2023年高考数学考前20天终极冲刺之基本初等函数

这是一份2023年高考数学考前20天终极冲刺之基本初等函数，共40页。
2023年高考数学考前20天终极冲刺之基本初等函数
一．选择题（共8小题）
1．（2023•常德模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若函数f（2x+1）为奇函数，且f（4﹣x）＝f（x），，则f（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2022秋•遂宁期末）函数定义域为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2] C．（1，2） D．（1，2]
3．（2022秋•城厢区校级期末）已知函数f（x）＝﹣lg（3﹣ax）（a≠1）在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）
4．（2023•大通县二模）已知图1对应的函数为y＝f（x），则图2对应的函数是（　　）

A．y＝f（﹣|x|） B．y＝f（﹣x） C．y＝f（|x|） D．y＝﹣f（﹣x）
5．（2023•西宁二模）已知，若f（f（1））＝f（﹣1），则实数a的值为（　　）
A． B．﹣4或 C．﹣4 D．不存在
6．（2023•柳州三模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设N＝45×910，则N所在的区间为（　　）
A．（1011，1012） B．（1012，1013）
C．（1013，1014） D．（1014，1015）
7．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
8．（2023•香坊区校级一模）若3a+log3a＝9b+3log27b，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•德州期末）下列正确的是（　　）
A．
B．
C．若a+a﹣1＝3，则
D．若3x＝4y＝M，且，则M＝36
（多选）10．（2022秋•宣城期末）已知，则下列大小关系正确的是（　　）
A．a＞b B．a＞d C．c＜d D．b＜c
（多选）11．（2022秋•和平区校级期末）已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，则（　　）
A． B．2x＞3y＞6z C． D．xy≥4z2
（多选）12．（2023•岳阳模拟）设函数f（x）＝|lgx|在[a，+∞）上的最小值为ma，函数在[0，a]上的最大值为Ma，若，则满足条件的实数a可以是（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•广东一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递减，f（x+2）为偶函数，若f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　 　．
14．（2022秋•大荔县期末）已知在区间（2，3）上是减函数，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（2022秋•庆阳期末）已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x+mx，f（1）＝﹣1，则m＝　 　.当x∈（0，+∞）时，f（x）＝　 　．
16．（2022秋•邯郸期末）已知y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，且f（2）＝0，则的解集为 　 　．
17．（2022秋•泰安期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．若f（2）＝3，则不等式f（x2﹣x﹣1）＜2的解集为 　 　．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•遂宁期末）在“①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．
已知函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x），且_____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2022秋•潮阳区期末）已知函数f（x）＝．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式f（x）＜﹣t有解，求t的取值范围．
20．（2022秋•邯郸期末）已知函数f（x）＝a（log2x）2﹣2alog2x+b﹣1（a＞0）在区间[4，8]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）≤klog2x恒成立，求实数k的取值范围．
21．（2022秋•怀化期末）已知函数．
（1）求f（x）在区间[1，8]上的最大值；
（2）设函数g（x）＝f（x+a），其中a＞0，若对任意，g（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
22．（2022秋•临渭区期末）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时且单调递增．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若f（a﹣1）＞f（1），求实数a的取值范围．

2023年高考数学考前20天终极冲刺之基本初等函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023•常德模拟）已知函数f（x）的定义域为R，若函数f（2x+1）为奇函数，且f（4﹣x）＝f（x），，则f（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据奇函数的性质得到f（2x+1）＝﹣f（1﹣2x），由条件f（4﹣x）＝f（x）结合函数的对称性和周期性的定义得到函数f（x）的周期为4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，f（0）＝﹣f（2），即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，且函数f（2x+1）为奇函数，
则f（2x+1）＝﹣f（1﹣2x），即函数f（x）关于点（1，0）对称，
所以有f（x）＝﹣f（2﹣x）①，
又f（4﹣x）＝f（x）②，所以函数f（x）关于直线x＝2对称，
则由②得：f（3）＝f（4﹣1）＝f（1）＝0，f（0）＝f（4﹣0）＝f（4），
