2024高考数学第一轮复习：专题3.1 导数的定义、导数的运算（解析版）

这是一份2024高考数学第一轮复习：专题3.1 导数的定义、导数的运算（解析版），共29页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，导函数的概念，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，复合函数的导数，常用结论，某物体的运动路程s等内容，欢迎下载使用。
3.1 导数的定义 、导数的运算
思维导图



知识点总结


1．导数的概念
(1)平均变化率：我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

2．导数的几何意义
曲线f(x)的割线P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，则割线P0P的斜率是k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝
3．导函数的概念
当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝
4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝α·xα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝loga x(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
7．常用结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)熟记以下结论：①′＝－；②′＝－(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).


典型例题分析
考向一 导数的运算
例1　f(x)＝x(2021＋ln x)，若f′(x0)＝2022，则x0等于(　　)
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
答案　B
解析　f′(x)＝2021＋ln x＋x·＝2022＋ln x，故由f′(x0)＝2022，得2022＋ln x0＝2022，则ln x0＝0，解得x0＝1.
知识点总结

常见形式及具体求导的六种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元



考向二 导数与函数的图象
例2　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为(　　)


答案　A
解析　由f(x)的图象可知，函数f(x)单调递增，速度先由快到慢，再由慢到快，由导数的几何意义可知，f′(x)先减后增，且恒大于等于0，故符合题意的只有A.故选A.
知识点总结

导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点附近的变化情况.

考向三 求切线方程
例3　在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 ．
答案　(e，1)
解析　设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m).
又切线过点(－e，－1)，所以有－1－n＝(－e－m).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).
知识点总结
与切线有关的问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出曲线在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.
考向四　由导数的几何意义求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是 ．
答案　(－，)
解析　因为f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由题意得－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，则Δ＝4a2－12＜0，解得－＜a＜.
知识点总结

1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路
一般是利用切点P(x0，y0)求出切线方程再转化研究．
2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路
由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．


基础题型训练

一、单选题
1．曲线在点处的切线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程.
【详解】因为，
所以曲线在点处斜率为4，
所以曲线在点处的切线方程是，
即，
故选：B
2．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中）
现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知公式，将公式两边分别求导，结合诱导公式，即可得到，求解即可.
【详解】因为（其中），且，
所以对两边分别求导可得：
.
令x=1可得：.
又，则.
故选：B
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用先求出的值，设，根据已知条件求出，再利用奇函数，求出在上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．
【详解】解：由题意得，，解得，
当，时，，
设，则，，
是定义在上的奇函数，
，此时，
，
，
把代入得， ，则切点为，
所求的切线方程为：，化简得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想，属于基础题．
4．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导得=，由列式得a的方程求解即可
【详解】由题=,解得a=4
故选D
【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题
5．已知某质点做变速直线运动，位移S（m）与时间t（s）的关系为，则t＝1时．该质点瞬时速度的大小为（    ）
A．1m/s B．m/s C．m/s D．2m/s
【答案】C
【分析】利用导数的运算法则求解.
【详解】解：由题意得，
所以t＝1时，该质点的瞬时速度为m/s．
故选：C．
6．已知函数，是函数的导数，且函数的图象关于直线对称，若在上恒成立，则实数n的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，因为的图象关于直线对称，求得的值，再根据在上恒成立，分离参数，构造新的函数，根据新函数的最值即可得出答案.
【详解】解：依题意可得，
因为的图象关于直线对称，
所以，解得，故，
因为在，上恒成立，即，
所以在，上恒成立，
令，则函数在，上单调递减，
所以函数在，上的最大值为，
所以，故实数的取值范围为．
故选：C．

二、多选题
7．已知函数，，则下列说法正确的是（    ）
A．对任意，均存在零点 B．当时，有两条与轴平行的切线
C．存在，有唯一零点 D．当时，存在唯一极小值点，且
【答案】BCD
【分析】对于A，C，由已知得，，令，利用导数的相关性质，即可对A，C选项进行判断；
对于B，，即可得到，由函数的图像可知方程有两个根，进而可以判断B选项；
对于D，当时，，由图像可知此方程的根的情况，进而可以判断D选项.
【详解】对于A，令，则，
令， ，
令，得 ，
当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取到极小值，即当时，取到极小值，又 ，即 ，又因为在上，递减，故，当时，取到极大值，即当时，取到极大值，又 ，即 ，故，当时，，所以当即，时，在上无零点，故A错误；
而当，即时， 与 的图像只有一个交点，即存在在上有唯一零点，故C正确，
对于B， ，即，由函数的图像可知方程有两个根：，，，即斜率为0的切线共有两条，其切点均不在x轴上，故切线均与x轴平行，故B正确；
对于D，当时，，由图像可知此方程有唯一实根，因为，所以，，，，可知，故D正确．
故选：BCD
8．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（    ）
A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/s
C．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s
【答案】BCD
【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】对于A：，
即物体在时的瞬时速度为3m/s，A错误．
对于B：，
即物体在时的瞬时速度为1m/s，B正确．
对于C：设物体在时刻的瞬时速度为9m/s，
又，
所以，物体在时的瞬时速度为9m/s，C正确．
对于D：，D正确．
故选：BCD

