2023年高考数学考前20天终极冲刺之平面向量

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之平面向量，共40页。试卷主要包含了给出如下命题等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之平面向量
一．选择题（共8小题）
1．（2023•常德模拟）已知向量为单位向量，向量，，则向量与向量的夹角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023•陕西模拟）在△ABC中，如果cos（2B+C）+cosC＜0，那么△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．（2023春•河南月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD的中点，点F是线段BC上的一点，且FC＝5BF，则＝​（　　）

A． B． C． D．
4．（2023春•金凤区校级月考）已知，为单位向量，当向量，的夹角等于120°时，在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023春•金凤区校级月考）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023春•长安区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（　　）
A．30°或150° B．30° C．150° D．45°
7．（2023春•浦东新区校级月考）已知△ABC的三条边a、b、c和与之对应的三个角A、B、C满足等式acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，则此三角形的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2023春•和平区校级月考）在△ABC中，，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•城区校级月考）已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（　　）
A．若P为△ABC的垂心，•＝2，则•＝2
B．若△ABC为边长为2的正三角形，则•（+）的最小值为﹣1
C．若△ABC为锐角三角形且外心为P，＝x+y且x+2y＝1，则AB＝BC
D．若＝（+）+（+），则动点P的轨迹经过△ABC的外心
（多选）10．（2023•万州区校级模拟）下列选项中正确的是（　　）
A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°
B．设向量，，若，共线，则x＝±2
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
（多选）11．（2023春•武威月考）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若，则点M是△ABC的重心
D．若，则
（多选）12．（2023春•如皋市校级月考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，则下列说法正确的是（　　）
A．若B+C＝2A，则△ABC面积的最大值为
B．若，且△ABC只有一解，则b的取值范围为（0，1]
C．若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
D．O为△ABC的外心，则
三．填空题（共5小题）
13．（2023•广东一模）已知向量满足，则与的夹角为 　 　．
14．（2023•乐山模拟）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若（2a﹣c）cosB＝bcosC，且，则△ABC周长的最大值为 　 　．
15．（2023•自贡模拟）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若（2a﹣c）cosB＝bcosC，且，则△ABC面积的最大值为 　 　．
16．（2022秋•湘潭期末）在△ABC中，，则∠A＝　 　．
17．（2023春•金凤区校级月考）若A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且，则点P坐标为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•岳阳模拟）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且△ABC的内切圆半径r＝2．求：
（1）角A的大小；
（2）b+c的最小值．
19．（2023•常德模拟）如图，在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且AD＝1，．
（1）求∠BAD的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

20．（2023•香坊区校级一模）在锐角△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a2﹣b2＝bc．
（Ⅰ）求角B的取值范围；
（Ⅱ）若c＝4，求△ABC中AB边上的高h的取值范围．
21．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
22．（2023•西宁二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，D是边AC上的一点，且CD＝2AD，求线段BD的最大值．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之平面向量
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•常德模拟）已知向量为单位向量，向量，，则向量与向量的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】利用向量模长的定义得到，，再根据向量的数量积公式即可求得向量与向量的夹角．
【解答】解：因为向量为单位向量，向量，
所以，，
又，即，
所以，
又，则向量与向量的夹角为．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的夹角公式，考查转化能力，属于中档题．
2．（2023•陕西模拟）在△ABC中，如果cos（2B+C）+cosC＜0，那么△ABC的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【考点】三角形的形状判断；两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理．
【分析】将2B+C写为π+（B﹣A），将C写为π﹣（B+A），代入题中式子，展开化简，即可得A，B均为锐角，但C无法确定大小，由此选出结果．
【解答】解：由题知，因为△ABC中，A+B+C＝π
所以cos（2B+C）+cosC＝cos[π+（B﹣A）]+cos[π﹣（B+A）]
＝﹣cos（B﹣A）﹣cos（B+A）＝﹣cosBcosA﹣sinBsinA﹣cosBcosA+sinBsinA＝﹣2cosBcosA＜0，
故cosBcosA＞0，即A，B均为锐角，
但C无法确定大小，故△ABC的形状不能确定．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的形状的判断，诱导公式及两角和与差的余弦公式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
3．（2023春•河南月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD的中点，点F是线段BC上的一点，且FC＝5BF，则＝​（　　）