所以f（0）+f（2）＝f（2）+f（4）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0
又由①和②得：f（4﹣x）＝﹣f（2﹣x），得f（x）＝﹣f（x﹣2），
所以f（x+2）＝﹣f（x）＝f（x﹣2），即f（x）＝f（x+4），
所以函数f（x）的周期为4，
则，
所以f（0）＝﹣f（2）＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
2．（2022秋•遂宁期末）函数定义域为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，2] C．（1，2） D．（1，2]
【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由计算得解．
【解答】解：由得﹣1＜x＜2，
所以函数定义域为（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
3．（2022秋•城厢区校级期末）已知函数f（x）＝﹣lg（3﹣ax）（a≠1）在区间（0，4]上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C．（0，1） D．（1，+∞）
【考点】复合函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由x∈（0，4]时，3﹣ax＞0恒成立，可得，设t＝3﹣ax，只需函数t＝3﹣ax是减函数即可得结果．
【解答】解：因为x∈（0，4]时，3﹣ax＞0恒成立，
所以，
设t＝3﹣ax，
因为函数y＝﹣lgt是减函数，所以要使f（x）在（0，4]上是增函数，
则需函数t＝3﹣ax是减函数，可得a＞0，
所以，
实数a的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（2023•大通县二模）已知图1对应的函数为y＝f（x），则图2对应的函数是（　　）

A．y＝f（﹣|x|） B．y＝f（﹣x） C．y＝f（|x|） D．y＝﹣f（﹣x）
【考点】函数的概念及其构成要素；函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且x≤0时两函数解析式相同，即可得解．
【解答】解：根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，
当x＞0时，所求函数图象与x＜0时图象关于y轴对称，
即所求函数为偶函数且x≤0时与y＝f（x）相同，故BD不符合要求，
当x≤0时，y＝f（﹣|x|）＝f（x），y＝f（|x|）＝f（﹣x），故A正确，C错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．
5．（2023•西宁二模）已知，若f（f（1））＝f（﹣1），则实数a的值为（　　）
A． B．﹣4或 C．﹣4 D．不存在
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先根据分段函数的解析式求出f（1）＝a+3，，，即可得到，再分a+3≥0和a+3＜0两种情况求解即可．
【解答】解：由题意，f（1）＝a+3，，即，
当a+3≥0，即a≥﹣3时，，解得，满足题意，
当a+3＜0，即a＜﹣3时，，解得a＝﹣4，满足题意，
所以或﹣4．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
6．（2023•柳州三模）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设N＝45×910，则N所在的区间为（　　）
A．（1011，1012） B．（1012，1013）
C．（1013，1014） D．（1014，1015）
【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】先求出lgN的值，结合选项即可判断．
【解答】解：因为lgN＝lg（45×910）＝10lg2+20lg3≈12.5520，可知B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．（2023•河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【考点】幂函数的图象．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案．
【解答】解：由指数函数的性质可知：
①是的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要幂函数的图象，属于基础题．
8．（2023•香坊区校级一模）若3a+log3a＝9b+3log27b，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2
【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先构造函数f（x）＝3x+log3x（x＞0），再判断单调性，求解即可．
【解答】解：设f（x）＝3x+log3x（x＞0），则f（x）＝3x+log3x（x＞0）单调递增，
∵3a+log3a＝9b+3log27b＝32b+log3b，
∴f（2b）＝32b+log32b＞32b+log3b＝3a+log3a＝f（a），
∴a＜2b．
故选：B．
【点评】本题考查利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2022秋•德州期末）下列正确的是（　　）
A．
B．
C．若a+a﹣1＝3，则
D．若3x＝4y＝M，且，则M＝36
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】应用指、对、幂函数的运算公式逐一计算即可得到结果．
【解答】解：A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：a+a﹣1＝3，，故C错误；
D选项：3x＝4y＝M，则x＝log3M，，同理y＝log4M，，则，解得M＝36，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
（多选）10．（2022秋•宣城期末）已知，则下列大小关系正确的是（　　）
A．a＞b B．a＞d C．c＜d D．b＜c
【考点】对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定各数的范围，再进行比较即可．
【解答】解：因为，
所以a＞b＞1；
因为5log43＝log4243，3＝log464＜log4243＜log4256＝4，3＜5log43＜4，
所以；