三、填空题
9．已知函数在点处的切线过点，则的最小值为__________.
【答案】12
【分析】根据导数的几何意义求得函数在点处的切线方程，可推出，将化为，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由函数可得，
则，
故函数在点处的切线方程为，即，
则由题意可得，
故，
当且仅当，即取等号，
即的最小值为12，
故答案为：12
10．曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】求出导函数，进而得到斜率，根据点斜式写出切线方程.
【详解】，，则当时，，所以切线方程为：，整理得：
故答案为：
11．函数在上可导，且．写出满足上述条件的一个函数：______．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】根据题意，由导数的计算公式分析，可得答案．
【详解】解：根据题意，函数在上可导，且．
可以考查指数函数，如，其导数，
满足．
故答案为：，（答案不唯一）．
12．设，则______．
【答案】2
【分析】求出导函数，代入e值即可.
【详解】∵，∴
∴
故答案为：2

四、解答题
13．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先求得曲线在处的切线方程，进而求得该三角形的面积；
（2）先分离参数，再构造新函数，利用导数求得新函数最小值，进而求得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，
则，又，
则曲线在处的切线方程为，
令解得令解得，
此切线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
则该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为；
（2）由在上恒成立，
可得在上恒成立，
令，则
令，则在恒成立，
则在单调递增，
又，，
则存在，使得
则当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
则时取得最小值
令，，则在恒成立，
则在单调递增，
由，，可得
则，即，则
则
则实数a的取值范围为
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
14．设函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，当时，证明.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由导数的几何意义求切点处的斜率，即可写出切线方程.
（2）由题意，令，利用导数研究的单调性，只要，结论即得证.
【详解】（1）当时，函数，则，
∴，又，则所求的切线方程为，
∴整理：.
（2）证明：当时，.
设，其定义域为，则证明即可.
∵，有，.
又，函数在上单调递增.
∴有唯一的实根，且.
当时，；当时，，故函数的最小值为.
∴.
故得证.
【点睛】思路点睛：
1、构造函数：.
2、问题转化：即在定义域内恒成立即可.
3、讨论单调性：根据与0的大小关系确定区间单调性.
4、求最值：由函数单调性确定最值，并确认是否成立即可.
15．求下列函数的导数：
(1)；
(2)（，且）；
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）先化简函数解析式再去求导即可解决；
（2）依据导数运算法则去求导即可解解决；
（3）依据导数运算法则和复合函数求导法则去求导即可解解决；
（4）依据导数运算法则和复合函数求导法则去求导即可解决.
(1)
，
则
(2)

(3)

(4)



16．已知曲线y＝x3－2x，求过点(1，－1)的该曲线的切线方程．
【答案】x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
【分析】设切点坐标为(x0，y0)，切线斜率为k＝3x－2，当x0＝1时，斜率为1，解得切线方程．当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率为－．
【详解】设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－，故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－＝－ (x＋)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
【点睛】利用导数求在某点(x0，y0)切线方程利用即可.



提升题型训练

一、单选题
1．（    ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】由导数公式求解即可.
【详解】.
故选：C.
2．设函数，则等于
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：求导得：，
所以
故选B
3．若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在点处的切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的方程，可得出切线方程，再将切线方程与二次函数的解析式联立，由可求得实数的值.
【详解】对于函数，，则曲线在点的切线斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由于直线过点，可得，解得或.
当时，切线为轴，对于函数，则，解得；
当时，切线方程为，联立，整理得，
，由题意可得，解得.
综上所述，或.
故选：A.
【点睛】本题考查过点与曲线相切的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.
4．设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由函数奇偶性，求出，得到，进而得到，对其求导，计算曲线在点处的切线斜率，从而可求出切线方程.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，故；
所以，
因此,
所以，
因此曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选C
【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
5．设，若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】,解得,
故选B.
6．已知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值.
【详解】函数
即
直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，，
因为，
故，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.