A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，＝+＝+＝+（++），进而化简可得答案．
【解答】解：根据题意，点E为线段CD的中点，点F是线段BC上的一点，且FC＝5BF，
则＝，＝，
则有＝+＝+＝+（++）＝+（﹣）＝+，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性计算，属于基础题．
4．（2023春•金凤区校级月考）已知，为单位向量，当向量，的夹角等于120°时，在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【考点】投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
【解答】解：，为单位向量，当向量，的夹角等于120°时，
则在上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
5．（2023春•金凤区校级月考）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】向量的概念与向量的模；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；逻辑推理．
【分析】根据向量长度的定义判断①正确；根据相等向量的定义及用有向线段表示向量的方法可判断②正确；根据共线向量的定义及有向线段表示向量的方法可判断③④错误．
【解答】解：，①正确；起点相同，向量相等，终点一定相同，②正确；
两个向量的终点相同，这两个向量不一定共线，③错误；时，A，B，C，D不一定在一条直线上，④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了向量长度的定义，相等向量和共线向量的定义，用有向线段表示向量的方法，考查了推理能力，属于基础题．
6．（2023春•长安区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（　　）
A．30°或150° B．30° C．150° D．45°
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinA＝，又a＜b，可得A＜45°，进而可求A的值．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理，可得sinA＝＝＝，
又因为a＜b，可得A＜45°，
所以A＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
7．（2023春•浦东新区校级月考）已知△ABC的三条边a、b、c和与之对应的三个角A、B、C满足等式acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，则此三角形的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用正弦定理和倍角公式和半角公式的变换判断ΔABC的形状．
【解答】解：由于acosB+bcosC+ccosA＝bcosA+ccosB+acosC，
利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosC+sinCcosA＝sinBcosA+sinCcosB+sinAcosC，
整理得：sin（A﹣B）+sin（B﹣C）+sin（A﹣C）＝0，
故，
所以，
故，
故A＝B或B＝C或A＝C；
所以ΔABC为等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理三角函数关系式的变换，倍角公式和半角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
8．（2023春•和平区校级月考）在△ABC中，，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【考点】三角形的形状判断；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值，进一步判定三角形的形状．
【解答】解：由，整理得sinAcosB+sinAcosC＝sinB+sinC＝sin（A+C）+sin（A+B），
化简得：cosAsinC+cosAsinB＝cosA（sinC+sinB）＝0，
由于sinC+sinB＞0，
所以cosA＝0，由于A∈（0，π），
所以A＝．
所以ΔABC为直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023春•城区校级月考）已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（　　）
A．若P为△ABC的垂心，•＝2，则•＝2
B．若△ABC为边长为2的正三角形，则•（+）的最小值为﹣1
C．若△ABC为锐角三角形且外心为P，＝x+y且x+2y＝1，则AB＝BC
D．若＝（+）+（+），则动点P的轨迹经过△ABC的外心
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】对A选项，根据三角形垂心的性质，向量数量积的几何意义，即可求解；
对B选项，根据向量数量积的极化恒等式，即可求解；
对C选项，根据向量共线定理的推论，即可求解；
对D选项，根据向量的线性运算，向量数量积的的定义，三角形外心的概念，即可求解．
【解答】解：对A选项，∵P为△ABC的垂心，∴CP⊥AB，
又•＝2，∴由向量数量积的几何意义可得：
•＝•＝2，∴A选项正确；
对B选项，设BC的中点为D，AD的中点为E，
又△ABC为边长为2的正三角形，∴易得|AE|＝，
∵•（+）＝2，
∴根据向量数量积的极化恒等式可得：
•（+）＝2＝2（|PE|2﹣|AE|2）＝2（|PE|2﹣），
∴当|PE|＝0时，•（+）取得最小值，∴B选项错误；
对C选项，设AC的中点为F，则，
∵＝x+y＝，又x+2y＝1，
∴P，B，F三点共线，又△ABC为锐角三角形且外心为P，
∴BF垂直平分AC，∴AB＝BC，∴C选项正确；
对D选项，设BC的中点为M，则，
∵＝（+）+（+），
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝+＝+＝0，
∴MP⊥BC，又BC的中点为M，即P在BC的垂直平分线上，
∴动点P的轨迹经过△ABC的外心，∴D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查向量数量积的应用，三角形的垂线、外心的概念，向量极化恒等式的应用，向量共线定理的推论的应用，属难题．
（多选）10．（2023•万州区校级模拟）下列选项中正确的是（　　）
A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°
B．设向量，，若，共线，则x＝±2
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量；向量的概念与向量的模；两向量的和或差的模的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】对两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；
由共线向量的坐标表示可判断B；
由投影向量的定义可判断C；
，结合余弦函数的值域可判断D．
【解答】解：向量，为单位向量，
则，
，
则，即，
则，即，
又，
所以夹角，故A错误；
因为，，且，共线，
则1×3＝（x﹣1）（x+1），解得x＝±2，故B正确；
，，
在方向上的投影向量为，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故C正确；
，
则＝，
故的最大值是5，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（2023春•武威月考）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M在边BC的延长线上
C．若，则点M是△ABC的重心
D．若，则
【考点】平面向量的基本定理；三角形五心．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算逐一判断即可得解．
【解答】解：对于选项A，由，则M是边BC的中点，即选项A正确；
对于选项B，由，则，即，则B是MC的中点，即选项B错误；
对于选项C，由，则，取BC的中点D，则，则点M是△ABC的重心，即选项C正确；
对于选项D，如图：
，可得．所以D正确．
故选：ACD．

