重庆市2023-2024学年高三数学上学期8月月度质量检测试题（Word版附解析）

★秘密·2023年8月25日16：00前

重庆市2023-2024学年（上）8月月度质量检测

高三数学

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；

4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．中国女篮在2023年女篮亚洲杯决赛中以2分优势力克老对手日本队，中国女篮重夺亚洲杯冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（    ）

A． B． C． D．

4．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线C：，直线与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的焦距为（    ）

A． B． C．2 D．4

6．函数在在区间上单调递增，则k得取值范围是（    ）

A． B．

C． D．（-，1]

7．中，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．在数列中，，且函数的导函数有唯一零点，则的值为（    ）．

A．1021 B．1022 C．1023 D．1024

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9．已知圆锥顶点为，底面圆的直径长为，.若为底面圆周上不同于，的任意一点，则下列说法中正确的是（    ）

A．圆锥的侧面积为

B．面积的最大值为

C．圆锥的外接球的表面积为

D．若圆锥的底面水平放置，且可从顶点向圆锥注水，当水的平面过的中点时，则水的体积为

10．已知圆与圆相交于两点，则（    ）

A．圆的圆心坐标为

B．当时，

C．当且时，

D．当时，的最小值为

11．已知函数在上可导，且，其导函数满足（当且仅当时取等号），对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为减函数 B．是函数的极大值点

C．函数必有2个零点 D．

12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2 列联表，并计算得到χ2≈19.05，下列小波对A地区天气的判断正确的是（　　）

A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为

C．依据α＝0.005 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关

D．依据α＝0.005 的独立性检验，若出现“日落云里走”，则认为夜晚一定会下雨

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量与的夹角为，则      .

14．正三棱锥底面边长为为的中点，且，则正三棱锥外接球的体积为     .

15．如果，则为奇函数，图象关于原点对称. 如果，则图象关于点对称.若已知函数的最大值为，最小值为，则的值为           .

16．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列正确的是      .（填序号）

①   ②函数关于对称    ③函数是周期函数   ④

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且，求的面积.

18．已知数列的前项和为，设.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

19．某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：

①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.

②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.

③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.

④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.

(1)求随机变量的分布列；

(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.

（i）求随机变量的分布列

（ii）证明.

20．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．

(1)证明：；

(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

21．已知曲线上任意一点满足，且.

(1)求的方程；

(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.

22．已知函数，

(1)若函数，讨论当时函数的单调性；

(2)若函数恒成立，求的取值范围.

★秘密·2023年8月25日16：00前

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高三数学答案及评分标准

【命题单位：重庆缙云教育联盟】

1．D  2．A  3．B  4．B  5．D

6．B【分析】将问题转化为即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最大值即可求得k的范围.

7．B【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围.

8．A【分析】对应函数求导，利用奇偶性定义判断为偶函数，根据有唯一零点知，构造法有，应用等比数列定义写出通项公式并求对应项.

9．BCD  10．ABD

11．AD【分析】对于AB，对求导后，结合可求出的单调区间和极值，进行判断，对于C，求出的最小值分析判断，对于D，由在上单调递增分析判断.

12．ABC【分析】用古典概型的计算公式判断；由独立性检验可判断.

13．

14．

15．2

16．①③④

17．

（1）由得，

利用正弦定理可得，化为，

所以由余弦定理得，，.

（2）由余弦定理可得，

所以，所以.

18．

（1）已知①，当时，，解得，

当时，②，①②得：，

因为，整理得，所以；

（2）由，可得，由于

，

所以.

19．

（1）由题意，每位选手成功闯过两关的概率为，易知取1,2,3,4，则，，，，

因此的分布列为

（2）（i）时，第人必答对第二题，

若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，

若前面人有一人答对第一题，其概率为，

故.

当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，

若前面人有一人答对第一题，其概率为，

故.

的分布列为：

（ii）由（i）知.

，

故，又，

故，

所以，①

，②

②－①，

故.

20．

（1）设，则为的中点，连接，

因为为菱形，则，

又因为，且为的中点，则，

，平面，所以平面，

且平面，则，

又因为∥平面，平面，平面平面，

可得∥，所以.

（2）因为，且为的中点，则，

且，，平面，所以平面，

可知与平面所成的角为，即为等边三角形，

设，则，且平面，平面，

可得平面，平面，

且平面平面，所以，即交于一点，

因为为的中点，则为的重心，

且∥，则，

设，则，

如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面的法向量，则，

令，则，可得，

设平面的法向量，则，

令，则，可得，

可得，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

21．

（1）由于，符合双曲线的定义，

于是，即，

故，注意到，且焦点在轴上，

故曲线的方程为

（2）若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点，

设该直线为，和双曲线联立可得，

则，故，

设，则方程可写作：，的方程可写作：，

联立的方程可得，，整理可得，，

则，

利用在直线上，

于是，

于是，故，

即，故交点一定落在上.

22．

（1）当时，；

定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增.

（2）若，即，由得：，

则当时，，则不恒成立，

且定义域为；

由恒成立可得：，

，

令，则，

与均为单调递增函数，为单调递增函数，

，；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

，解得：，即实数的取值范围为.