因为5log54＝log51024，4＝log5625＜log51024＜log53125＝5，4＜5log54＜5，
所以；
所以．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
（多选）11．（2022秋•和平区校级期末）已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，则（　　）
A． B．2x＞3y＞6z C． D．xy≥4z2
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】令2x＝3y＝6z＝k，则k＞1，可得：x＝log2k，z＝log6k，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案．
【解答】解：令2x＝3y＝6z＝k，则k＞1，可得：x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
对于A，因为，
所以，
故选项A正确；
对于选项B，因为k＞1，故lgk＞0，
所以＝＝，即2x＞3y；，即3y＜6z，故B选项错误．
对于选项C：，因为0＜2lg2＜3lg3＜6lg6，所以，
因为lgk＞0，所以，即，即，故选项C正确；
对于选项D：，，
因为，因为lg2≠lg3，所以等号不成立，
所以，即，
所以xy＞4z2，根据“或”命题的性质可知选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（2023•岳阳模拟）设函数f（x）＝|lgx|在[a，+∞）上的最小值为ma，函数在[0，a]上的最大值为Ma，若，则满足条件的实数a可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可．
【解答】解：函数f（x）和g（x）的图象，如图，

当0＜a＜1时，函数f（x）＝|lgx|在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以ma＝lg1＝0，
函数在[0，a]上单调递增，所以，
所以，解得；
当a≥1时，函数f（x）＝|lgx|在[a，+∞）上单调递增，所以ma＝|lga|＝lga，
由图可知，函数在[0，a]上，有，得Ma＝1，
所以，解得，
结合选项，实数a可以是和．
故选：BD．
【点评】本题主要考查考查函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
13．（2023•广东一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在[0，2]上单调递减，f（x+2）为偶函数，若f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　24　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】由题设可得f（x）的周期为8，且关于x＝2对称的奇函数，结合区间单调性判断[0，12]上单调情况，根据f（x）与y＝m有4个交点，及函数的对称性求根的和．
【解答】解：由f（x+2）为偶函数，则f（﹣x+2）＝f（x+2），故f（﹣x）＝f（x+4），
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），
所以f（x）＝﹣f（x+4），故f（x+4）＝﹣f（x+8），即有f（x）＝f（x+8），
综上，f（x）的周期为8，且关于x＝2对称的奇函数，
由f（x）在[0，2]上单调递减，结合上述分析知：在[2，6]上递增，[6，10]上递减，[10，12]上递增，
所以f（x）在[0，12]的大致草图如下：
要使f（x）＝m在[0，12]上恰好有4个不同的实数根，即f（x）与y＝m有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于x＝2，x＝10对称，则x1+x2+x3+x4＝24．
故答案为：24．

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性及对称性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
14．（2022秋•大荔县期末）已知在区间（2，3）上是减函数，则实数a的取值范围是 　[﹣8，4]　．
【考点】复合函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】令g（x）＝2x2﹣2ax+5a，根据对数型复合函数的单调性可得g（x）＝2x2﹣2ax+5a在（2，3）上单调递增且恒大于零，即可得到，解得即可．
【解答】解：令g（x）＝2x2﹣2ax+5a，因为在定义域上单调递减，
又在区间（2，3）上是减函数，
所以g（x）＝2x2﹣2ax+5a在（2，3）上单调递增且恒大于零，
所以，解得﹣8≤a≤4，所以实数a的取值范围是[﹣8，4]．
故答案为：[﹣8，4]．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2022秋•庆阳期末）已知函数f（x）是奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x+mx，f（1）＝﹣1，则m＝　　.当x∈（0，+∞）时，f（x）＝　　．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用f（x）是奇函数，由f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1，代入函数解析式解出m的值；由x∈（﹣∞，0）时的函数解析式利用奇函数的性质求x∈（0，+∞）时的解析式．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以，解得；
因为当x＜0时，，
当x＞0时，﹣x＜0，则．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式及函数求值中的应用，属于基础题．
16．（2022秋•邯郸期末）已知y＝f（x）为定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，且f（2）＝0，则的解集为 　（﹣∞，﹣3]∪（0，1]　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；三角函数的求值；数学抽象．
【分析】根据y＝f（x）的性质可做出y＝f（x）的图象，根据平移可得f（x+1）的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：由题意知函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增且为偶函数，