【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
（多选）12．（2023春•如皋市校级月考）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC＝a2，则下列说法正确的是（　　）
A．若B+C＝2A，则△ABC面积的最大值为
B．若，且△ABC只有一解，则b的取值范围为（0，1]
C．若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
D．O为△ABC的外心，则
【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】对于A，由正弦定理可得a，根据B+C＝2A求出A，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用sinB＝1可判断B；求出B＝π﹣3A，利用△ABC为锐角三角形得A的范围，由正弦定理得c＝2cosA，求出c的范围可判断C；做OD⊥BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，设∠OBD＝α可得，利用数量积公式计算可判断D．
【解答】解：对于A，由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA＝asinA，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以a＝1，
若B+C＝2A，且B+C+A＝π，所以，
由余弦定理得，
由b＞0，c＞0，可得b2+c2＝bc+1≥2bc，即bc≤1，当且仅当b＝c时等号成立，
则△ABC面积，所以△ABC面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且a＝1，由正弦定理得，
所以，当sinB＝1时，即，时有一解，故B错误；
对于C，若C＝2A，所以B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，且△ABC为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，故C正确；
对于D，如图作OD⊥BC交BC于点D点，则D点为BC的中点，且BC＝1，

设∠OBD＝α，所以，
所以＝＝＝，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•广东一模）已知向量满足，则与的夹角为 　　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可．
【解答】解：由，
设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，
因为0≤θ≤π，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
14．（2023•乐山模拟）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若（2a﹣c）cosB＝bcosC，且，则△ABC周长的最大值为 　　．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得a+c的最大值，即可得出△ABC周长的最大值．
【解答】解：因为（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
所以，2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
因为A、B∈（0，π），则sinA＞0，所以，，故，
由余弦定理可得3＝b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
所以，（a+c）2≤12，即，故，
当且仅当时，等号成立，故△ABC周长的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．（2023•自贡模拟）△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若（2a﹣c）cosB＝bcosC，且，则△ABC面积的最大值为 　　．
【考点】正弦定理；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得ac的最大值，即可得出△ABC面积的最大值．
【解答】解：因为（2a﹣c）cosB＝bcosC，
由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
所以，sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，
因为A、B∈（0，π），则sinA＞0，
所以，
因为B为三角形内角，
故，
由余弦定理可得3＝b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，
所以，ac≤3，则．
当且仅当时，等号成立，故△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
16．（2022秋•湘潭期末）在△ABC中，，则∠A＝　90°　．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】根据正弦定理求解即可．
【解答】解：根据正弦定理可知，代入题中数据，可知sinA＝1，
所以∠A＝90°
故答案为：90°．
【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
17．（2023春•金凤区校级月考）若A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且，则点P坐标为 　（6，﹣9）　．
【考点】向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据条件可得出，设P（x，y），然后可得出（x﹣2，y﹣3）＝2（x﹣4，y+3），从而得出，然后解出x，y即可．
【解答】解：∵点P在线段AB的延长线上，且，
∴，
设P（x，y），且A（2，3），B（4，﹣3），
∴（x﹣2，y﹣3）＝2（x﹣4，y+3），
∴，解得，
∴P（6，﹣9）．
故答案为：（6，﹣9）．
【点评】本题考查了向量数乘的几何意义，向量坐标的数乘运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
18．（2023•岳阳模拟）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且△ABC的内切圆半径r＝2．求：
（1）角A的大小；
（2）b+c的最小值．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知可得＝sinAcosC+cosAsinC+sinC，即，又，则，得解；
（2）由三角形的面积公式可得＝，即，由余弦定理可得：，然后结合重要不等式求解即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，
则＝sinAcosC+cosAsinC+sinC，
又sinC＞0，
则，
即，
又，
则，
即；
（2）已知△ABC的内切圆半径r＝2，
则＝，
即，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得：，
则，
又，
当且仅当b＝c时取等号，
即，
即，
即或，
又∵△ABC的内切圆半径r＝2，，
∴b+c＞，
∴，
即b+c的最小值为．
【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了重要不等式，属中档题．
19．（2023•常德模拟）如图，在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且AD＝1，．
（1）求∠BAD的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

