备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类（含答案）

这是一份备战2024届高中数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类（含答案），共51页。试卷主要包含了幂函数的定义及其应用，幂函数的定义域和值域，幂函数的图象及应用，幂函数的性质及其应用，幂函数的综合问题，二次函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。

考点11 幂函数与二次函数6种常见考法归类


考点一 幂函数的定义及其应用
考点二 幂函数的定义域和值域
考点三 幂函数的图象及应用
（一）依据图象高低判定幂指数大小
（二）图象的识别
（三）幂函数图象过定点问题
考点四 幂函数的性质及其应用
（一）由幂函数的单调性求参数
（二）由幂函数的单调性解不等式
（三）由幂函数的单调性比较大小
（四）幂函数奇偶性的应用
（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用
（六）幂函数性质的综合应用
考点五 幂函数的综合问题
考点六 二次函数的图象与性质
（一）二次函数的图象
（二）二次函数的单调性
（三）二次函数在闭区间上的最值
（四）二次方程根的分布
（五）二次函数中的恒成立问题



1、 幂函数的判断及应用
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如等函数都不是幂函数。
2、常见的幂函数图像及性质
函数





图象





定义域





值域





奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点


3、 幂函数的图象及应用
（1）幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
②任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．
③当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
注：幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
④幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．
⑤在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

4、形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断
形如y＝x或y＝x－(m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.

5、解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

6、二次函数及其应用
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：；
②顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
③零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
(2)二次函数的图象与性质：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：
①对称轴：x＝－.
②顶点坐标：.
③开口方向：a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下.
④值域：a＞0时，y∈；a＜0时，y∈ . 　
⑤单调性：①当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
⑥与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
7、二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值. 它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值. 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动. 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.

8、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

9、 一元二次方程根的分布
设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示.
根的分布
(m＜n＜p且m，
n，p均为常数)　
图象
满足的条件
x1＜x2＜m


m＜x1＜x2


x1＜m＜x2

f(m)<0.
m＜x1＜x2＜n


m＜x1＜n＜x2＜p


m

只有一根
在区间(m，n)内

f(m)f(n)<0


考点一 幂函数的定义及其应用
1．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．
【答案】
【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可.
【详解】设幂函数为，由题意，，
解得，所以幂函数解析式为，
所以.
故答案为：
2．【多选】（2023秋·高三单元测试）已知函数为幂函数，则实数的可能性取值为（    ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
【答案】AD
【分析】根据幂函数定义得到方程，求出实数，检验后得到答案.
【详解】由题意得，解得或，
当时，，当时，，均满足要求.
故选：AD
3．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知幂函数满足，则的值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设，则，
所以.
故选：B
考点二 幂函数的定义域和值域
4．（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．
【解答】，定义域为，
，定义域为，
，定义域为，
，定义域为．
故选：C．
5．（2023·上海·高三专题练习）函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.
【详解】，所以，.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．
【答案】
【分析】设，根据条件求出，然后可得答案.
【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数值域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.
【详解】当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
9．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数值；
（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意且，解得；
（2）由（1），的对称轴 ，
因为在上不单调，所以，
解得．
10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数.
（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意得在上恒成立，可得，代入数据，化简整理，即可得答案.
（2）根据题意可得，即时恒成立，整理可得，设，只需即可，求导，可得的单调性，即可求得的最小值，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知在上恒成立，故
可得，解得
（2）由题意可得，，即时恒成立
可化为，
设，，只要即可，
又，所以在为增函数，
所以，
所以
【点睛】解题的关键是分离参数，可得恒成立，即即可，若处理存在性问题时，只需即可，考查分析计算的能力，属中档题.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
考点三 幂函数的图象及应用
（一）依据图象高低判定幂指数大小
12．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
13．（2023秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ）

A．是奇数且
B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且
D．是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征.
【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则；
又图象关于轴对称，为偶函数，，
又互质，为偶数，为奇数.
故选：B.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）