由f（2）＝0得f（﹣2）＝0，作出f（x）的辅助图并向左平移一个单位，
所以，或⇒x≤﹣3，
故的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．

【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
17．（2022秋•泰安期末）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．若f（2）＝3，则不等式f（x2﹣x﹣1）＜2的解集为 　（﹣1，2）　．
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1，
设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，f（x1﹣x2）＞1，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f[（x1﹣x2）+x2]﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1＞0，
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）是增函数，
因为f（2）＝3，即f（2）＝f（1）+f（1）﹣1＝3，所以f（1）＝2，
所以原不等式化为f（x2﹣x﹣1）＜2等价为f（x2﹣x﹣1）＜f（1），
则x2﹣x﹣1＜1，即x2﹣x﹣2＜0，则（x﹣2）（x+1）＜0，得﹣1＜x＜2，
故不等式的解集是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共5小题）
18．（2022秋•遂宁期末）在“①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．
已知函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x），且_____．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）选①，解法一：由，求出k＝1，检验后即可；解法二：由f（﹣x）＝f（x）求出k＝1；
选②，解法一：由求出k＝﹣1，检验后即可；解法二：由f（﹣x）+f（x）＝0求出k＝﹣1；
（2）由定义法求解函数的单调性步骤，取值，作差，判号，下结论．
【解答】若选择①函数f（x）是偶函数．
解：（1）解法一：根据题意，易得函数f（x）的定义域为（﹣1，1），
由f（x）为偶函数，因此，
所以，
解得k＝1，经检验k＝1符合题设，
所以f（x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）＝lg（1﹣x2），x∈（﹣1，1）．
解法二：由题，f（﹣x）＝f（x）在（﹣1，1）上恒成立，
则lg（1﹣x）+klg（1+x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x）恒成立，
则有，即恒成立，
所以k＝1．
所以f（x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）＝lg（1﹣x2），x∈（﹣1，1）．
（2）函数f（x）＝lg（1﹣x2）在（0，1）上单调递减．
证明：∀x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，有，
由0＜x1＜x2＜1，得x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，
所以（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，
于是，
所以，
所以，
即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）＝lg（1﹣x2）在（0，1）上单调递减．
若选择②函数f（x）是奇函数．
解：（1）解法一：根据题意，易得函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．
由f（x）为奇函数，因此，
所以，
解得k＝﹣1，经检验k＝﹣1符合题设，
所以．
解法二：f（﹣x）+f（x）＝0在（﹣1，1）上恒成立，lg（1﹣x）+klg（1+x）+lg（1+x）+klg（1﹣x）＝0恒成立，
即（k+1）lg（1﹣x2）＝0恒成立，
所以k＝﹣1，
所以．
（2）函数在（0，1）上单调递增．
证明：∀x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则
由0＜x1＜x2＜1，得x2﹣x1＞0，1﹣x2＞0，1﹣x1＞0，
所以，即，于是，
所以，
即f（x1）＜f（x2），所以函数在（0，1）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
19．（2022秋•潮阳区期末）已知函数f（x）＝．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式f（x）＜﹣t有解，求t的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】（1）利用奇函数的定义，首先明确函数定义域，再证明等式的成立，可得答案；
（2）直接利用单调性定义，作差化简；
（3）利用分离常数项整理函数，根据指数函数的性质以及不等式性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，理由如下：
函数的定义域为R，
，
所以函数是奇函数；
（2）解：f（x）在R上单调递增，证明如下：
由条件知，任取x1＜x2，
所以，
又因为x1＜x2，所以且，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增；
（3）不等式f（x）＜﹣t有解，即关于x的不等式有解．
由，因为2x+1∈（1，+∞），
所以，，
所以的取值范围是（﹣1，1），
所以﹣t＞﹣1，所以t＜1，
即t的取值范围是（﹣∞，1）．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20．（2022秋•邯郸期末）已知函数f（x）＝a（log2x）2﹣2alog2x+b﹣1（a＞0）在区间[4，8]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的x∈[1，4]，f（x）≤klog2x恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）换元，转化成关于t的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．