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【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）设∠BAD＝θ，则∠DAC＝θ，则∠BAC＝2θ，根据S△BAD+S△CAD＝S△ABC，得到c+b＝2bccosθ，结合，得到，即可求解；
（2）在△ABD、△ADC和△ABC中，分别由余弦定理得到BD2、CD2和BC2，从而得到，结合条件求出bc，即可求解．
【解答】解：（1）设∠BAD＝θ，则∠DAC＝θ，则∠BAC＝2θ，
由S△BAD+S△CAD＝S△ABC，
所以，化简得c+b＝2bccosθ，
∴，解得：，
又，∴，即．
（2）在△ABD中，由余弦定理有，①
在△ADC中，由余弦定理有，②
在△ABC中，由余弦定理有（BD+CD）2＝a2＝b2+c2﹣bc，③
①②③联立得，
又，∴，
又，即，代入上式可解得，
∴．
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（2023•香坊区校级一模）在锐角△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a2﹣b2＝bc．
（Ⅰ）求角B的取值范围；
（Ⅱ）若c＝4，求△ABC中AB边上的高h的取值范围．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化思想；转化法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理得c﹣b＝2bcosA，结合正弦定理可得sin（A﹣B）＝sinB，可得A＝2B，则，求解即可得出答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B∈（，），A＝2B，利用面积公式可得h＝，化简可得h＝，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2﹣b2＝bc，
在锐角△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝，
∴c﹣b＝2bcosA，
由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，
又sinC＝sin（B+A），则sinBcosA+cosBsinA﹣sinB＝2sinBcosA，即cosBsinA﹣sinBcosA＝sinB，
∴sin（A﹣B）＝sinB，
∴A﹣B＝B或A﹣B+B＝π（不合题意，舍去），
∴A＝2B，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，解得＜B＜，
故角B的取值范围为（，）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B∈（，），A＝2B，
S△ABC＝ch＝acsinB，则h＝asinB，
由正弦定理得，
∴h＝＝＝＝＝，
∵﹣tanB在（，）上单调递减，
∴﹣tanB∈（2，），
∴h∈（．4）．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想和函数思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
21．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【考点】余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A＝B；
（2）三种情况，在△ACD中，利用余弦定理证明即可．
【解答】（1）证明：因为，
由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得cosA＝cosB，
角A，B为△ABC中内角，所以A＝B．
（2）△ABC中，A＝B，D为BC的中点，如图所示，
①②⇒③，
已知AD＝4，，求证CD＝2．
证明：AC＝2CD，△ACD中，，
解得CD＝2．
①③⇒②，
已知AD＝4，CD＝2，求证．
证明：AC＝2CD＝4，所以△ACD中，．
②③⇒①，
已知，CD＝2，求证：AD＝4．
证明：AC＝2CD＝4，
在△ACD中，由余弦定理，，
所以AD＝4．

【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
22．（2023•西宁二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，D是边AC上的一点，且CD＝2AD，求线段BD的最大值．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由正弦定理得到，由辅助角公式求出答案；
（2）由正弦定理得到，由余弦定理得到，从而求出，得到答案．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得，
又C∈（0，π），所以sinC≠0，
所以，即，，
又B∈（0，π），
所以；
（2）在△ABC中，由正弦定理得，
所以．
因为CD＝2AD，所以AD＝1，CD＝2，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB⋅ADcosA
＝
＝
＝
＝，
所以，当且仅当sin2A＝1，即时，等号成立，
所以，即线段BD的最大值为．
【点评】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．

考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
5．两向量的和或差的模的最值
【知识点的知识】
向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有|+|≤||+||，当且仅当与方向相同时取得到等号；也有|+|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相反时取得到等号．
另外还有|﹣|≤||+||，当且仅当与方向相反时取得到等号．；|﹣|≥|||﹣|||，当且仅当与方向相同时取得到等号．
【例题解析】
例：定义*＝||||sinθ，θ是向量和的夹角，||，||是两向量的模，若点A（﹣3，2），B（2，3），O为坐标原点，则*＝（　　）
解：∵A（﹣3，2），B（2，3），
∴＝﹣3×2+2×3＝0，
∴sinθ＝1．
∴*＝＝＝13．
点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口．其实这个题求的就是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏．
【考点点评】
向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点．
6．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
7．投影向量
投影向量
8．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
9．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【典型例题分析】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　60°　．
解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．

【考点点评】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
10．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
12．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝

sinC＝
13．三角形的形状判断
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
14．三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．