A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数.
【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
（二）图象的识别
15．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的幂函数的值域排除两个选项，再利用函数图象在第一象限的特征判断作答.
【详解】由得，函数的图象在x轴及上方，B、D都不正确，
函数的图象是曲线，在时，该曲线在直线的下方，且增长速度逐渐变慢，C不正确，A满足条件.
故选：A
16．（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图象是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由奇偶性可排除D；由幂函数性质可排除AC，由此可得结果.
【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；
，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.
故选：B.
17．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；
易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
18．（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
19．【多选】（2023秋·辽宁·高三校联考期中）函数的大致图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先根据当时，，时，，排除C，再举出适当的的值，分别得到ABD三个图象.
【详解】由题意知，则，当时，，，，
当时，，，，
所以的大致图象不可能为C，
而当为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设，定义域为，此时A选项符合要求；
当时，定义域为，且，
故函数为奇函数，所以B选项符合要求，
当时，定义域为，且，
故函数为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
（三）幂函数图象过定点问题
20．（2023秋·河南开封·高三校考阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝________.
【答案】27
【分析】由对数函数与幂函数的性质求解，
【详解】令，得，此时，故定点，
设，则，得，故，
故答案为：27
21．（2023·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；
【答案】27
【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.
【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点，
所以由指数型函数性质得，
因为在幂函数的图象上
所以，解得，
所以，.
故答案为：
22．（2023秋·福建漳州·高三校考阶段练习）已知函数且的图象恒过定点，则点的坐标为____________
【答案】
【分析】由恒成立可得定点坐标.
【详解】当时，，.
故答案为：.
考点四 幂函数的性质及其应用
（一）由幂函数的单调性求参数
23．（2023秋·高三课时练习）幂函数在上单调递减，则实数的值为_______
【答案】2
【分析】根据幂函数建立等式，解出，将代入函数检验，看是否在上单调递减即可确定答案.
【详解】解：因为是幂函数，所以，
解得或，因为函数在上单调递减，
当时，函数化为，符合题意，
当时，，不符合题意，综上.
故答案为：2
24．（2023春·四川广安·高三校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．
(1)求m的值及函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式；
（2）由（1）及已知得，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关系求参数值.
【详解】（1）幂函数在上单调递增，
故，解得，故；
（2）由（1）知：，
所以，
所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线；
由于在上的最大值为3，
①当时，在上单调递增，故，解得；
②当时，在上单调递减，故，解得；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）．
综上所述，．
25．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知，进而得，再根据指数函数性质求解即可.
【详解】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，所以，
故令得，所以
所以的图象过定点
故选：D
（二）由幂函数的单调性解不等式
26．（2023·全国·高三专题练习）若，试求的取值范围.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义域，将分成：同时大于零、同时小于零、三种情况，结合幂函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查幂函数的定义域和单调性的运用，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式组的解法，属于中档题.
27．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】解：因为是定义在上的增函数，又，
所以，解得，
因为由可推出，而由无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
28．（2023·全国·高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可.
【详解】幂函数在为减函数，且函数值为正，
在为减函数，且函数值为负，
等价于，
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解题的关键，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于中档题.
29．（2023·贵州毕节·统考二模）已知，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数，幂函数，对数函数的单调性即可解出的范围.
【详解】，根据指数函数在上单调递减得，
，根据幂函数在上单调递增知，则，
，根据对数函数在上单调递减得，
综上.
故选：D.
（三）由幂函数的单调性比较大小
30．（2023·天津·一模）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
31．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指，对，幂函数的单调性，即可比较大小.
【详解】函数单调递减，所以，
函数在上单调递增，所以，
单调递减，，
所以，即.
故选：C
32．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.
【详解】设幂函数，因为点在的图象上，
所以，，即，
又点在的图象上，所以，则，
所以，，，
所以，
故选：B
33．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【详解】因幂函数的图象过点，则，且，
于是得，，函数，函数是R上的增函数，
而，则有，
所以.
故选：D
34．【多选】（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用幂函数的性质及函数的单调性的性质，结合特殊值法及构造函数法即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， 在上单调递增.
因为,所以，即，，
所以．故A正确；
令，则，故B错误；
令，则
由函数单调性的性质知，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，于是有，故C正确；
令，则，
所以因为，故D错误．
故选：AC.
（四）幂函数奇偶性的应用
35．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是且为偶函数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.
【详解】的值域为，不符合题意，A选项错误.
，当时等号成立，不符合题意，B选项错误.
的定义域为，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.
令，其定义域为，，所以是偶函数，
且，即的值域为，符合题意，D选项正确.
故选：D
36．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
【答案】
【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可
【详解】由幂函数可得，解得或，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．
故答案为：
37．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
38．（2023·全国·高三专题练习）设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．、或
【答案】A
【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解.
【详解】因为定义域为，所以，，
又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.
故选:A
39．（2023·全国·高三专题练习）设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由图象过点解得a的值的集合，再由奇函数解得a的值的集合，由两个集合相等确定充要条件关系.
【详解】∵的图象经过点，，
∴
又∵
∴
∵为奇函数，
∴
∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件.
故选：C.
（五）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用
40．（2023·全国·高三专题练习）幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________.

