的综合
    【概述】
    直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的关系等等,常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系,通过这两个关系的变形去求解.
    【实例解析】
    例:已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1(﹣1,0)、F2(1,0)的距离之和为常数,曲线C的离心率.
    (1)求圆锥曲线C的方程;
    (2)设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B,试证明在x轴上存在一个定点P,使的值是常数.
    解:(1)依题意,设曲线C的方程为(a>b>0),
    ∴c=1,
    ∵,
    ∴a=2,
    ∴,
    所求方程为.
    (2)当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x﹣1),
    由,
    得(3+4k2)x2﹣8k2x+4(k2﹣3)=0,
    从而,,
    设P(t,0),则

    当,
    解得
    此时对∀k∈R,;
    当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=1,
    xA=xB=1,,
    对,,
    即存在x轴上的点,使的值为常数.
    这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式;第二问在求证某种特殊的关系,像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式.我们看看解答思路,第一问就是求a、b、c中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法.
    【考点分析】
    必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时候,如果运算量大可以适当的放到最后做.
    13.圆与圆锥曲线的综合
    【知识点的知识】
    1、抛物线的简单性质:

    2、双曲线的标准方程及几何性质
    标准方程
    (a>0,b>0)
    (a>0,b>0)
    图形















    焦点
    F1(﹣c,0),F2( c,0)
    F1(0,﹣c),F2(0,c)
    焦距
    |F1F2|=2c
    a2+b2=c2
    范围
    |x|≥a,y∈R
    |y|≥a,x∈R
    对称
    关于x轴,y轴和原点对称
    顶点
    (﹣a,0).(a,0)
    (0,﹣a)(0,a)

    实轴长2a,虚轴长2b
    离心率
    e=(e>1)
    准线
    x=±
    y=±
    渐近线
    ±=1
    ±=1
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/4/9 19:49:28;用户:组卷40;邮箱:zyb040@xyh.com;学号:41419003

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