（2）换元成关于t的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可．
【解答】解：（1）x∈[4，8]，令t＝log2x，设m（t）＝at2﹣2at+b﹣1（a＞0），t∈[2，3]，
∵a＞0，对称轴为t＝1，
∴m（t）＝at2﹣2at+b﹣1在[2，3]上单调递增，
则，解得，
∴实数a的值为1，b的值为0．
（2）由f（x）≤klog2x，得，
令t＝log2x，则t∈[0，2]，t2﹣2t﹣1≤kt，
当t＝0时，﹣1≤0恒成立，即k∈R；
当t∈（0，2]时，，
令，则只需k≥g（t）max，
由于均为t∈（0，2]上的单调递增函数，所以，在t∈（0，2]上单调递增，
∴，∴，
综上，实数k的取值范围为．
【点评】本题考查对数函数以及二次函数的性质，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（2022秋•怀化期末）已知函数．
（1）求f（x）在区间[1，8]上的最大值；
（2）设函数g（x）＝f（x+a），其中a＞0，若对任意，g（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）化简可得f（x）＝log2x，由对数函数单调性计算即可得出结果；
（2）由题意得，g（x）＝log2（x+a），由g（x）在[t，t+1]上单调递增，只需g（t+1）﹣g（t）≤1成立，计算即可得出结果．
【解答】解：（1）因为，
又f（x）在[1，8]上单调递增，所以当x＝8时，f（x）有最大值3．
（2）由题意得，g（x）＝log2（x+a），
因为a＞0，，所以g（x）在[t，t+1]上单调递增，
所以当x＝t时，g（x）取得最小值；当x＝t+1时，g（x）取得最大值，
所以原题可转化为任意，g（t+1）﹣g（t）≤1成立，
即log2（t+1+a）﹣log2（t+a）≤1，即log2（t+1+a）≤log2（t+a）+1＝log22（t+a），
所以0＜t+1+a≤2（t+a），所以a≥1﹣t恒成立，
又，则，
所以，即a的取值范围为．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2022秋•临渭区期末）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时且单调递增．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若f（a﹣1）＞f（1），求实数a的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】（1）当x＞0时，可将﹣x代入解析式，结合偶函数定义可得此时f（x）的解析式，由此可得分段函数解析式；
（2）由偶函数性质可得f（x）的单调性，利用单调性和奇偶性可得﹣1＜a﹣1＜1，解不等式可求得结果．
【解答】解：（1）令x＞0，则﹣x＜0，则，
又f（x）为R上的偶函数，
∴，
∴函数f（x）在R上的解析式为；
（2）∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（a﹣1）＞f（1），等价于﹣1＜a﹣1＜1，得0＜a＜2，
∴不等式f（a﹣1）＞f（1）的解集为（0，2）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的概念及其构成要素
【知识点的认识】初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，
x叫自变量，y叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示．
【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．
【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考中函数命题比较多，以小题与大题出现，
可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联系常常是压轴题，难度比较大．
3．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
4．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
5．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
6．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
7．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
8．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
9．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
10．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝　　．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
11．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
12．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
13．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
14．幂函数的图象
【知识点归纳】

15．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
16．指数式与对数式的互化
【知识点归纳】
ab＝N⇔logaN＝b；
alogaN＝N；logaaN＝N
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）
（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）
（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）
（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法）
（5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）
17．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
18．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）