【答案】1
【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解.
【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故
故答案为：
41．（2023·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
【答案】-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
42．（2023·全国·高三专题练习）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
43．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.
【详解】设，
则，
所以，
在上递增，且为奇函数，
所以.
故答案为：
44．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
45．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（    ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
46．（2023·高三课时练习）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得．
由m为正整数，则或,
又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数，
而当时，，为奇函数，不符题意，
当时，，为偶函数，于是．
因为为奇函数，在与上均为严格减函数，
所以等价于或或，
解得或，即.
（六）幂函数性质的综合应用
47．【多选】（2023秋·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校考期末）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（    ）
A．且 B．是偶函数
C．在定义域上是减函数 D．的值域为
【答案】AB
【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.
【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；
对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；
对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；
对于D;的值域不可能取到0，D项错误.
故选：AB
48．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象经过点，则（    ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式；
（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
考点五 幂函数的综合问题
50．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
51．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据幂函数的性质得到，分别求出函数和在区间的值域，再结合题意即可得到答案.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，即.
，则的值域为，
又因为函数在上为增函数，
所以，的值域为，
因为，，使得成立，
所以，解得.
故选：A
52．（2023·全国·高三专题练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得，
又其图象过点，
所以，所以，
则，
则，解得或，
令，
则函数在上递增，在上递减，
又因函数为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
53．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【解析】首先根据函数是幂函数，求得的两个值，然后根据题意判断函数在上是增函数，确定的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.
易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.
综上可知，，且或或.
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定和的符号情况.
54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.
【详解】由是幂函数，知：，又在上，
∴，即，则且，
∴.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
（1）当时，求的值域；
（2）若对，成立，求实数的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）[0,9]；（2）；（3）.
【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；
（2）将问题转化为求在的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数的取值范围；
（3）将问题转化为在的最大值小于或等于在上的最大值9，从而得出实数的取值范围．
【详解】（1）当时，函数，
的值域
（2）对，成立，等价于在的最小值大于或等于1．
而在上单调递减，所以，即
（3）对，，使得成立，
等价于在的最大值小于或等于在上的最大值9
由，
考点六 二次函数的图象与性质
（一）二次函数的图象
56．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能；
对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能；
对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能.
故选：D.
57．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当时，A正确；当时，B正确；
当时，D正确；当时，无此选项．
故选：ABD．
58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由二次函数图象可得，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可
【详解】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A，
故选：D
59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据且，得到，，由二次函数的图象与性质，结合排除法，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，令，可得，即函数图象过点，
又由，可得，所以抛物线的开口向上，可排除D项，
令，可得，可排除B、C项；
故选：A.
（二）二次函数的单调性
60．（2023·全国·高三专题练习）“函数在区间上不单调”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数在区间上不单调，可得，即；
由，得，得函数在区间上不单调，
所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.
故选：C
61．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
62．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数单调性及定义域可求解.
【详解】由复合函数单调性的规律和函数定义域可知：
函数在上单调递增且在上恒成立，
则有，解得，则a的取值范围为.
故选：D
63．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据的取值去绝对值符号，画出的图象即可求解.
【详解】由解得，
所以，
函数图象如图所示，

由图可知函数的单调减区间为和，
故选：AC
64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【分析】要使f（x）在R上单调递增，必须满足：f（x）在(－∞，1)上单调递增，f（x）在(1，＋∞)上单调递增；又x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．
【详解】要使f（x）在R上单调递增，必须满足三条：
第一条：f（x）在(－∞，1)上单调递增；
第二条：f（x）在(1，＋∞)上单调递增；
第三条：x=1时，(x2－2ax)≥(x＋1)．
故有解得．
故实数a的取值范围为．
故答案为：.
65．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围________.
【答案】
【分析】求出函数的对称轴，根据对称轴在区间内得到不等式组，解得即可.
【详解】解：因为，所以函数的对称轴为，
因为函数在区间上不是单调函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
66．（2023·河北·高三学业考试）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合二次函数的对称轴与区间的关系求得的取值范围.
【详解】由于函数在区间上具有单调性，
所以的对称轴或，
解得或，
所以的取值范围是.
故选：A
（三）二次函数在闭区间上的最值
67．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值为．求的解析式；
【答案】
【分析】首先求函数的对称轴，再讨论对称轴和定义域端点的关系，再结合函数的单调性求函数的最大值，即可求解.
【详解】
当，即时，在区间上为增函数，