二、多选题
7．已知实数，，，满足，其中是自然对数的底数，则的值可能是（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
【分析】由，变形构造函数，由，变形构造函数，然后由表示图像上一点与图像上一点的距离导数的平方，求得切点，转化为点到直线的距离求解.
【详解】由，得，令，
∴，
由，得，令，
则表示图像上一点与图像上一点的距离的平方，
设图像上与直线平行的切线的切点为，
由，
得，
∴切点为，
∴切点到直线的距离的平方为，
∴与的距离的平方的取值范围为.
故选：BCD.
8．已知，在处取得最大值，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值.
【详解】因为
由题可知，所以，
所以，，即B正确.
令，因为，所以是增函数，
且，又，所以 ，
即，即C正确.
故选：BC.

三、填空题
9．某物体的运动路程s(单位：)与时间t(单位：)的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物体在t0时的瞬时速度为27，则t0=________.
【答案】3
【分析】利用导数由瞬时速度的定义直接求解即可
【详解】解：由，得，
由题意得，解得.
因为，故.
故答案为：3
10．有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度为_______.
【答案】0.875##(m/s)
【分析】建立梯子上端下滑距离的函数，利用导数求得速度.
【详解】设下滑时间为，则下滑距离函数.
当下端离开墙角时，用的时间为.
因为，
所以（）.
故答案为：0.875(m/s)
11．已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】利用导数求得函数的切线方程，由题意，建立方程组，可得答案.
【详解】设直线与曲线和分别相切于，两点，
分别求导，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因为直线为两曲线的公切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，令，则．
则直线与轴的交点坐标为．
故答案为：.
12．已知，直线与曲线相切，则______.
【答案】
【分析】结合函数为偶函数，先考虑时的情况，设出切点，利用导数得出结论。
【详解】当时，，，设直线与曲线相切于点，
则得，化简得，解得，.
又是定义在上的偶函数，所以.
故答案为：

四、解答题
13．求出下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）
【分析】（1）根据乘法的求导运算法则，以及基础函数的导数，可得结果.
（2）根据复合函数的求导法则：由外而内，以及函数的导数，可得结果.
（3）先计算式子得：，根据加法求导法则与函数的导数，可得结果.
（4）根据除法求导法则以及函数的导数，可得结果.
（5）根据复合函数的求导法则：由内而外，以及乘法的求导法则，可得结果.
【详解】（1）由，
则，
即
（2）由，则
（3）由，则，
（4）由，则，
（5）由，则．
【点睛】本题考查导数的四则运算，熟记公式以及基础函数的导函数，对于复合函数求导注意内函数和外函数，求导口诀是：由内而外，属基础题.
14．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
【答案】当斜率为时切线方程为；斜率为时切线方程为.
【分析】设切点为，求出函数在处的导数，从而得到相应的切线方程，代入后可得关于的方程，解出后可得所求的斜率及相应的切线方程.
【详解】设切点为，则.
因为，所以
故切线方程为：，
故，整理得到：，
解得或，
当时，斜率为且切线方程为：即；
当时，斜率为且切线方程为：即；
15．已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.
(1)求、的值；
(2)试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由.
【答案】(1)，
(2)有两个零点，理由见解析

【分析】（1） 由切点符合切线方程，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，列方程组，解出、的值；
（2）由（1）得出函数的解析式，将在区间内零点的个数，转为在区间内零点的个数，对求导，判断出单调性和极值，得出零点个数．
【详解】（1）的定义域为.
，，，
∵在点处的切线方程为，切线的斜率为.
，解得，.
（2）由（1）知，.
∴（为自然对数的底数）.
在区间内有两个零点.理由如下：
∵总成立，∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数，
∵，.
又∵，由，得.
当时，得，得，即，在上单调递减.
当时，得，得，即，在上单调递增.
∴在处取得极小值，也是最小值.
.
综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，即在区间内有两个零点.
∴函数在区间内有两个零点.
16．已知抛物线C:, 过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为，求点M的坐标；
（2）设P为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P．若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，在上有三点，及，在该点的法线通过点，法线方程分别为，，，当时，在上有一点，在该点的法线通过点，法线方程为．
【详解】试题分析：（1）求导可得点处切线的斜率法线斜率为=点的坐标为；（2）设为上一点，由上点处的切线斜率,法线方程为法线过点；若的法线方程为：．再讨论和，即可求得：当时，有三点和三条法线；当时，有一点和一条法线．
试题解析：（1）函数的导数，点处切线的斜率
过点的法线斜率为=，解得，．故点的坐标为．
（2）设为上一点，
若，则上点处的切线斜率,过点的法线方程为， 法线过点;
若，则过点的法线方程为：．
若法线过点，则，即．
若，则，从而，
代入得，．
若，与矛盾，若，则无解．
综上，当时，在上有三点，及，在该点的法线通过点，法线方程分别为，，．
当时，在上有一点，在该点的法线通过点，法线方程为．
考点：1.导数；2.切线；3.法线；4.直线方程.