当，即时，；
当时，在区间上为减函数，

综上所述，.
68．（2023·全国·高三专题练习）当时，求的最大值（a为常数，结果可用a来表示）．
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性，分情况讨论即可求解.
【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为，
当时，，此时二次函数在上单调递减，故当时，，
当时，且 ，此时二次函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，
当时，且 ，此时二次函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，
当时，此时二次函数在上单调递增，故当时，，
综上可知：设的最大值为，则.
69．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
【答案】
【分析】由函数解析式知函数开口方向向下，对称轴为的二次函数，讨论对称轴的位置从而确定最小值取得的点，进而求解.
【详解】由题意知：函数开口方向向下，对称轴为，
因为，令，
当时，；
当时，.
所以函数，的最小值.
70．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值；
(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
【答案】(1)
(2)最小值为2
【分析】（1）讨论m的取值范围，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，即可求得答案；
（2）将不等式恒成立，转化为函数的最值问题，即设，利用导数求其最值，分类讨论，即可求得答案.
【详解】（1）若时，在区间上单调递减，
所以.
若，则二次函数图象对称轴，
当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，
所以.
当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，
.
若，对称轴在区间上单调递减，

综上，.
（2）因为恒成立，
即恒成立，
令,
所以,
当时，因为，所以，
所以在上是单调递增函数.
又因为，所以关于的不等式不能恒成立.
当时，,
令得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数.
故函数的最大值为.
令，因为.
又因为在上是减函数，所以当时，,
即关于的不等式恒成立，
所以整数的最小值为2.
【点睛】方法点睛：解答关于的不等式恒成立问题，需将问题转化求函数最值，因此利用导数结合分类讨论，求解函数最值即可解决.
71．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间，上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法进行求解；
（2）在第一问基础上，分与两种情况进行求解最大值.
【详解】（1）设，则，
因为，
所以，
故，解得：
又
所以，
所以；
（2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为．
当时，，
所以此时函数的最大值为；
当时，，
所以此时函数的最大值为；
综上：．
72．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)若，求的最大值；
(2)若的最大值为，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)4
【分析】（1）由是偶函数，求时的最大值，即函数的最大值；
（2）写出分段函数的解析式，分类讨论a取不同值时函数分别在两段上的最大值，比较大小得函数的最大值，再求的最小值.
【详解】（1）由题意得，
当时，，
因为，所以是偶函数，
故的最大值为4．
（2）由题意得，
①若，则当时，在上单调递增，，
当时，．
因为，
所以．
②若，则当时，，
当时，．
因为，所以当时，，
当时，．
③若，则当时，，
当时，在上单调递减，．
因为，所以．
综上所述，当时，，当时，．
故的最小值为4．
【点睛】分段函数求最值，先求函数在每一段上的最值，再进行大小比较，得整个函数的最值；多项式的大小比较可以使用作差法.
（四）二次方程根的分布
73．（2023春·河北保定·高三河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有一个正根和一个负根可得判别式大于零以及两根之积小于零，列不等式组即可求解.
【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，
则，解得，
故选：A
74．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【分析】求出方程的解，然后由解满足的条件求参数范围．
【详解】方程  
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，
故答案为：.
75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【答案】
【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可；
【详解】解：令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
76．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为
故选：D
77．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】讨论a，确定，则可将化为，
令，结合二次函数知识可得，即可求得答案.
【详解】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
78．（2023·全国·高三专题练习）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】解：由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
（五）二次函数中的恒成立问题
79．（2023·全国·高三专题练习）已知为正的常数，若不等式对一切非负实数恒成立，则的最大值为________.
【答案】
【分析】令，将带有根式的不等式问题转化成整式不等式的问题，然后结合二次函数性质处理.
【详解】原不等式即 ① ，令，，则，
将代入①式，则有，
对一切恒成立，对恒成立，
即，根据二次函数的性质，在时单调递增，故，
所以，又为正的常数，则的最大值为.
故答案为：
80．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）“”是“对任意的正数，恒成立”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】本题通过分离参数转化为，最后利用二次函数配方得到其最大值，即得到的范围.
【详解】，对任意正数恒成立，，
令，，，所以，
是其充分不必要条件.
故选：A.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数（a，且），．
(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；
(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．
【答案】(1)，减区间（−∞，−1]，增区间 [−1，＋∞）
(2)
【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；
（2）分离参数,求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围．
【详解】（1）由题意知，且，
∴．
∴，
因为函数对称轴，开口向上，
∴单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）；
（2）在区间上恒成立，
转化为在上恒成立．
设，
则在上递减．
∴．
∴，
即的取值范围为．